2.2.1 直接开平方法与配方法(1) 课件 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法初步，通过梯子滑动的实际问题导入，衔接平方根知识，搭建从具体方程到配方转化的学习支架，为后续公式法学习奠基。 其特色是结合现实情境培养数学眼光，用“正数两根、零重一根、负数无根”口诀及分层例题发展运算能力与推理意识，小结结构化易掌握。学生能规范解题步骤，教师可高效教学，夯实必考点基础。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 2.2.1直接开平方法与配方法(1) 第二章 一元二次方程 北师大版八年级数学2.2.1 直接开平方法与配方法（第1课时）同步讲义与习题 本节课是解一元二次方程的基础课时，重点掌握直接开平方法求解形如$$x^2=p$$、$$(mx+n)^2=p$$的方程，并理解完全平方公式，初识配方法的核心思想，为下一课时完整配方法、公式法打基础。本课时题型简单、套路固定，是考试必拿满分考点。 一、核心知识点精讲 1. 直接开平方法适用类型 没有一次项、可整理成平方=常数形式的一元二次方程，可用直接开平方法。 两类标准模型： - 模型一：$$x^2=p$$ - 模型二：$$(mx+n)^2=p\ (m eq0)$$ 2. 开平方法取值规则（重中之重） - 若$$p>0$$：方程有两个不相等的实数根，一正一负 - 若$$p=0$$：方程有两个相等的实数根（重根） - 若$$p<0$$：无实数根（平方非负） 解题口诀：正数两根、零重一根、负数无根 3. 配方法初步思想（本课时难点） 配方法核心：在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，转化为可直接开平方的形式。 完全平方公式： $$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$$ $$x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$$ 本课时只需掌握：二次项系数为1时，配方补常数项的方法。 二、经典例题示范 例1 直接开平方法基础：解方程$$x^2-9=0$$ 解：移项得 $$x^2=9$$，$$p=9>0$$ ∴ $$x=\pm3$$，即 $$x_1=3,\ x_2=-3$$ 例2 整体开平方法：解方程 $$(x-2)^2=4$$ 解：直接开平方得 $$x-2=\pm2$$ $$x-2=2$$ 或 $$x-2=-2$$ 解得：$$x_1=4,\ x_2=0$$ 例3 初步配方：将 $$x^2-6x=0$$ 配方成完全平方式 解：一次项系数$$-6$$，一半为$$-3$$，平方为$$9$$ 两边加9：$$x^2-6x+9=9$$，即 $$(x-3)^2=9$$ 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 方程$$x^2=16$$的根是（ ） A. x=4 B. x=-4 C. x=±4 D. 无实数根 2. 方程$$(x+1)^2=0$$的根的情况是（ ） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实根 D. 无法判断 3. 下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A. $$x^2-5=0$$ B. $$(2x-1)^2=3$$ C. $$x^2+4x=0$$ D. $$3x^2=6$$ 4. 配方$$x^2-8x$$需要加上的常数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 5. 方程$$x^2=-2$$的根的情况是（ ） A. 两根 B. 一个根 C. 无实数根 D. 无数根 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 方程$$x^2=25$$的根为________。 2. 方程$$(x-3)^2=9$$的根为________。 3. 对$$x^2+10x$$配方，需加常数________可凑成完全平方。 4. 若$$(x+a)^2=0$$，则方程的根是________（相等根）。 5. 方程$$2x^2=0$$的根为________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）用直接开平方法解下列方程： （1）$$x^2-36=0$$ （2）$$(x+2)^2=16$$ 2.（16分）先配方，再开平方求解：$$x^2-4x=5$$ 3.（18分）解方程：$$2(x-1)^2-8=0$$ 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.C 解析：$$x^2=16$$，正数开方得正负两根。 2.B 解析：右边为0，方程有两个相等实数根。 3.C 解析：无法直接整理成平方等于常数的形式，不能直接开平方法。 4.C 解析：一次项系数-8，一半-4，平方16。 5.C 解析：平方数不能为负数，无实数根。 （二）填空题 1. $$x_1=5,x_2=-5$$ 2. $$x_1=6,x_2=0$$ 3. 25 4. $$x=-a$$ 5. $$x_1=x_2=0$$ （三）解答题 1. 解：（1）$$x^2=36$$，得 $$x_1=6,\ x_2=-6$$ （2）开方得 $$x+2=\pm4$$，解得 $$x_1=2,\ x_2=-6$$ 2. 解：配方，两边加4：$$x^2-4x+4=5+4$$ 整理得：$$(x-2)^2=9$$ 开方：$$x-2=\pm3$$，解得 $$x_1=5,\ x_2=-1$$ 3. 解：移项化简：$$2(x-1)^2=8$$，$$(x-1)^2=4$$ 开方得：$$x-1=\pm2$$，解得 $$x_1=3,\ x_2=-1$$ 五、课时小结 1. 直接开平方法核心：化为平方=非负数，牢记正双根、零重根、负无根； 2. 初步配方核心：二次项系数为1时，加「一次项系数一半的平方」凑完全平方； 3. 复杂方程先化简、再配方、最后开方，步骤规范不丢分。 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程。 2.理解配方法的基本思路。 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 学习目标 2 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动 x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考：通过估算可以求出x的近似值，你能设法求出它的精确值吗? 3 问题 (1)你能解哪些特殊的一元二次方程? x²=4， (x+1)²=9等。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²=5，可根据平方根的意义求解， 得x1=，x2=-； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程2x²+3=5，可化为x²=1， 根据平方根的意义求解， 得x1=1，x2=-1； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 可以先将方程变形为 x2=a 的形式后再开平方。 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²+2x+1=5可化为(x+1)²=5， 由平方根的意义知，x+1=±， 所以x1=-1+，x2=-1-。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 直接开平方法解一元二次方程： 1.对于方程x²=n，当n≥0时，它可以转化为x=±， 所以x1=，x2=-。 2.对于方程(x+m)²=n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±， 所以x1=-m，x2=--m。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 注意： 1.直接开平方法只适用于能转化为x²=n或(x+m)²=n(n≥0)的形式的方程。 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当n为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况。 解方程：(x+1)²-4=0。 解：移项，得(x+1)²=4。 两边开平方，得x+1=±2， 即x+1=2，或x+1=-2， 所以x1=1，x2=-3。 例1 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗?你遇到的困难是什么? 等式的左边不是完全平方式的形式，不能用直接开平方法求解。 联想(2)中解方程的过程，能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗? 知识点2 用配方法解一元二次方程 将方程转化为(x+m)²=n (n≥0)的形式 即 x²+12x+()²-()²-15=0。 所以 x²+12x+36-51=0， 所以 (x+6)²=51。 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗? 我们可以将方程x²+12x-15=0转化为 (x+6)²=。 两边开平方，得 x+6=±。 因此我们说方程x²+12x-15=0有两个根， x1=-6，x2=--6。 x2的值不符合要求，因为实际问题中梯子底端滑动的距离不可能是负值。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x1，x2都符合原问题的要求吗？ 知识点2 用配方法解一元二次方程 思路：将方程转化为(x+m)²=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。 填上适当的数，使下列等式成立： x²+12x+ =(x+6)²； x²-4x+ =(x- )² ； x²+8x+ =(x+ )²。 观察三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢? 知识点2 用配方法解一元二次方程 36 4 16 2 4 常数项是一次项系数一半的平方。 配方的方法： 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x2+ax+( )2=(x+ )2 解方程：x²+8x-9=0。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x²+8x=9。 两边都加一次项系数8的一半的平方，得 x²+8x+()²=9+()²， 即 (x+4)²=25。 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或x+4=-5。 所以 x1=1，x2=-9。 例2 知识点2 用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 知识点2 用配方法解一元二次方程 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 知识点1 直接开平方法 1. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答 案：甲：；乙：;丙： ；丁： , .下列判断正确的是( ) D A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 2. 如果关于的方程 可以用直接开平方法求 解，那么 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3.若一元二次方程的两根分别是 和 ，则 的值为___. 【点拨】 一元二次方程的两根分别是 和 ，，解得 ， ． 返回 考试考法 20 知识点2 二次三项式的配方（二次项系数为1） 4. 用配方法将代数式 变形，结果正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 21 5. 将下列各式配方： （1）_ __（__） ； （2）__（__） . 返回 考试考法 22 知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 6. 把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 的值为( ) A A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 考试考法 23 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 适用范围： x²=n或(x+m)²=n(n≥0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 课堂小结 $