2.4.1 一元二次方程的应用（1） 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，课堂导入从复习梯子下滑旧问题（顶端下滑1m底端滑动距离）切入，通过追问“顶端下滑几米时底端滑动距离相等”搭建学习支架，衔接旧知与新知探究。 其亮点在于情境化问题链与探究式学习结合，以梯子问题、海军基地问题等培养数学眼光，通过“审设列解验答”步骤强化模型意识和推理能力。如《九章算术》问题让学生用数学语言表达实际情境，提升应用能力，教师可借助结构化流程高效教学。

一元二次方程的应用（1） 2 北师版九年级上册 1 复习导入 你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 解：设梯子底端滑动 x m，滑动后梯子底端距墙_______m。 （x＋6） 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝ 102 (x＋6)2 ＝ 102－72 (x＋6)2 ＝ 51 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 探究新知 思考 (1)梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？ (2)已知量、未知量是什么？相等关系是什么?如何建立方程？ (3)方程的解是否都符合题意？ （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ x x 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8－x)2 + (6 + x)2 = 102 x2－2x = 0 x1= 0（舍），x2 = 2。 （2）如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12－x)2 + (5 + x)2 = 132 x2－7x = 0 x1= 0（舍），x2 = 7。 几何画板 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 结 小 纳 归 （1）审：审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）验：检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义； （6）答：根据题意，选择合理的答案作答。 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C。小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇与 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile） 几何画板 （1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？ （2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ （4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？ 解： 连接 DF。 ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是 △ABC 的中位线。 ∴DF∥AB，且 DF = AB。 ∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile。 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF－（AB + BE）=（300－2x）n mile. 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300－2x)2， 整理，得 3x2－1200x + 100 000 = 0。 解这个方程，得 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile。 达标检测 1. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何。”其大意是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，则它的长比宽多______步。 12 2. 今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 【选自教材P52 随堂练习】 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走 7 步，乙单位时间内走 3 步。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。相遇时，甲、乙各走了多远？请你画出示意图，并解决这个问题。 甲 乙 解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t－10)2， 解得 t1 = 0（舍去），t2 = 。 ∴甲走了 ×7 = （步）， 乙走了 ×3 = （步）。 甲 乙 解：(1)设 AD = x m，则 AB = (100－2x) m。 依题意，得 x(100－2x) = 1200。 整理，得 x2－50x + 600 = 0， 解得 x1 = 20，x2 = 30。 当 x = 30 时，100－2x = 60 > 50，不合题意，舍去； 当 x = 30 时，100－2x = 40 < 50，符合题意。 答：当 AD = 30 m，AB = 40 m 时，矩形菜地的面积为1200 m2。 3. 如图，某农场准备围建一块矩形菜地，其中一边靠墙（墙的长度为 50 m），另外三边用长为 100 m 的篱笆围成。 （1）怎样围才能使矩形菜地的面积为 1200 m2？ 3. 如图，某农场准备围建一块矩形菜地，其中一边靠墙（墙的长度为 50 m），另外三边用长为 100 m 的篱笆围成。 （2）能否使所围矩形菜地的面积为 1300 m2？为什么？ 不能。理由如下： 设 AD = y m，则 AB = (100－2y) m。 依题意，得 y(100－2y) = 1300。 整理，得 y2－50y + 650 = 0。 因为 △ = (－50)2－4×1×650 = －100 < 0， 所以原方程没有实数根， 所以不能使所围矩形菜地的面积为 1300 m2。 课堂小结 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 验 答 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $