第3章 一元二次方程（暑假单元自测）新九年级数学新教材湘教版

**基本信息** 湘教版初中数学一元二次方程单元卷，90分钟120分，24题覆盖定义、解法、应用，结合甘肃中运会等现实情境，适配暑假巩固，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|方程定义、系数、根的概念|基础巩固，检测概念辨析能力| |填空|8/24|根与系数关系、判别式、面积问题|能力提升，强化符号意识与几何直观| |解答|6/66|解方程、增长率应用题、动态几何面积|创新应用，体现模型观念与推理能力，如24题运动问题结合二次函数最值|

第3章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 5．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 6．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 7．当时，关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 9．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品182台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 10．由甘肃省教育厅、甘肃省体育局、共青团甘肃省委联合主办、兰州市人民政府承办的甘肃省第六届中学生运动会于7月24日至8月6日在兰州市举办．某玩具店购进一批与该运动会有关的毛绒玩具，9月份销售200件，10、11月份该毛绒玩具的销量持续走高，11月份销量达到288件．10、11两个月销量的平均增长率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知m是的一个解，则__________． 12．设，是一元二次方程的两个根，若，，则______，______． 13．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 14．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 15．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．求的取值范围____________． 17．已知一元二次方程的两根分别为，则的值是__________． 18．如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 三、解答题（共66分） 19．（10分）解方程： (1)； (2)． 20．（10分）已知整式． (1)化简； (2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 21．（11分）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 22．（11分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 23．（12分）连云港市某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． (1)根据信息填表： 产品种类 每天工人数(人) 每天产量(件) 每件产品可获利润(元) 甲      乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润； (3)如何安排工人，可获得的总利润(元)最大？并求w的最大值． 24．（12分）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A中未说明，当时方程不是二次方程，故A不符合要求； 选项B中分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C整理方程：左边展开得，原方程变为，移项整理得，是一元一次方程，故C不符合要求； 选项D中，是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故D符合要求． 2．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 3．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可知二次项系数不能为零，据此作答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：B． 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 5．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 6．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 7．当时，关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用已知条件将用表示，再计算一元二次方程的根的判别式，通过配方判断判别式与的大小关系，即可得出方程根的情况． 【详解】解：∵，∴， 一元二次方程的根的判别式为： 把代入得： 配方得 ∵任意实数的平方为非负数，即， ∴， ∴原一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A． 8．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 9．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品182台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设二、三月份平均每月增长率为x，一月份产量为50台，二月份产量为，三月份产量为，然后根据总产量为三者之和等于182即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 10．由甘肃省教育厅、甘肃省体育局、共青团甘肃省委联合主办、兰州市人民政府承办的甘肃省第六届中学生运动会于7月24日至8月6日在兰州市举办．某玩具店购进一批与该运动会有关的毛绒玩具，9月份销售200件，10、11月份该毛绒玩具的销量持续走高，11月份销量达到288件．10、11两个月销量的平均增长率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设平均月增长率为x，根据9月和11月的销量关系列出方程求解． 【详解】解：∵9月销量为200件，11月销量为288件，且每月增长率相同， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， 故平均增长率为． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知m是的一个解，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程解的定义，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解 ：是的一个解 ， 将代入方程得 ， ∴， ∴原式． 12．设，是一元二次方程的两个根，若，，则______，______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积与方程系数,的关系，代入已知条件求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，， ，解得；． 13．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 14．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】/ 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 15．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．求的取值范围____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实根情况，根据有两个不等实根，判别式大于0，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 17．已知一元二次方程的两根分别为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，，根据根与系数的关系可得 ，． ， 将，代入，得 ． 18．如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 【答案】米或米 【分析】设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或米． 三、解答题（共66分） 19．（10分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）先化为一般式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，； （2）解：， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，． 20．（10分）已知整式． (1)化简； (2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 21．（11分）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 22．（11分）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 23．（12分）连云港市某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． (1)根据信息填表： 产品种类 每天工人数(人) 每天产量(件) 每件产品可获利润(元) 甲      乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润； (3)如何安排工人，可获得的总利润(元)最大？并求w的最大值． 【答案】(1) 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)每件乙产品可获得的利润是元 (3)安排名工人生产乙产品，40名工人生产甲产品获得利润最大，为元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）以“每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元”为等量关系列出方程进行求解，并保留符合实际意义的解； （3）写出W关于x的函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有人， 共生产甲产品件， 在乙每件元获利的基础上，每增加1件，利润减少元每件，则乙产品的每件利润为元； （2）解：由题意得， ， ∴ 解得，（不合题意，舍去）， ∴（元）， 答：每件乙产品可获得的利润是元； （3）解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值为， 此时（人）， 所以安排名工人生产乙产品，40名工人生产甲产品获得利润最大，为元． 24．（12分）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $