第4章 二次函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材湘教版

**基本信息** 湘教版初中数学二次函数单元卷，90分钟120分，覆盖定义、图像性质、平移、最值及实际应用等核心知识点，通过掷实心球、消防车喷水等生活情境题，培养抽象能力、模型意识与应用意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次函数定义、图像开口方向等|如第5题考查平移规律，第10题结合掷实心球情境求成绩| |填空|8/24|顶点坐标、对称轴、实际应用|如17题以大棚脚手架为背景求高度，18题通过图像辨析结论| |解答|6/66|解析式求解、图像平移、利润最值|如23题销售利润问题培养运算能力，24题消防车喷水建立抛物线模型体现应用意识|

第4章 二次函数 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 3．已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确将已知点代入解析式是解题关键． 直接将已知点代入函数解析式，进而求出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点 ∴ ∴   ∴ 故选：A. 4．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 5．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 6．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 7．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 8．同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的图象． 根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可． 【详解】解：选项A：由的图象可得： 由的图象可得：则故A不符合题意； 选项B：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意； 选项C：由的图象可得： 由的图象可得：则 故C不符合题意； 选项D：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意； 故选：D． 9．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息：①；②；③；④．你认为其中正确的信息有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图象易得，，，进而可判断①③，结合函数图象可判断②④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，，故③正确，①错误； 结合函数图象，当时，，故②正确； 结合函数图象，当时，故④正确； 综上所述，正确的有②③④． 10．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长． 【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得， ， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 的长为， 该男生此次掷实心球的成绩是． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．抛物线 的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】将抛物线解析式化成顶点式进行求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 12．已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先得到和关于的表达式，再利用，解不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 由于， 则， 解得， 故答案为：． 13．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线__________． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知点和关于对称轴对称，然后即可求解． 【详解】解：由题意可知，点和关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为：直线； 故答案为：． 14．已知函数的部分图像如下，则代数式的值为_____________． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数的性质，先由函数图象可知函数的图像过点，代入解析式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像过点，且顶点坐标为， ∴函数的图像过点， ∴， 故答案为：0． 15．某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点在x轴上，可设顶点式为，其中顶点为；与y轴正半轴有交点，即当时，，代入得，故且；选择简单值满足条件即可。 【详解】解：由题意，抛物线顶点在x轴上，设其表达式为，其中顶点坐标为；与y轴正半轴有交点，即当时，； 由可知，则，因此； 取，，得表达式， 验证：顶点在x轴上，当时，，符合条件． 故答案为：（答案不唯一）． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 17．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 18．抛物线的图象如图所示．某同学根据图象信息写出下面四个结论： ； ； 当时，； 当时，． 其中正确的结论是________．（只填序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴的交点．根据二次函数的性质，结合函数图象，逐项进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ，故②错误，不符合题意； 由图象可得，当时，，故③正确，符合题意； 由图象可得，当时，最大， 对任意实数，有，即， ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（10分）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与轴的交点坐标． （1）通过完全平方公式展开将二次函数化为一般形式，即可求解； （2）代入即可求函数图像与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； （2）解：令， ∵， ∴该函数图像与轴的交点坐标为． 20．（10分）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标； （）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解； （3）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得，， ∴当时，或， 故答案为：或． 21．（11分）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 22．（11分）抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向左平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2) ；抛物线图象如图所示： (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标，进而画出图象即可； （3）根据函数平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，进而得到函数的对称轴为直线，函数图象开口向下，然后结合函数最大值与最小值情况分情况讨论计算，进而可以得解． 【详解】（1）解：（1）把和两点代入可得， ，解得， ； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为； 图见答案； （3）解：将二次函数的图象向左平移n个单位长度， ， 函数的对称轴为直线， 当时，， 当时， ， 当时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当时，即， 函数的最大值为4，最小值为， 解得或（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为4，最小值为， ， 解得（舍）或； 综上所述：n的值为或． 23．（12分）某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次补货；第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相同． (1)求第二次每件车载智能充电器的进价； (2)第二次购进的车载智能充电器在某段时间内以m元出售（m不小于第二次的进价）、可卖出件，应如何定价才能使利润最大． 【答案】(1) 第二次每件车载智能充电器的进价为30元 (2) 定价为65元时利润最大 【分析】（1）设第一次购进车载智能充电器的进价为x元，则第二次购进车载智能充电器的进价为元，结合数量关系列分式方程求解即可； （2）设利润为，每件的利润为元，由此列二次函数，根据二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进车载智能充电器的进价为x元，则第二次购进车载智能充电器的进价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义，且符合题意， ∴， ∴第一次购进车载智能充电器的进价为元，第二次购进车载智能充电器的进价为元； （2）解：设销售利润为，每件的利润为元， ∴， ∵， ∴当时，利润为的值最大，最大值为1225元， ∴定价为65元时利润最大． 24．（12分）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出的值，再与和进行比较即可得解． 【详解】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 二次函数 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 4．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 5．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 6．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 8．同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息：①；②；③；④．你认为其中正确的信息有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．抛物线 的顶点坐标为______． 12．已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 13．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线__________． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 14．已知函数的部分图像如下，则代数式的值为_____________． 15．某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 17．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 18．抛物线的图象如图所示．某同学根据图象信息写出下面四个结论： ； ； 当时，； 当时，． 其中正确的结论是________．（只填序号） 三、解答题（共66分） 19．（10分）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． 20．（10分）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 21．（11分）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 22．（11分）抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向左平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出n的值． 23．（12分）某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次补货；第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相同． (1)求第二次每件车载智能充电器的进价； (2)第二次购进的车载智能充电器在某段时间内以m元出售（m不小于第二次的进价）、可卖出件，应如何定价才能使利润最大． 24．（12分）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $