第2章 一元二次方程（暑假单元自测）新九年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版新教材一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式与应用等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，适配暑假复习检测，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题16分|一元二次方程定义（第1题）、配方法（第3题）、根的判别式（第5题）|基础概念辨析，突出运算能力| |填空|8题16分|根与系数关系（第11题）、方程解的迁移（第15题）|知识迁移应用，体现抽象能力| |解答|10题68分|实际应用（23题增长率与盈利问题）、创新概念（24题“不动值”）、几何代数综合（26题矩形运动问题）|分层设计，融合模型意识与推理能力，贴合真题命题趋势|

第2章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．某商品原来每件售价为元，经过两次降价后，每件售价调整为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程为（    ）． A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ） A．1 B．0 C． D． 6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 7．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A． B． C． D． 8．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 10．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________． 11．设，是一元二次方程的两个根，若，，则______，______． 12．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 13．已知，是二次方程的两个根，则的值为________． 14．已知实数x满足，则代数式的值为________． 15．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 16．通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 三、解答题（共68分） 17．解方程： (1) (2)． 18．下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： (1)小昊的解法从第_______步开始出现错误； (2)此题的正确结果是_______． (3)用因式分解法解方程：． 19．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为负数，求m的取值范围． 20．已知关于x的一元二次方程（b、c为常数） (1)若，求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求证：． 21．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 22．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 23．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 24．对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 25．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值． 问题解决： （1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空） 阅读材料II：已知，且．求的值． 解：由可知 ． 又，且， 即， 是方程的两根． 问题解决： （2）若，且，则___________； （3）已知，，且．求的值． 26．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．    (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 2．某商品原来每件售价为元，经过两次降价后，每件售价调整为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用，根据降价率的计算规则，逐步推导两次降价后的售价，结合已知最终售价即可列出方程． 【详解】解：∵商品原价为元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后售价为元， ∵第二次降价在第一次降价后的售价基础上再次降价， ∴第二次降价后售价为元， 又∵两次降价后最终售价为元， ∴可得方程． 3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到答案． 【详解】解：对原方程移项得， 方程两边同时加得， 整理得， ∴变形正确的是选项B． 4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 5．关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路是根据方程无实数根得到判别式小于0，求出k的取值范围，再确定k的最大整数值． 【详解】解：对于一元二次方程，方程无实数根时判别式． ∵原方程为 ∴，， 代入得 ∵方程没有实数根 ∴ 解不等式得 又∵k为整数 ∴k的最大值为 6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当时，此时方程一定有实数根，当时，根据根的判别式，可以得到的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，的取值范围． 【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确； ①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0； ②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即， 解得， 且， 综上所述：当时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误， 综上，乙和丁说的对． 7．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的值，解一元二次方程． 利用已知方程得到，通过降次法将化简为，再结合求得的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 解方程得， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，①当时，方程有根，但判别式可能等于0；②由有两个不等实根得出，从而原方程判别式大于0；③当c是根时，，但时不一定为0；④由求根公式直接推导成立． 【详解】解：①∵当时，是方程根， ∴，但不一定大于0，故①错误； ②∵方程有两个不等实根， ∴， 对于方程，， ∴有两个不等实根，故②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即； 当时，不一定为0，故③错误； ④∵是一元二次方程的根， ∴； ∴； ∴，故④正确． ∴正确的是②④． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 10．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件，得到根的判别式小于零，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解不等式得 11．设，是一元二次方程的两个根，若，，则______，______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积与方程系数,的关系，代入已知条件求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，， ，解得；． 12．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 13．已知，是二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和的值，并将原表达式中的和用方程关系代换，化简后代入求值． 【详解】，是方程的根， 根据根与系数的关系，有，， 由原方程得，， ， ， 原式． 故答案为． 14．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 15．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 16．通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立与的关系，再代入代数式化简求值． 由方程和，设，则，令，代入得，与第一个方程同解，故和是方程的两个根，根据根与系数的关系，得和，即和．代入代数式，化简后利用计算． 【详解】解：和， 设，则． 令，代入得，与形式相同， 故和是方程的两个根． 根据根与系数的关系，得： 即： 代入代数式： 由，得， 代入分子：， ∴， 由，得 ，代入分子：， ∴． 三、解答题（共68分） 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 18．下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： (1)小昊的解法从第_______步开始出现错误； (2)此题的正确结果是_______． (3)用因式分解法解方程：． 【答案】(1)一 (2)， (3)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误； （2）解： ∴或 ∴，； （3）解： ∴或 ∴，． 19．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为负数，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）将代入根的判别式计算求证即可； （2）先利用因式分解法解方程得到，再根据题意可得，再解不等式即可． 【详解】（1）证明：方程中， ∴ ∴方程总有两个实数根； （2）解： 或 ∴ ∵方程有一根为负数 ∴， ∴． 20．已知关于x的一元二次方程（b、c为常数） (1)若，求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式，结合，进行证明即可； （2）根据根与系数的关系得，，再结合，进行证明即可． 【详解】（1）证明： 因此，该方程总有两个不相等的实数根； （2）证明：根据根与系数的关系得， 解得 则 即． 21．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【分析】将原方程整理为，依据平方差公式可得，再整理，并开方可得答案． 【详解】解：， 原方程变形，得 由平方差公式，得， 即， 开方，得， ∴． 22．对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 23．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 24．对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 【答案】(1)①④ (2)不存在，理由见解析 (3)3 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意得方程，再由根的判别式求解即可； （3）由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，，不符合题意； ④当时，，符合题意， ∴其中是关于x的代数式的“不动值”是①④； （2）解：不存在，理由如下： 若关于x的代数式存在“不动值”， 则， 整理得，， 此时， ∴此方程无实数根， 故关于x的代数式不存在“不动值”； （3）解：由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍， 整理得，， 设两个实数根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到，， 解得 ∴． 25．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值． 问题解决： （1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空） 阅读材料II：已知，且．求的值． 解：由可知 ． 又，且， 即， 是方程的两根． 问题解决： （2）若，且，则___________； （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据根与系数的关系可求出和的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可； （2）根据材料中的解法将等式变形，然后将a、看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解； （3）根据材料中的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵为方程的两根， ∴，， 故答案为：11； （2）， 由可知； ∴， ∴ 又，且，即； ∴a、是方程的两根， ∴，即； 故答案为：； （3）由可知； ∴， ∴， 又，且，即； ∴m、是方程的两根， ∴； ∴． 26．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．    (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 【答案】(1)的长度能为，或 (2)不能，理由见解析 (3)8或 【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，根据两点间的距离公式，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： ∵点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止， ∴，，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：或， ∴的长度能为； （2）解：不能；理由如下： 设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    ∴，，，， 是的中点， ， ，， ，，， ， ， 整理得：， 解得：，． 的值为8或． 故答案为：8或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $