第三章 函数的概念与性质（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学第三章函数的概念及性质，适用于初升高衔接，通过基础到创新的梯度设计，全面考查定义域、奇偶性、单调性等核心知识，融合数学抽象、逻辑推理与模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|定义域（题1）、抽象函数定义域（题2）、高斯函数值域（题3）|基础概念辨析，渗透数学抽象| |多项选择题|3/18|同一函数判断（题9）、幂函数性质（题10）|多角度概念辨析，培养批判性思维| |填空题|3/15|分段函数最值（题12）、二次函数参数范围（题13）|简洁综合应用，提升运算能力| |解答题|5/77|二次函数表达式与最值（题15）、利润模型（题16）、新定义对称（题19）|综合应用与创新探究，体现模型意识与创新意识，贴近高考趋势|

第三章 函数的概念及性质（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得. 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 3．取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为. 故选：A 4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 5．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 6．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 7．已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 8．定义域为的函数满足：对任意的都有，当．若关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，且，则， 因为当时，，所以。 因为， 所以，即， 因此， 在 上是减函数， 因为，令， 则，即，解得， 又因为，根据 可得：， 又因为函数在上单调递减，所以可得不等式组： ， 因为，， 因为，所以， 令 ，其中 ， 函数 在 处取得最大值 ， 所以在端点和 处，故， 原不等式 在 上恒成立，即， 因为，所以，故， 结合，得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 10．已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（   ） A．8 B．18 C．24 D．27 【答案】BC 【详解】由题意知，解得或； 当时，函数在上单调递增，符合题意； 当时，函数在上单调递减，不合题意； 因此， 由，可得, 因为函数在上单调递增，若，可得， 依题意可知，解得； 所以，即的值可能是18，24. 故选：BC 11．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BCD 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足，则在区间的最大值为______. 【答案】/ 【详解】由可得：， 两式消去可得：， 由对勾函数性质可知：在区间上单调递减，在上单调递增， 由于， 所以在区间的最大值是， 故答案为： 13．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】当时，，二次函数对称轴为， 由的最小值为，得，此时的最小值为， 当时，，当且仅当时，等式成立， 此时在上的最小值为， 因为的最小值为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则____. 【答案】 【详解】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，所以. 因为是上的奇函数，令， 则 ， 因此是奇函数，满足， 由，得 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 16．（15分）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 17．（15分）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）， 当，即时， 在上单调递增，无最小值，不符合题意； 当，即时， ， 当且仅当时，等号成立， 由题意得，解得. 综上所述，实数的值为2. （2）， 当，即时，， 若函数在单调递增， 则，解得， 当，即时， 若函数在单调递增， 则或， 解得， 综上，实数的取值范围为. 18．（17分）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 19．（17分）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念及性质（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 3．取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 5．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 6．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 8．定义域为的函数满足：对任意的都有，当．若关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（   ） A．8 B．18 C．24 D．27 11．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足，则在区间的最大值为______. 13．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 14．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 16．（15分）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 17．（15分）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 18．（17分）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 19．（17分）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $