第一篇 第一章 第4节 十字相乘法-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

初、高中基础知识衔接 第４节　十字相乘法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 十字相乘法初中不作要求,而在高中数学中,十字相乘法是解一元二次不等式和一 元二次方程的首选方法,因此通过本节的学习,要理解并掌握十字相乘法． 一、知识链接 １．十字相乘法 (１)定义:借助画十字交叉线分解系数把二 次三项式分解因式的方法,通常叫做十 字相乘法． (２)二次三项式 多项式ax２＋bx＋c(a≠０),称为字母x的 二次三项式,其中ax２ 称为二次项,bx为 一次项,c为常数项．例如,x２－２x－３和 x２＋５x＋６都是关于x的二次三项式． 在多项式x２－６xy＋８y２ 中,如果把y看作 常数,就是关于x的二次三项式;如果把x 看作常数,就是关于y的二次三项式． 在多项式２a２b２－７ab＋３中,把ab看作一 个整体,即２(ab)２－７(ab)＋３,就是关于ab 的二次三项式．同样,多项式(x＋y)２＋７(x ＋y)＋１２,把x＋y看作一个整体,就是关 于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适 用于二次三项式的因式分解的方法． (３)十字相乘法的原理 借助整式乘法运算,可以得到(ax＋b) (cx＋d)＝acx２＋bcx＋adx＋bd＝acx２ ＋(ad＋bc)x＋bd． 反之,acx２＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b) (cx＋d)即为因式分解．因此,对于一个 一般的二次三项式Ax２＋Bx＋C(A≠ ０),只要将A 分解成ac,即A＝ac,C 分 解成bd,即C＝bd,并且使得B＝ad＋bc, 我们就可以将Ax２＋Bx＋C分解成(ax＋ b)(cx＋d)了．如何找到a,b,c, d呢,我们借助右面的十字相 乘法． 十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘 等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项 系数．它的特征是:拆两头,凑中间． (４)十字相乘法的步骤 对于二次三项式Ax２＋Bx＋C(A≠０) 用十字相乘法分解成(ax＋b)(cx＋d) 的步骤: 第一步,将A 分解成ac,即A＝ac; 第二步,C分解成bd,即C＝bd; 第三步,根据十字交叉,调试a,b,c,d,使 B＝ad＋bc; 第四步,写出分解结果Ax２＋Bx＋C＝ (ax＋b)􀅰(cx＋d)． ２．关于x的二次三项式ax２＋bx＋c(a≠０) 的因式分解 若关于x的方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０) 的两个实数根是x１、x２,则二次三项式 ax２＋bx＋c(a≠０)就可分解为 a(x－x１)(x－x２),即ax２＋bx＋c＝a(x－ x１)(x－x２)．这 是 因 为ax２ ＋bx＋c＝ ax２＋bax＋ c a æ è ç ö ø ÷,根据根与系数的关系x１＋ x２ ＝ － b a ,x１x２ ＝ c a 有 ax２ ＋bx＋c＝ ax２＋bax＋ c a æ è ç ö ø ÷＝ax２－(x１＋x２)x＋x１x２[ ]＝ a(x－x１)(x－x２)． 二、化解疑难 １．分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所 以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次 三项式能否用十字相乘法分解． ２．因式分解的一般常用方法有提取公因式 法、公式法、十字相乘法、分组分解法等 特殊方法,同时我们可以运用一元二次 方程的求根公式进行任意二次三项式的 因式分解．因式分解的步骤可小结为: “首先提取公因式,然后考虑用公式、十 字相乘试一试,分组分解要合适,四种方 法反复试,最后必是连乘式”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１ 第一篇 　　十字相乘法分解因式 分解因式: (１)x２－３x＋２; (２)２x２－５x－３; (３)x２－(a＋b)xy＋aby２; (４)xy－１＋x－y; [解]　(１)如图①,将二次项x２ 分解成图 中的两个x 的积,再将常数项２分解成 －１