暑假专题提优：四边形-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以题载法系统整合四边形知识，通过基础概念辨析、性质应用及综合探究，培养几何直观与推理能力，构建从定义到拓展的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3|轴对称判定、平行四边形判定定理|从图形属性到判定条件的概念生成| |性质应用|单选4-8、填空11-13|中位线性质、勾股定理、折叠变换|特殊四边形性质与几何计算的推导应用| |综合探究|解答17-22|全等证明、动态问题、新定义探究|性质拓展与跨知识综合，发展空间观念|

暑假专题提优：四边形-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列四个选项所描述的图形中，不一定是轴对称图形的是（     ） A．线段 B．直角三角形 C．菱形 D．正六边形 2．在中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．满足下列条件的四边形是平行四边形的是（     ） A．对角线相等的四边形 B．一组对边平行的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．一组对角相等的四边形 4．如图，平地上两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，测量得米，则两点间的距离为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，则图中的全等三角形共有（） A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 6．如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，每个小正方形的边长均为1，四边形为平行四边形，它的两条边、分别交网格格线于点M、N，点A、B、G都为网格格点，点C、D在网格格线上，线段交网格格线于点E，若点F为线段的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，圆柱体饮料罐的高是12厘米，上、下两底面的直径均是6厘米，上底面有一个小孔A供插吸管用，小孔A与上底面圆心O之间的距离厘米，那么在饮料罐中的部分吸管长度的最大值是（     ） A．13厘米 B．14厘米 C．15厘米 D．16厘米 9．如图，中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为，已知、、，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，平行四边形中，与交于点O，以C为圆心任意长为半径画弧分别交、于M、N ，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于P，射线与的平分线交于E，连接，若 ，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，矩形的对角线相交于点，，则____________． 12．如图，在直角梯形中，，．若，，则的长为______． 13．如图，在正方形中，，，的面积为______． 14．如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 15．如图，在正方形中，，点是边上的一点，，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接，点、分别是线段、的中点，则线段的长度是____________． 16．如图，已知正方形与，连接，过D作的垂线交于点H，以和为邻边作平行四边形，连结、，与交于点M，和交于点N．给出下面四个结论：①平行四边形是正方形；②；③；④，上述结论中，正确结论的序号是_________． 三、解答题 17．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、交于点，连接．证明：四边形是矩形． 18．如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 19．请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是__________（填序号）． ①矩形    ②正方形    ③菱形    ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究．如图，“豫式四边形”中，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； 20．【探究与证明】——图形的旋转． 【问题情境】如图1，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为____________；（直接写出答案） (2)如图2，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在，使点、、三点共线？若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 21．综合实践：折纸中的数学 问题背景：折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 尝试运用： (1)在矩形中，按如图方式折叠． ①____________．②若四边形是正方形，则________． 问题拓展： (2)我们可以利用折纸折出两个角相等，折痕与一条线段垂直． ①如图，折叠正方形纸片，得到正方形和正方形．若，请判断点在上的位置； ②如图，点在锐角三角形纸片边上，折出过点且与边平行的线段．请画出你的分步折叠示意图，并加以证明． 22．【初步感知】 (1)如图，已知四边形，，点，分别是，的中点，连接并延长交的延长线于点．易知和， 求证：； (2)【知识应用】如图，已知四边形，，，，点，是上两点，且，过点，分别作，交于点，．求的值； (3)【拓展探究】如图，已知四边形，，，，点，分别是，的中点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题提优：四边形-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B B A D A B D 1．B 【详解】解：A、线段沿其垂直平分线折叠可完全重合，一定是轴对称图形，本选项不合题意； B、直角三角形中，只有等腰直角三角形是轴对称图形，一般直角三角形无法找到满足条件的直线，不一定是轴对称图形，本选项符合题意； C、菱形沿两条对角线所在直线折叠可完全重合，一定是轴对称图形，故本选项不合题意； D、正六边形沿过对顶点或对边中点的直线折叠可完全重合，一定是轴对称图形，故本选项不合题意． 2．A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴根据平行四边形对角相等，可得． 3．C 【详解】解：A、∵对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形，∴A错误； B、∵一组对边平行的四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，∴B错误； C、∵平行四边形的判定定理明确：对角线互相平分的四边形是平行四边形，满足判定条件，∴C正确； D、∵一组对角相等的四边形不满足平行四边形的判定要求，不一定是平行四边形，∴D错误． 4．B 【分析】根据分别是中点，得出是的中位线，继而得到的长度． 【详解】解：∵分别是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴两点间的距离为米． 5．B 【分析】根据平行四边形的性质（对边相等、对角线互相平分、中心对称）以及全等三角形的判定方法（）找出图中所有的全等三角形对数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∵， ， 在和中， ， 同理， 综上所述，共有6对全等三角形． 6．A 【分析】先根据图形翻折变换的性质得出，在中利用勾股定理求出的长，进而得出的长，设，则，，在中由勾股定理可求出x的值，同理在中利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵由翻折而成， ∴，，， ∴中， ， ∴， 设，则，， 在中， ，即，， 解得，即， 再在中， ． 7．D 【分析】过点作于，延长交于，证明，进而证明点是的中点，连接，，，证明四边形是平行四边形，推出点是的中点，则是的中位线，可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于，延长交于， 由题意知， ∴，， ∵相邻两条格线间的距离相等， ， ， ， ， 点是的中点； 如图所示，连接，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 根据网格特点可得， 四边形是平行四边形， 点是的中点， ∴点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ． 8．A 【分析】过点作垂直于底面，垂足为点过点作垂直于底面，垂足为点，连接并延长交底面圆于点，要使吸管在饮料罐中的部分长度最大，吸管下端应位于下底面圆周上距离点水平投影最远的位置，此时吸管长度、圆柱高及水平最大距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于底面，垂足为点，过点作垂直于底面，垂足为点，连接并延长交底面圆于点，则，， 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴厘米， 圆柱底面直径为厘米， 底面半径厘米，即厘米， 点到下底面圆周上最远点的水平距离为（厘米）， 设吸管在罐内的最大长度为， 圆柱高为厘米， 根据勾股定理，（厘米）， ∴那么在饮料罐中的部分吸管长度的最大值是厘米． 9．B 【分析】设平行四边形的面积为，则，由图形可知，，将、、代入，即可得． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，， ∴， ∴， 解得． 10．D 【分析】延长交于F，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质和角平分线定义可得出，根据等角对等边求出，由作图知：平分，根据三线合一得出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：延长交于F， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 由作图知：平分， ∴， 又， ∴． 11． 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，结合可证为等边三角形，从而得出的度数，再利用邻补角定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ． 12． 【分析】过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用矩形性质将线段转化，结合勾股定理建立关于的方程求解． 【详解】解：过点作于点，则 在直角梯形中，，， ， 四边形是矩形 ， ， 在中，由勾股定理得，即 解得． 13．18 【分析】延长，过点C作于点F，证明，得出，再根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：延长，过点C作于点F，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识.解题的关键是作辅助线构造直角三角形，将转化为，从而将的最小值转化为线段的长． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，过点作于点， 在中，，， ， ， ； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； 平分， ， ， ， ， ； ， 为的中点， ，，， ， 为的中点， ， 垂直平分， ， ， ， 当，，三点共线时， 取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ， 的最小值为． 15．/ 【分析】证明，说明在直线上，取中点，连接并延长交于点，结合中位线的性质推出为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，由正方形的性质知，， ∵， ∴， 由旋转的性质知， 在和中， ， ∴， ∴，即在直线上； 由题意知，，； 取中点，连接并延长交于点， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，即， ∵，， 为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴， ， ∴． 16．①②④ 【分析】先证明得出，结合四边形是平行四边形，，即可证明四边形是正方形，即可判断①；证明得出，在中，，等量代换，即可判断②，假设，连接，证明得出，从而得出矛盾，即可判断③，过点作于点，证明，得出，证明得出，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴，故②正确； 若，则 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 如图，连接， ∵ ∴ ∴， 而，则，故假设不成立， ∴，故③错误； 如图，过点作于点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②④ 17．证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴， 四边形是矩形． 【分析】先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，可证四边形是矩形． 【详解】略 18．(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）证明，得到四边形为平行四边形，结合线段中垂线的性质推出，进而证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 19．(1)② (2)， 理由如下： ∵四边形为“豫式四边形”， ， ， ， ， ， ； 【分析】（1）根据“豫式四边形”的定义判断即可； （2）根据“豫式四边形”的定义可得，再根据“”证明，可得； 【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”； ②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”； ③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”； ④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”； 即答案为②； （2）略 20．(1)正方形 (2) (3)存在，或 【分析】（1）当时，由旋转性质得，．结合、矩形中，可知四边形有三个内角为直角，是矩形；又邻边，即可判断四边形为正方形； （2）过点作于．由旋转得，，故，为等腰直角三角形，由勾股定理得．已知，则可得的面积； （3）存在两种情况：点在线段上、点在的延长线上．连接，由可证，得．在中，由勾股定理得．设，在中根据勾股定理列方程，两种情况分别解得或． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，，， ， 四边形是矩形， ∵， 矩形是正方形； （2）解：如图2，作于G， ，， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ； （3）解：如图3，当点在上时，连接， ，，， ， ， 设，则， 由旋转得：， ， ， ， ， 在中， 解得， ； 如图4，当点在的延长线上时， 同理可得，，， 设，则，， 解得， ， 综上所述，或． 21．(1)①90 ② (2)①点在上，靠近点的处 ②第一步，如图，过点将线段对折，折痕为； 第二步，如图，过点将线段对折，折痕为； 线段即为所求； 证明如下： 由折叠的性质可得，折痕， ∴， ∴ 【分析】（1）①根据正方形的性质以及翻折的性质得出四边形和四边形为正方形，即可得出角的度数； ②令，根据正方形的性质表示出各边的长度，即可得出比值； （2）①令正方形的边长为，根据正方形的面积比得出正方形的边长为，通过全等三角形的判定和性质得出，令，，然后列出二元一次方程组求解； ②根据翻折得出直角，利用内错角相等，两直线平行进行折叠和证明． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形，且通过翻折可得，四边形和四边形为正方形， ∴， ∴； ②若四边形是正方形，则令， ∴， ∴， ∴； （2）解：①令正方形的边长为， ∵， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，，由翻折的性质可得， 解得， ∴ ∴点在上，靠近点的处； ②略． 22．(1)证明：， ，， ∵点是的中点， 是的中位线， ∴ (2)10 (3) 【分析】（1）先证明全等三角形，将转化为，再利用三角形中位线定理证明即可； （2）构造中点并连线，利用（1）中的结论，即可得到； （3）倍长构造以为中位线的三角形，再通过倍长中线形成的相等线段和对顶角，利用得到全等三角形，从而借助得到特殊角，最后作垂线，用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：在、上分别取中点、，并连接． ，， ，，， ， ， ， ， ，， 由（1）的结论可知：， ∵，， ∴． （3）解：过点作交的延长线于点，并连接． ， ， ， 由（1）知，得，， ∵点，分别是、的中点， 为的中位线， ， 过点作交的延长线于点． 在中，，， ，， ， ， ， 在中，，，， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $