（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练2025-2026学年数学八年级下册苏科版

**基本信息** 聚焦八年级下册六大核心考点，以“考点汇总+跟踪训练”构建系统训练体系，融合解题方法提炼与知识逻辑梳理，培养数据意识、推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数据的收集、整理、描述|4题|频率/频数计算、图表分析|从数据收集到图表描述的统计过程| |认识概率|4题|树状图/列表法、概率公式|随机事件到概率计算的逻辑链| |四边形|4题|全等证明、特殊四边形性质|从平行四边形到正方形的性质应用| |因式分解|4题|分组分解法、公式法|整式乘法到因式分解的逆向思维| |分式|4题|化简求值、实际应用建模|分式运算到实际问题解决| |二次根式|4题|化简与运算、实际应用|二次根式概念到运算应用|

（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 考点汇总 考点一：数据的收集、整理、描述 考点二：认识概率 考点三：四边形 考点四：因式分解 考点五：分式 考点六：二次根式 跟踪训练 考点一：数据的收集、整理、描述 1．体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表，有一个数据被污染了，只知道这一组的频率为． 次数x 频数 1 2 25 15 2 （1）组距是　 　，组数是　 　； （2）求全班的学生人数； （3）求跳绳次数x在范围的学生占全班学生的百分比． 2．为了了解中学生的体能状况，某校抽取了50名学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分成5组，并绘成了如图所示的频数直方图（图中数据含最低值不含最高值）． 其中前4个小组的频率依次为0.04，0.12，0.4，0.28． （1）第4组的频数是多少？ （2）第5组的频率是多少？ （3）哪一组的频数最大？ （4）补全频数直方图． 3．为增强学生安全意识，某校举行了一次全校学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（；；；），并根据分析结果绘制了如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）补全频数分布直方图，并在直方图上方注明人数； （3）求扇形统计图中等级所占的百分比； （4）求扇形统计图中等级所对应扇形圆心角的度数． 4．某学校对学生的课外阅读时间进行抽样调查，将收集的数据分成A、B、C、D、E五组进行整理，并给制成如下的统计图表(图中信息不完整)． 阅读时间分组统计表 组别 阅读时间x（时） 人数 A a B 100 C b D 140 E c 请结合以上信息解答下列问题 （1）_________，_________，_________，并补全“阅读人数分组统计图”； （2）估计全校课外阅读时间在20小时以下(不含20小时)的学生所占比例． 考点二：认识概率 5．现有一个不透明的盒子里放置 6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字 1、2、3、4、5、6. （1）小深设计了一款游戏，规则如下：K=（2+a)（2-a)，从盒中随机抽取 1张卡片，卡片上的数字即为a.计算 K，若结果大于 2，则甲获胜；若结果小于或等于 2，则乙获胜.求甲获胜的概率. （2）你认为小深设计的这个游戏是否公平?请阐述理由. （3）目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏. 6．马拉松运动已从专业竞技发展成为覆盖全球，拉动经济，深入日常的社会经济活动.某公司的甲、乙两名员工各自选择报名参加西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松其中一个赛事。 （1）求甲员工选择报名西施马拉松的概率； （2）若甲，乙两人选择赛事互不影响，用画树状图或列表的方法求甲，乙两人选择同一个赛事的概率. 7．某校在庆祝元旦活动中，组织抓娃娃游戏，在一个不透明的布袋里装有3个红色娃娃和1个蓝色娃娃，它们除颜色外都相同. （1）若从袋中随机抓出一个娃娃，求抓到蓝色娃娃的概率. （2）聪聪从袋中先后随机抓出两个娃娃（第一次抓到的娃娃不放回）.请用列表或画树状图的方法，求他抓到的第一个是红色娃娃且第二个是蓝色娃娃的概率. 8．3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图. （1）m= ▲ ，n= ▲ ，补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为　 　； （3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率. 考点三：四边形 9．如图，在中，平分，点是线段的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 10．如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 11． 如图，为的对角线，平分为射线上一点． （1）如图1，在延长线上，连接与交于点若； ①当为中点时，求证：； ②当时，求长度； （2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由． 12．【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形ABCD中，AB＝2，点M、N分别在彼岸AD、CD上，且DM＝CN，试探究线段MN长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进行解决上述几何问题. 【问题解决】如图②，过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P，作射线CP. 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：NC＝NP． （2）∠DCP的大小为　 　 度，线段MN长度的最小值为　 　 ． （3）【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A=60°，点E、F分别在边AD、CD上，且DE＝CF，则△DEF周长的最小值为　 　 ． 考点四：因式分解 13．因式分解： （1） （2） 14．若am=an（a＞0且a≠1，m，n是正有理数），则m=n.利用该结论解决下面的问题： （1）如果4x=24，求x的值； （2）如果3x+1+3x+2=108，求x的值. 15．阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法：设（为整式）． 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知多项式有因式和，则　 　，　 　． （2）已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式因式分解． 16．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①_____________． ②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 考点五：分式 17．化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 18．某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买100亩，价一万.其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今买好田、坏田共100亩，价值10 000钱. （1）求好田、坏田各买了多少亩? （2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为3000kg，坏田的总产量为6000kg，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量? 19．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”.例如： 所以可称 是“和谐分式”. （1）请判断 是否是“和谐分式”：　 　；(填“是”或“否”) （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当x取什么整数时，该式的值为整数. 20． 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： （1）分式是　 　分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 考点六：二次根式 21．计算： （1） （2） 22．已知： 分别求下列代数式的值： （1） (a+b)2； （2） 23．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1） 求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2） 已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 24．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． （1）【初步探索】 化简：　 　； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得　 　，　 　； （3）若，且，均为正整数，求的值； （4）【解决问题】 某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）： 型号 长 宽 高 型 型 型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 答案解析部分 1．【答案】（1）20；6 （2）解：由题意得，即全班有50名学生； （3）解：跳绳次数x在范围的学生有（名）， 占全班学生的百分比为． 2．【答案】（1）解：第4组的频数是0.28×50＝14． （2）解：第5组频率为1－0.04－0.12－0.4－0.28＝0.16（或8÷50=0.16）． （3）解：由统计图可知170～180这一组频数最大． （4）解：由（1）得第4组的频数为14，所以补全频数直方图如图所示： ​​​​​​​ 3．【答案】（1）解：． （2）解：，故等级的频数为人， 补全频数分布直方图如下： 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 （3）解：， 答：扇形统计图中等级所占的百分比是． （4）解：， 答：扇形统计图中等级所对应扇形圆心角的度数为． 4．【答案】（1）解：补全统计图如下： 20，200，40 （2）解：， ∴全校课外阅读时间在20小时以下（不含20小时）的学生大约占． 5．【答案】（1）解：K==. 盒中卡片数字为1、2、3、4、5、6，共6种等可能结果. 当a=1时，K=4-=3，3>2，甲获胜. 当a=2时，K=4-22=0，0≤2，乙获胜. 当a=3时，K=4-=-5，-5≤2，乙获胜. 当a=4时，K=4-=-12，-12≤2，乙获胜. 当a=5时，K=4-=-21，-21≤2，乙获胜. 当a=6时，K=4-=-32，-32≤2，乙获胜. ∴甲获胜的结果只有1种. ∴甲获胜的概率=. （2）解：小深设计的这个游戏不公平. 理由如下： 结果小于或等于 2的个数为 5， 所以乙获胜的概率 因为 所以小深设计的这个游戏不公平. （3）可改为：仍从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字为a，计算K=(2+a)(2-a). 当a=1或2时，规定甲获胜；当a=3或4时，规定乙获胜；当a=5或6时，规定丙获胜. 这样甲、乙、丙各有2种获胜结果. ∴三人获胜概率都为=. ∴改后的游戏公平. 6．【答案】（1）解：有3种马拉松，甲选择西施马拉松的概率是， 故答案为：； ​​​​ （2）解：记西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松分别为，，，画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个赛事A或B或C的结果有3种情况， ∴甲、乙两人选择同一个赛事的概率为． ​​​​​ 7．【答案】（1）解：不透明的布袋里装有3个红色娃娃和1个蓝色娃娃，共4个， 随机抓出一个娃娃，抓到蓝色娃娃的概率； （2）解：列表： 红1 红2 红3 蓝 红1 / 红1红2 红1红3 红1蓝 红2 红2红1 / 红2红3 红2蓝 红3 红3红1 红3红2 / 红3蓝 蓝 蓝红1 蓝红2 蓝红3 / 由列表可知共有12种等可能结果，其中第一个是红色娃娃且第二个是蓝色娃娃的有3种， ∴他抓到的第一个是红色娃娃且第二个是蓝色娃娃的概率． 8．【答案】（1）解：16；50； 测试成绩为（含）的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示， （2）72° （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 9．【答案】（1）证明：， ， 点是线段的中点， ； 在和中， （2）解：四边形是矩形，理由如下： 在中，平分， ， ； 由得， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形 10．【答案】（1）证明：正方形， ，， ， ， ； （2）解：正方形， ，， ，， 设，则， 在中，， ， ，（舍去） ． 11．【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD，AD∥BF， ∴∠D=∠FCD， ∵G是CD中点， ∴DG=CG， ∵∠FGC=∠DGA， ∴△ADG≌△FCG（ASA）， ∴AD=FC， ∴FC=BC． 解：②在Rt△ABC中，AC=8，CD=6， ∴AD==10， ∴BC=10， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∵AC=AF， ∴∠F=∠CAF， ∵∠ACB=∠F+∠CAF=2∠F=∠ACE+∠BCE=2∠BCE， ∴∠F=∠BCE， ∴CE∥AG， 又∵AB∥CD， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴AE=CG， 如图1，过点E作EN⊥BC于N， ∵∠ACE=∠ECN，∠EAC=∠ENC=90°，CE=CE， ∴△ACE≌△NCE（AAS）， ∴AC=CN=8，AE=EN， ∴BN=2， ∵BE2=BN2+EN2， ∴（6-EN）2=EN2+4， ∴EN=， ∴AE=CG=； （2）解：AC=AH+AD，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AD=BC， ∵∠D=3∠ACE， ∴∠B=3∠ACE， ∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC=180°， ∴∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°， ∵AF=CF， ∴∠CAF=∠ACF=36°， ∴∠B=∠BAF=54°， ∴AF=BF=CF=BC=AD， 如图2，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P， ∴∠ACP=72°， 又∵∠CAF=36°， ∴∠P=72°=∠ACP， ∴AC=AP， ∵∠CHP=∠ACE+∠CAF=54°，∠PCH=∠BCE+∠BCP=54°， ∴∠CHP=∠PCH， ∴CP=PH， ∵∠CFP=∠ACF+∠FAC=72°， ∴∠CFP=∠P， ∴CP=CF=PH， ∵AC=AP=AH+PH， ∴AC=AH+AD． 12．【答案】（1）证明：依题意可知，四边形MNPD为平行四边形， ∴MN＝PD，MD＝NP， ∵DM＝CN， ∴NC＝NP． （2）45；​​​​​​​ （3）​​​​​​​ 13．【答案】（1）解： （2）解： 14．【答案】（1）解：∵4x=24 ∴ (22)x= 2 ∴22x=24 ∴2x=4 ∴x=2 （2）解：∵3x+1+3x+2=108， ∴3x+1×(1+3)=108， ∴3x+1=27， ∴3x+1=33， ∴x+1=3 ∴x=2. 15．【答案】（1）； （2）解：设． ， 解得 多项式， ． 16．【答案】（1） （2）① ②； 解：（3）这个三角形为等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴且 ∴且 ∴ ∴这个三角形是等边三角形． 17．【答案】解：原式 ，，， ，，． 当时，原式 18．【答案】（1）设好田有x亩，则坏田有(100-x) 亩. 根据题意，得 解这个方程，得 答：好田买了 亩，坏田买了 亩. （2）设坏田平均亩产量为 ykg，则好田平均亩产量是 3y kg. 根据题意，得 解方程，得y= 100. 经检验，y = 100是所列方程的解. 所以有3y = 300. 答：好田的平均亩产量是 300 kg 19．【答案】（1）是 （2）解： 要使 的值为整数，则 的值必须为整数， ∴x-1应为2的整数因数， ∴x-1=±1或x-1=±2，解得x=0，2，-1，3. 20．【答案】（1）真 （2）解： （3）解：． 21．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 22．【答案】（1）解：12 （2）解：4 23．【答案】（1）解：由题意得，长方形空地的周长 ； 答： 长方形空地的周长为 （2）解：由题意得：， ， ∴ 元， 答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元． 24．【答案】（1） （2）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （4）解：底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴，C两种型号的包装纸箱符合条件， B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， 所以应选择C型号包装纸箱． 学科网（北京）股份有限公司 $