暑假专题提优：分式-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦分式核心考点，以“概念—性质—方程—应用”为逻辑主线，通过分层题型系统提炼解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题|分式有意义/值为零的双条件判断|从定义出发，构建“分子分母取值限制”认知| |性质应用|3题|分式基本性质逆向变形、参数值分析|以性质为桥梁，连接概念与运算| |方程求解|6题|分式方程解的范围/增根/无解分类讨论|通过“去分母—验根—参数分析”形成解题闭环| |综合应用|3题|新定义运算、跨学科实际问题建模|融合函数与方程思想，提升应用意识|

暑假专题提优：分式-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．要使分式的值为0，x的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0和1 2．运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（     ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大6倍 4．若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 5．若方程有增根，则它的增根是（     ） A．0 B． C． D．1 6．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（     ）． A． B． C． D． 7．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 8．《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 9．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 10．若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的分式方程 有整数解，则满足条件的整数的个数为（     ） A．2 B．1 C．4 D．3 二、填空题 11．若分式有意义，则实数的值可以是________（写出一个即可）． 12．若，则的值是______． 13．关于的分式方程无解，则的值为________． 14．若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 15．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 16．若一个四位数N，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足千位上的数字比百位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称N为“创新数”，例如，因为，，所以5467是一个“创新数”．对于一个“创新数”，规定，若C是最大的“创新数”，则________；已知A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b，为偶数．规定，当E为整数且取最大值时，则________． 三、解答题 17．完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 18．若关于x的分式方程无解，求m的值． 19．对于，定义运算（其中）， (1)若，求的值； (2)若，，，比较与的大小关系． 20．今年的5月12日是第18个全国防灾减灾日，主题是“人人讲安全、个个会应急——提高防灾减灾救灾能力”，5月11日至17日为防灾减灾宣传周．某商店销售A、B两款应急包，其中一个A款应急包的进价比一个B款应急包贵25元，用2000元购进A款应急包的数量是用750元购进B款应急包的数量的2倍． (1)求A、B两款应急包每个的进价分别为多少元； (2)若A款应急包的售价为110元/个，B款应急包的售价为95元/个，商店购进B款应急包的数量比购进A款应急包数量的2倍还多4个．若要使这两种应急包全部售出后获得的利润超过480元，则最少购进多少个A款应急包？（不考虑其他支出） 21．我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题提优：分式-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B D A A D C A 1．B 【分析】分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 2．C 【分析】根据分式基本性质，观察分母的变化，给分子做相同的变形即可求出A 【详解】解：∵ 原等式左边分母为，右边分母为， ∴分母乘了， ∴ 分子也需要同乘， ∴ 3．A 【分析】将x和y扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：∵x和y都扩大3倍后，新分子为， 新分母为， ∴新分式为：， 即新分式的值是原分式的3倍，分式的值扩大3倍． 4．B 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵分式有意义时分母不为0，即， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 5．D 【分析】解题思路是先根据增根定义找出所有可能的增根，再代入去分母后的整式方程验证，得到符合条件的增根. 【详解】解：∵原方程的分母为 ，分式方程的增根使原方程分母为0, ∴，可得可能的增根为 或 ， 给原方程两边同乘 去分母得：， 当时，代入得 ，解得 ，存在，符合增根定义， 当时，代入得 ，即 ，等式不成立，因此不是增根 ∴原方程的增根为. 6．A 【分析】根据“和谐分式”的概念进行判断即可． 【详解】解：选项：是最简分式，且分母可以利用平方差公式进行因式分解，故此分式是“和谐分式”，此选项符合题意； 选项：是最简分式，但分子、分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意； 选项：，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意； 选项：，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意． 7．A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 8．D 【分析】根据路程、速度、时间的关系表示出甲、乙两人的用时，注意统一单位，再根据时间差列出方程即可． 【详解】甲的速度为里/时，乙骑马速度是甲步行速度的倍， 乙的速度为里/时， 根据时间路程速度， 可得：甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， 乙比甲早到分钟，统一单位得分钟小时，甲用时比乙多小时， 可列方程． 9．C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【详解】解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 10．A 【分析】先解不等式组，根据不等式组有解且至多个整数解得到的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解筛选出符合条件的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 解不等式①，两边同乘得， 移项整理得， ∴； 解不等式②得， 不等式组的解集为； ∵不等式组有解且至多有个整数解， ∴， 解得； 解分式方程， 两边同乘得， 整理得， 当时，方程为，即方程无解，舍去； 当时，， ∵分式方程分母不为， ∴，即，解得， ∵方程有整数解，为整数， ∴是的整数因数，即， 解得， ， 符合条件的整数为，共个． 11．1（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． ∴实数可以是任意不等于的数，例如1． 12． 【分析】先对已知等式通分整理，得到与的数量关系，再将所求分式变形，利用整体代入法求值． 【详解】解：由分式有意义的条件可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 13．或 【分析】本题考查分式方程无解问题，先将分式方程化为整式方程，分两种情况讨论：整式方程无解，以及整式方程的解为分式方程的增根，分别计算得到的值即可． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 原分式方程无解， ①当整式方程无解时，一次项系数为，即，解得， ②当整式方程的解为分式方程的增根时，可得，即， 将代入，得： 解得， 综上所述：当的值为或时，原分式方程无解． 14．3 【分析】先求解分式方程，根据解为正数且分母不为0得到m的取值范围，一次函数的图象分布确定一个范围，综合确定解集，找出范围内所有整数，求和即可得到结果． 【详解】解：解分式方程 方程两边同乘 得 整理得 ， ∵分式方程的解为正数，且分母不能为0 ∴ 且 解得且 因为一次函数不经过第二象限， 所以 ，且， 故； 综上所述，且； 符合条件的整数为：， 故. 15． 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 16． 1133 【分析】易得最大的“创新数”C，即可求得；依题意可确定“创新数”A、B的各位数字，因而可计算出，根据题意可求得a与b的值，即可求解． 【详解】解：“创新数”C最大，则千位为9，从而百位为8，十位数字为6，个位数字为7，即“创新数”C最大为9867，则； ∵A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b， ∴A的千位数字为，十位数字为8，B的百位数字为6，十位数字为， ∴，， 则， ∴， ∵为偶数， ∴为整数， ∴当E为整数且取最大值时，必须，且要最大， ∴，即， ∴， ∵“创新数”各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴，不能取6或7或8， ∴， ∵， ∴不能取4或5或6， ∴， 当，则， 此时，，E为整数且取得最大值， ∴． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： 两边同乘，得 ． ． 解得． 检验：当时，， 所以为原方程的解． （2）解：原式 ． 18．或或 【分析】根据一元一次方程无解和分式方程无解的情况，分别讨论分析即可得解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得， 当，即时，该方程无解； 当时，， 关于x的分式方程无解， ， 解得或， 时，原分式方程无解， 解得，或． 综上所述，若关于x的分式方程无解，或或． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据给定运算写出的表达式，通过等式变形即可求出m的值； （2）先根据运算得到A和B的表达式， 利用作差法比较大小，结合判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：， ， ∵ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20．(1)A款应急包每个进价为100元，B款应急包每个进价为75元； (2)最少购进9个A款应急包． 【分析】（1）设A款应急包每个进价为元，则B款应急包每个进价为元，根据“用2000元购进A款应急包的数量是用750元购进B款应急包的数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购进个A款应急包，则购进个B款应急包，根据“利润超过480元”列不等式，取最小正整数解即可． 【详解】（1）解：设A款应急包每个进价为元，则B款应急包每个进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则（元）， 答：A款应急包每个进价为100元，B款应急包每个进价为75元； （2）解：设购进个A款应急包，则购进个B款应急包， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 可取的最小值为， 答：最少购进9个A款应急包． 21．(1)①√②× (2)4 【分析】（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解，再根据“关联数对”的定义列等式，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①当，时，分式方程为， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴是“关联数对”； ②当，时，分式方程为， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴不是“关联数对”； （2）解：∵是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $