暑假作业09 分式与分式方程（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以“概念-性质-运算-方程应用”为逻辑主线，系统覆盖分式核心知识点，通过分层题型强化基础理解与综合应用，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式概念|5题|考查分式有意义、值为0条件及字母取值范围|从定义出发，构建分式存在性与值的判定逻辑| |基本性质|5题|聚焦性质应用、最简分式判断及变形规律|以基本性质为核心，推导约分通分的操作法则| |分式运算|10题|包含四则运算与化简求值，强调符号规则|基于性质延伸运算技巧，形成“性质-运算”推导链| |分式方程|10题|覆盖解法（含增根）与实际应用，突出验根步骤|从整式方程迁移，构建“去分母-求解-检验”完整流程|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 分式与分式方程 【知识点1 分式的概念】 1.分式的定义： 一般地,如果表示两个 ,并且中含有字母,那么代数式 叫作分式,其中是分式的分子,是分式的分母, 且 . 2.（1）分式有意义条件： ； （2）分式无意义条件： ； （3）分式值为0条件： 且 3.分式的值：用 代替分式中的 ,那么分式就变成了分数的算式,运算结果就是相应的分式的值. 分式的值随分式中字母取值的变化而变化 .如果分式中字母所取的值使分母的值为0,那么分式无意义. 【知识点2 分式的基本性质】 1. 分式的基本性质： . 2.分式的约分： （1）分式约分的概念与依据：根据分式的 ,把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ,叫作分式的约分.根据分式的基本性质,约去的公因式不能等于零. （2）分式约分的目标：如果一个分式的分子与分母没有 ,那么这样的分式叫作最简分式.约分通常要把分式化成 或 . 3.分式的通分： （1）分式通分的概念与依据：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成 ,叫作分式的通分,变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 （2）分式通分的关键和方法：异分母分式通分时,关键是确定 .在求最简公分母时一般先分解因式,然后取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. 【知识点3 分式的运算】 1.分式的加减法则： 同分母的分式相加减, 不变,把分子 . 异分母的分式相加减,先 ,再 . 用符号表示为:. 2.分式的乘除法则： 分式乘分式,用 做积的分子, 做积的分母; 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 用符号表示为: 【知识点4 分式方程】 1.分式方程的概念：等式两边是分式或整式,且 中含有未知数的方程叫作分式方程。 2.分式方程的解法： （1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，将原方程化成 方程； （2）解一元一次方程； （3） 。 3.分式方程的增根：将分式方程去分母转化成一元一次方程（整式方程）时，并不是等价变形，所以解转化后的一元一次方程得到的值不一定是原方程的根，这个根就称为这个分式方程的增根。 由于解分式方程时，可能会产生增根，所以检验是必须得步骤。 4.应用分式方程解决实际问题的步骤： （1）审题，根据需要设出合适的未知数； （2）找出等量关系，列出方程； （3）解方程； （4）检验； （5）写出答案。 【题型1 分式有意义条件和分式值为0的条件】 1．若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 2．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则x的值为（     ） A．或 B． C． D． 4．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．无论x取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【题型2分式的基本性质】 6．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 7．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 8．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 9．把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 10．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 分式的四则运算】 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．分式运算 (1)计算： (2)化简： 14．计算： (1)； (2)． 15．计算： (1)； (2)． 【题型4分式的化简求值】 16．先化简，再求值：，其中． 17．先化简，再求值：，其中，且为整数，请从中选取一个合适的数代入求值． 18．先化简，再求值：，其中． 19．先化简，再求值：，其中． 20．先化简，再求值：，其中． 【题型5分式方程的解法】 21．解分式方程： (1)； (2)． 22．解方程： (1) (2)． 23．已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 24．关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 25．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 【题型6 分式方程的应用】 26．甲、乙两名同学沿学校周边步道晨跑，步道一圈长为1680米，甲、乙两名同学的速度比为，跑完一圈乙比甲多用60秒，求甲同学的跑步速度． 27．在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 28．五一期间，小冉爸爸开车带她去科技馆．有两条路线：路线一全程，但交通比较拥堵；路线二比路线一多，但平均速度比路线一快．若走路线二比走路线一少用，求走路线一的平均速度． 29．下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 30．某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 1．若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 32．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程有增根，则a的值是______． 6．解下列方程： (1)； (2)． 7．已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 8．先化简：再求当时此代数式的值 9．化简：． 10．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 1．若实数，则实数的值可以是（     ）． A． B． C． D． 2．关于x和y的值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 ※ ※ 无意义 ※ … 则y代表的分式是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 5．下列各式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 7．计算： (1)； (2)． 8．解分式方程： (1)； (2)． 9．化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 10．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：泗水作为“红薯之乡”，红薯产业蓬勃发展．今年，泗水某红薯种植园迎来大丰收，现计划将一批红薯用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨红薯待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨红薯的次数与每辆小货车运完20吨红薯的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输红薯各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨红薯的次数与小货车运输20吨红薯的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量－小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的表示________（填序号），解法二所列方程中的表示________（填序号）；①小货车每辆运输吨；②大货车每辆运输吨；③一辆大货车运输完50吨需次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 分式与分式方程 【知识点1 分式的概念】 1.分式的定义： 一般地,如果表示两个整式,并且中含有字母,那么代数式叫作分式,其中是分式的分子,是分式的分母, 且≠0. 2.（1）分式有意义条件：分母≠0； （2）分式无意义条件：分母= 0； （3）分式值为0条件：分子 0且分母 3.分式的值：用具体的数值代替分式中的字母,那么分式就变成了分数的算式,运算结果就是相应的分式的值. 分式的值随分式中字母取值的变化而变化 .如果分式中字母所取的值使分母的值为0,那么分式无意义. 【知识点2 分式的基本性质】 1. 分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 2.分式的约分： （1）分式约分的概念与依据：根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式,叫作分式的约分.根据分式的基本性质,约去的公因式不能等于零. （2）分式约分的目标：如果一个分式的分子与分母没有公因式,那么这样的分式叫作最简分式.约分通常要把分式化成最简分式或整式. 3.分式的通分： （1）分式通分的概念与依据：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分式,叫作分式的通分,变形后的分母叫作这几个分式的公分母。 （2）分式通分的关键和方法：异分母分式通分时,关键是确定最简公分母 .在求最简公分母时一般先分解因式,然后取各分母的所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. 【知识点3 分式的运算】 1.分式的加减法则： 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. 异分母的分式相加减,先通分,再加减. 用符号表示为:. 2.分式的乘除法则： 分式乘分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母; 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 用符号表示为: 【知识点4 分式方程】 1.分式方程的概念：等式两边是分式或整式,且分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 2.分式方程的解法： （1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，将原方程化成一元一次方程； （2）解一元一次方程； （3）检验。 3.分式方程的增根：将分式方程去分母转化成一元一次方程（整式方程）时，并不是等价变形，所以解转化后的一元一次方程得到的值不一定是原方程的根，这个根就称为这个分式方程的增根。 由于解分式方程时，可能会产生增根，所以检验是必须得步骤。 4.应用分式方程解决实际问题的步骤： （1）审题，根据需要设出合适的未知数； （2）找出等量关系，列出方程； （3）解方程； （4）检验； （5）写出答案。 【题型1 分式有意义条件和分式值为0的条件】 1．若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据分式分母不为0列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 2．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 3．若分式的值为零，则x的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式的值为零的条件，结合分式有意义的条件，即可得的值． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， ∴． 4．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式值为0时，分子为0且分母不为0，即可计算得到x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0， 可得，解得， ∴的值为2． 5．无论x取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式总有意义的要求是无论x取何值，分母都不为0，只需判断各选项分母是否恒不为0即可． 【详解】解：A选项：分母为，∵当时，，∴此时分式无意义，不符合要求； B选项：分母为，∵当时，，∴此时分式无意义，不符合要求； C选项：分母为，∵当时，，∴此时分式无意义，不符合要求； D选项：分母为，∵对任意实数，都有，∴，即无论x取何值，分母都不为0，分式总有意义，符合要求． 【题型2分式的基本性质】 6．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 7．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 8．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在除1以外的公因式，即可得到答案． 【详解】解：A、无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，则是最简分式； B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； C、，分子分母含有公因式，不是最简分式； D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 9．把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】将扩大后的x，y代入原分式化简，和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：∵x，y都扩大3倍，分式为， ∴分式的值不变． 10．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 【题型3 分式的四则运算】 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先统一分母，再合并计算； （2）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．分式运算 (1)计算： (2)化简： 【答案】(1) (2)x+1 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异分母分式的加减法法则计算即可． （2）根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】（1）解：（1）原式      ； （2）解：原式 ． 【题型4分式的化简求值】 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ∵， ∴原式． 17．先化简，再求值：，其中，且为整数，请从中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的整数代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵分式有意义， ∴，，， ∴，，， ∵ 满足的整数， ∴的值可以为0或2， ∴当时，原式， 当时，原式． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【详解】解： ． 将代入得：原式 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】1，1 【详解】解：分式有意义的条件为：， 原式 ， 当时，原式． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型5分式方程的解法】 21．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母可得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 22．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，再进行求解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】（1）解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 23．已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据此方程的解是正数，即可求解． 【详解】（1）解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 把代入整式方程得：， 解得； （2）解：去分母得：， 解得， ∵此方程的解是正数， ∴且， ∴且． 24．关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程，得， 去分母得， 整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （3）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且， ∴且． 25．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为2， 【分析】本题考查了分式方程的求解及增根的概念和应用． （1）将代入原方程，通过去分母化为整式方程求解，最后检验解的合理性； （2）先解分式方程得到用m表示的x，根据原分式方程有增根得到，且用m表示的x的式子的分母，分情况讨论确定出m的值即可． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的根． （2）解：， 解得， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴m的值为2，． 【题型6 分式方程的应用】 26．甲、乙两名同学沿学校周边步道晨跑，步道一圈长为1680米，甲、乙两名同学的速度比为，跑完一圈乙比甲多用60秒，求甲同学的跑步速度． 【答案】米/秒 【分析】利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，根据甲乙的速度比设未知数，依据跑完一圈乙比甲多用60秒的等量关系列分式方程求解，即可得到甲的跑步速度． 【详解】解：设甲同学的跑步速度为米/秒，则乙同学的跑步速度为米/秒． 根据题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴甲的速度为（米/秒） 答：甲同学的跑步速度为4米/秒． 27．在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【答案】模型每分钟输出生成速度是分钟 【分析】利用时间 = 总量 ÷ 速度 的关系，结合两种模型的时间差建立方程求解； 【详解】解：设模型每分钟输出生成速度是 ，则模型每分钟输出生成速度是 ，根据题意列方程得， ， 解得，， 经检验是原分式方程的解且符合实际． 则分钟， 答：模型每分钟输出生成速度是分钟． 28．五一期间，小冉爸爸开车带她去科技馆．有两条路线：路线一全程，但交通比较拥堵；路线二比路线一多，但平均速度比路线一快．若走路线二比走路线一少用，求走路线一的平均速度． 【答案】走路线一的平均速度为． 【分析】设走路线一的平均速度是，则走路线二的平均速度是，根据时间差列出正确的分式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设走路线一的平均速度为，则走路线二的平均速度是， 由题意可得， 解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：走路线一的平均速度为． 29．下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 【答案】(1)长治到郑州的大巴速度；两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间 (2)长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 【分析】（1）根据题意和所列方程可得答案； （2）选芳芳的解法，解方程求出x的值，检验后求出的值即可得到答案；选橙橙的解法，解方程求出t，再根据速度等于路程除以时间求出对应的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意可得芳芳同学所列方程中表示的实际意义是长治到郑州的大巴速度；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间． （2）解：选芳芳同学的解法： ， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意 ； 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 选橙橙的解法： ， 去分母得， 解得， ，， 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为． 30．某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 【答案】(1)型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 (2)有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； （2）解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 1．若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式有意义时，分式的分母不能为0， ∴， 解得． 2．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 4．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 5．若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 6．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分式方程两边同乘去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解； （2）先整理方程，再将分式方程两边同乘去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解； 【详解】（1）解：， 两边同乘去分母得：， 展开得， 移项合并得， 检验：当时，， 因此是原方程的解； （2）解：， 整理方程得， 两边同乘去分母得：， 整理得， 移项合并得， 检验：当时，， 因此是原方程的解． 7．已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且满足整式方程是解题的关键． 先确定分式方程的最简公分母，找到可能的增根，将增根代入整式方程求出对应的值，从而确定的取值范围． 【详解】解：解分式方程， 变形右边： ​两边同乘 去分母： 解得． 当，即时，分式方程有增根． 把代入，得． 分式方程不会产生增根， ． 8．先化简：再求当时此代数式的值 【答案】；4 【分析】将原式化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 10．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】智能机器人每小时可以装载货物9吨 【分析】建立分式方程，求解后得到智能机器人每小时可以装载多少吨货物． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载货物吨，则智能机器人每小时可以装载货物吨，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨． 1．若实数，则实数的值可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求． 【详解】解：化简分式：， ∵分式有意义时分母不能为， ∴，，即且，逐个判断选项， 选项：若，则，解得，满足条件，选项符合要求； 选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误； 选项：若，则，无实根，故不可能为，选项错误； 选项：若，则，解得，不满足分母不为的要求，选项错误． 2．关于x和y的值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 ※ ※ 无意义 ※ … 则y代表的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件和分式值为0的条件，根据表格信息，利用分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，即可排除错误选项得到答案． 【详解】解：由表格可知，当时，无意义，即分母为， 将代入各选项分母，A选项分母，B选项分母，因此A、 B不符合题意， 又当时，， 将代入剩余C、D选项的分子， C选项分子，分母，符合要求； D选项分子，不符合要求， 故选：C． 3．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 4．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 5．下列各式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式的基本性质化简原式，再和选项对比即可得到答案． 【详解】解：， ． 因此原式和的值相等． 6．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 8．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解． (2) 【详解】（1）解： 解得 经检验，是增根， ∴原方程无解； （2）解： 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 9．化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式＝ 【分析】先计算括号中的减法，再将除法转化为乘法进行化简原式，最后代入字母的值计算即可 【详解】解：原式 ，，， ，，． 当时，原式 10．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：泗水作为“红薯之乡”，红薯产业蓬勃发展．今年，泗水某红薯种植园迎来大丰收，现计划将一批红薯用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨红薯待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨红薯的次数与每辆小货车运完20吨红薯的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输红薯各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨红薯的次数与小货车运输20吨红薯的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量－小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的表示________（填序号），解法二所列方程中的表示________（填序号）；①小货车每辆运输吨；②大货车每辆运输吨；③一辆大货车运输完50吨需次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． 【答案】(1)①；③ (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于根据题意正确建立方程． （1）根据所列方程分析即可； （2）根据解分式方程步骤求解，进而得出大货车、小货车每辆每次运输红薯的吨数，即可解题． 【详解】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨； 解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次； 故答案为：①；③． （2）解：解法一： 方程两边同乘， 得， 解得，检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．            ∴大货车每次运输红薯吨，小货车每次运输红薯10吨．       解法二： 方程两边同乘x，得：， 解得， 检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．        ∴大货车每次运输红薯吨，小货车每次运输红薯吨． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $