第13讲 图形变换与坐标变化17大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第13讲 图形变换与坐标变化 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求点到坐标轴的距离 题型2 坐标系中的平移 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型4 由平移方式确定点的坐标 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 题型8 坐标系中的对称 题型9 坐标与图形变化——轴对称 题型10 坐标系中的旋转 题型11 求关于原点对称的点的坐标 题型12 已知两点关于原点对称求参数 题型13判断两个点是否关于原点对称 题型14 中点坐标 题型15 坐标系中的动点问题 题型16 点坐标规律探索 题型17 用方向角和距离确定物体的位置 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 坐标系中坐标的平移 图形变换 坐标对称问题 1. 掌握平移前后点坐标变化规律，准确写出变换后坐标 2. 理解轴对称图形坐标特征，能依据对称轴求对应点坐标 3. 知晓旋转、位似的坐标变化，会计算变换后点的坐标 4. 借助坐标判断图形变换类型，建立数形结合思维 5. 利用坐标变换画图解题，规范完成图形坐标类习题 学习重点：熟记平移、轴对称坐标变化规律，实现图形变换与点坐标相互推导转换。 学习难点：综合多种变换分析坐标变化，灵活运用坐标规律解决复杂几何作图题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 图形变换与点的坐标变化 图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 注意：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 即时即练 1．如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换，坐标与图形变化对称，坐标与图形变化平移．由题目规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，得到正方形连续经过2022次变换后，横坐标是，翻折偶数次后纵坐标是2，即可得到变换后的的坐标． 【详解】解：由题意知正方形的边长是2，是正方形对角线的交点，可得的坐标是， 正方形连续经过2022次变换后，向左平移2022个单位长度， 正方形连续经过2022次变换后，横坐标是， 翻折一次后纵坐标是，翻折二次后纵坐标是2，翻折三次后纵坐标是，翻折四次后纵坐标是2， 翻折偶数次后纵坐标是2， 正方形连续经过2022次变换后，纵坐标是2， 连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用坐标与图形性质得到，，利用平移性质得到，结合已知列方程即可求出m的值． 【详解】解：连接，如图， ∵，，，， ∴，， ∵三角形沿轴向右平移得到三角形． ∴， ∵， ∴，解得． 3．已知点，点关于轴对称，则的值是________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此列出二元一次方程组，求解得到和的值后， 代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点，点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 4．如图，将向右平移2个单位，向下平移5个单位，得到． (1)画出，并写出的坐标； (2)是内一点，直接写出P点平移后对应点的坐标． 【答案】(1)解：如图所示，点的坐标为， (2) 【分析】解：（1）根据平移的性质确定的对应点，再画图以及确定的坐标； （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：画图，略 根据的位置可得：点的坐标为 （2）解：点P平移后对应点的坐标为． 题型1 求点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，再结合第四象限点的符号特征即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为，即，， 又∵点在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴，， ∴点的坐标为． 2．设线段轴，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题利用平行于x轴的线段上点的坐标性质，即纵坐标相等，再结合线段长度得到横坐标的两种可能情况，计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 点A与点B的纵坐标相等，即点A的纵坐标为， 设点A的横坐标为， ∵点B坐标为，， ∴ ， 即 或 ， 解得 或 ， ∴ 点A的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，点，，若，则的值等于______________． 【答案】或 【分析】先观察两点横坐标相同，判定线段垂直于轴，两点距离等于纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解． 【详解】解：∵点，点， ∴横坐标相等，线段轴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 4．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若到轴的距离为4，求的值； (2)若点的横纵坐标相等，求点的坐标； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据点P到y轴的距离为4，得出，求出m的值即可； （2）根据点的横纵坐标相等，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵点P到y轴的距离为4， ∴， 或； （2）解：∵点P的横纵坐标相等， ， ， ． 5．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）点M在x轴上，纵坐标为0，由此列式即可求解； （2）点M到y轴的距离为3，则横坐标的绝对值为3，由此列式即可求解； （3）根据题意得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：已知点， 由题意得，， 解得，， ∴， ； （2）解：由题意得，， 则或， 解得，或5， 或； （3）解：点M到坐标轴的距离相等， ， 或， 解得，或 ， 当时，， 当时，， 或． 题型2 坐标系中的平移 6．已知长方形的三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形对边平行的性质，结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，即可推导D点坐标． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，，， 由已知，， ∴轴， ∴轴， ∵， ∴点横坐标， 又∵，， ∴轴， ∴轴， ∵点纵坐标为， ∴点纵坐标， ∴点坐标为． 7．“广西县超”是全国首创的以县为单位组队参赛的省级足球联赛，球员多为来自各行各业的草根选手，深受八桂群众的喜爱．如图是体育看台的一部分，西西所在的点在平面直角坐标系的位置如图所示，已知南南所在的点为，则南南可能在（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】得出平移方式：将点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到南南所在的点，据此解答即可． 【详解】解：∵，南南所在的点为， ∴将点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到南南所在的点， ∴在平面直角坐标系中，南南可能在点． 8．已知点A坐标为，点B的坐标为，若轴，则_________． 【答案】 【分析】根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，列出关于a的一元一次方程求解即可，掌握平行于x轴的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵ 轴，点B的坐标为， ∴ 点A的纵坐标等于点B的纵坐标， 即． 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)请在图中画出； (2)点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）确定出A、B、C三点平移后的对应点，，，依次连接即可； （2）根据平移即可求解． 【详解】（1）解：平移后的如图； （2）解：点的坐标为． 10．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中． (1)建立直角坐标系，画出正方形； (2)将正方形平移，得到正方形，且正方形中任意一点平移后的对应点为，画出正方形； (3)在（2）的条件下，直接写出点的坐标__________，点的坐标__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）直接描点连线即可； （2）根据平移的性质作图，即可得出答案； （3）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求， （2）解：由题意知，正方形向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到正方形， 如图，正方形即为所求； （3）解：由图可知：，. 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 11．在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向上平移一个单位，则得到的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，沿y轴平移时横坐标不变，只改变纵坐标，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点沿轴方向向上平移个单位， ∴平移后点的坐标为． 12．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点平移的坐标规律：向左平移横坐标减小，向下平移纵坐标减小，即可求解． 【详解】∵点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 13．点沿轴正方向平移2个单位长度，再向轴负方向平移1个单位长度后，点的坐标为_____，它位于_____轴上． 【答案】 【分析】先根据平移规则算出平移后的横、纵坐标，再根据坐标特征判断点在哪条坐标轴上（纵坐标为0在轴上，横坐标为0在轴上）． 【详解】解：已知点， 沿轴正方向平移2个单位，横坐标加2： ； 再向轴负方向平移1个单位，纵坐标减1： ， 因此平移后点的坐标为， 该点纵坐标为0，根据坐标轴上点的特征，纵坐标为0的点在轴上． 14．在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：将点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加， 第一次平移后点的坐标为， 再向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标减， 点的坐标为． 15．如图，已知的顶点坐标分别为，，，将先向右平移个单位，再向上平移个单位得到． (1)画出，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，，， (2) 【分析】本题考查了平移作图，写出平面直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形的面积． （1）把三角形的各顶点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到平移后的各点，顺次连接平移后的各顶点即为平移后的三角形，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标； （2）用割补法求解即可． 【详解】（1）如图，即为所求， ，，； （2）． 题型4 由平移方式确定点的坐标 16．如图，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则点P的对应点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图形知点P的坐标为， 将点P向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 则点P的对应点坐标是，即． 17．在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，若点坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据A点及其对应点C的坐标确定平移规律，再根据规律计算B对应点D的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴横坐标变化为，纵坐标变化为， ∴平移方式为：向右平移个单位，向上平移个单位， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 18．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据平移规律，向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，据此计算即可． 【详解】解：点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点N， ，， 点N的坐标为,即． 19．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且的两个不相等的平方根分别是与． (1)求点的坐标； (2)若将点沿轴方向平移，则向上平移________个单位长度后，恰好落在第一象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题意得，解得，再求出x的值； （2）写出第一象限的角平分线表达式，求出平移后的位置，即可得到平移距离． 【详解】（1）解：由题意得，， 化简得，， 解得，， ， ； （2）解：第一象限的角平分线为， 当时，， 沿轴方向平移后的位置为， ， 点沿轴向上平移了个单位长度． 20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点A和其对应点C确定平移规律，再按规律计算点D的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加，即线段向右平移个单位，纵坐标不变， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 21．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【详解】解：∵线段所有端点横坐标都加，纵坐标都减， ∴线段到线段的平移方式为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度． 22．线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先由点和点的坐标确定平移过程，再求出点的坐标． 【详解】解：∵点由点平移得到， ∴平移过程为：向右个单位长度，向下个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即． 23．通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点和的坐标确定平移方式，再根据平移方式计算点的坐标即可． 【详解】解：∵通过平移把点移到点， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵按同样的平移方式，点移动到点， ∴点的坐标是，即． 24．如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形． (1)分别写出点，的坐标：（______，______），（______，______）． (2)请说明是由经过怎样的平移得到的； (3)是三角形内部的一点，若点平移后的对应点的坐标为，那么点的坐标为______． 【答案】(1)； (2)三角形是由三角形先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到的 (3) 【分析】（1）根据两点在坐标系内的位置可直接得出答案； （2）根据，的坐标确定平移方式； （3）根据平移方式确定点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得，，； （2）解：，，，， 是由先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到的（先向上平移4个单位，再向左平移5个单位得到的）； （3）解：点先向上平移4个单位，再向左平移5个单位，对应点的坐标为， 点的坐标为，即． 25．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度．已知三角形的顶点，，，将三角形平移得到三角形，三角形中任意一点经平移后对应点为． (1)画出三角形，并写出顶点坐标： ， ， ． (2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点的坐标为 ．连接线段，则这两条线段之间的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析，，， (2)， 【分析】（1）根据点P找出平移规律，进而画出三角形，根据平面直角坐标系可知顶点坐标； （2）根据平移规律得到点的坐标，根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵点经平移后对应点为， ∴平移规律为向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 三角形如图，可知，， （2）解：∵点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到， ∴ 连接线段，由平移规律可知． 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 26．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则________． 【答案】6 【分析】平移中点的变化规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，根据平移规律列方程求解即可． 【详解】解：点向左平移个单位得到点， ， 解得． 27．在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，其中点A的对应点是C，则点B的对应点是D的坐标为___________． 【答案】 【分析】由题意可得平移方式为向右平移个单位，向下平移个单位，再结合点的坐标计算即可得出结果． 【详解】解：∵将线段平移得到线段，其中点的对应点是， ∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∵点的对应点是D， ∴点D的坐标为，即． 28．如图，已知点，．将线段平移后得到线段，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形的面积为9，则点C的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求的长度，再根据平行四边形面积公式求点的坐标，最后根据平移的性质求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点，， ∴， 设点的纵坐标为． ∵四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为：时： 点的坐标为 故点坐标为： 当点的坐标为：时： 点的坐标为 故点坐标为： 故答案为：或． 29．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点均在格点上，点的坐标是．现将三角形平移，使点A与点重合，点B，C的对应点分别是点，． (1)请画出平移后的三角形，并写出点的坐标； (2)点P是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为 (2) 【分析】（1）由题意可知将点A向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，根据此特点再将点B，C向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，然后依次连接可得，最后根据点的位置得出答案； （2）将点向上平移2个单位长度，即纵坐标加上2，再向右平移5个单位长度，即横坐标加上5，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：将点P向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， 则将点向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度可得点． 30．沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 31．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：将点向左平移得到，左右平移过程中纵坐标不变， 点的纵坐标为， 又将点向下平移得到，上下平移过程中横坐标不变， 点的横坐标为， 点的坐标为． 32．将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 【答案】2 【分析】平面直角坐标系中，点的平移遵循规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．据此列方程组解答． 【详解】解：，先向下平移4个单位（纵坐标减4），再向右平移3个单位（横坐标加3），得到，因此可得方程组： 横坐标：，解得； 纵坐标：，解得； 因此． 33．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且， 将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段， ∵点B的对应点为， ∴， 点的坐标为． 34．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________； (2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． (3)求出三角形的面积． 【答案】(1) 如图，平移后的即为所求 点的坐标是； (2) (3) 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解； （3）先求出所在的长方形的面积，然后减去四周的三角形的面积即可． 【详解】（1）由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到； （2）由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为； （3） 35．如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形． (1)画出三角形 (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值； (3)求三角形面积； (4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据三角形平移的方向和单位长度分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据点平移的坐标变化规律：左减右加纵不变，上加下减横不变，构建方程组即可解决问题； （3）利用分割法求出三角形的面积即可； （4）设点，则，然后利用建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，如图， ∴，，， 连接、、， ∴三角形即为所作； （2）平移后点的对应点， ∵， ∴， 解：， ∴，； （3）， ∴三角形面积为； （4）设点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—平移变换，点坐标平移的规律，两点间距离，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积． 题型8 坐标系中的对称 36．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 37．在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 38．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 39．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 40．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)直接写出关于点中心对称的的坐标； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（不要求写出做法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据平移的性质分别作出，，的对应点，，，顺次连接即可； （2）根据关于坐标原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，直接求解即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点， 点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：观察图象可知，，，， 根据关于坐标原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数可得：，，； （3）解：在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， 则，点即为所求． ，，， ， 为等腰直角三角形， ． 题型9 坐标与图形变化——轴对称 41．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 42．剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于轴对称的两点坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列二元一次方程组求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点与点关于轴对称， 根据关于轴对称的坐标特征： ， 整理方程组： ， 得：， 把代入②：， 解得， ， ． 43．在平面直角坐标系中有一点，作点关于轴的对称点，再将点向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标是__________，__________ 【答案】 【分析】先根据平移的坐标变化规律求出的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的坐标即可． 【详解】解：将点向下平移个单位长度，得到点， 故将点向上平移个单位长度，即可得到点， ， 故点的坐标为； ∵点关于轴的对称点是点， 点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 44．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于y轴对称点为，则，结合，求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 45．在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在第二象限角平分线上的坐标特征：横坐标和纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （3）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点关于y轴对称的点为， ∴点在第二象限的角平分线上， ∴，   解得； （2）解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴； （3）解：∵点向上平移2个单位长度后得到点， ∴点， ∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴ ． 题型10 坐标系中的旋转 46．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的方式作出点的对应点，再顺次连接即可； （2）根据旋转的方式作出点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 47．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点坐标为____________； (3)计算的面积； (4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或或或 【分析】本题考查了轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，旋转变换，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，做出点，再连线，即可求解； （2）根据图形，即可求解； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）分别将线段绕点A顺时针旋转、逆时针旋转，将线段绕点B顺时针旋转、逆时针旋转，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可知，点坐标为． （3）解：由图可知，． （4）解：如图，将线段绕点A逆时针旋转，得到， 根据旋转可知，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 由图可知点坐标为； 同理，将线段绕点A顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B逆时针旋转，得到，点坐标为； 综上可知，点P坐标为或或或． 48．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)画出平面直角坐标系，使的顶点的坐标分别为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点分别为点）； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与平面，画旋转图形，旋转中心的确定等知识点． （1）根据顶点的坐标分别为建立平面直角坐标系即可； （2）将点分别绕着点得到点，再顺次连接即可； （3）连接对应点，交点即为旋转中心，即可求解． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图： （2）解：如图，即为所求； （3）解：连接，交点即为旋转中心，可得坐标为， 故答案为：． 49．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出绕原点顺时针旋转后的． (2)求出此时的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换性质，属于中考常考题型． （1）分别找到旋转后各点的对应点，再依次连接即可； （2）利用围成的长方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． 50．如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． （1）连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； （2）将点分别绕原点旋转，得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：旋转中心即为所求； （2）解：如图，即为所求； 题型11 求关于原点对称的点的坐标 51．点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的性质求出点的坐标，再结合点在第三象限列出关于m的不等式，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 52．在平面直角坐标系中，已知，作点A关于y轴的对称点，作点关于原点的对称点，作点关于x轴的对称点，作点关于y轴的对称点，……．按此规律，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是点的坐标，熟知两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标，纵坐标都是互为相反数是解答此题的关键. 根据各点坐标找出规律，进而可得出结论. 【详解】解：根据题意，得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，……．由此可知，每三次变换为一组循环．因为，所以点的坐标为． 故答案为：. 53．已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为____________ 【答案】 【分析】本题考查了平方式和算术平方根的非负性、求关于原点对称的点的坐标以及解二元一次方程组，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键． 根据平方式和算术平方根的非负性列方程组求解，从而求得点P坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴点P坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标， 故答案为：． 54．在平面直角坐标系内，完成以下各题． (1)将坐标为，，，，，，，的点在已知图形中描出，并用线段依次连接，得到图形1； (2)先将图形1向左平移两个单位后，再绕原点旋转，得到图形2； (3)直接写出图形1中的任意一点，在图形2中对应点的坐标． 【答案】(1)解：如图所示，所得图形即可所求； (2)解：如图所示，所得图形即可所求； (3)点的坐标为 【分析】（1）先描点，再依次连线即可； （2）根据平移，旋转进行作图即可； （3）先推导出点向左平移两个单位，得到，再根据旋转的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵图形1向左平移两个单位， ∴图形1中的任意一点向左平移两个单位，得到， ∴点再绕原点旋转，即得到的点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 55．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点中心对称的坐标变换规则求出各顶点的对称点，描点连线画出三角形； （2）根据题意得出平移规则：左移、下移，将各顶点按规则平移后连线即可； （3）取一组对应点​、，用中点坐标公式算出中点，该点即为两三角形的对称中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交于点， 则点为和的中心对称点， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，即， 和的中心对称点为． 题型12 已知两点关于原点对称求参数 56．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 57．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点所在的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且在第二象限， ∴，解得：； 故选B． 58．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，根据点在第三象限，结合原点对称的坐标特征确定点所在象限，进而列出不等式组求解的取值范围． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限， ∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限， ∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 59．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值是_____． 【答案】1 【分析】本题考查了其他问题(二元一次方程组的应用)，已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据关于原点对称的点的性质，点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解∶∵点与点关于原点对称， ∴，且． 解得：． ∴． 故答案为：1． 60．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 【详解】（1）解：两点关于原点对称， ， ； （2）解：两点关于轴对称， ， ． 题型13判断两个点是否关于原点对称 61．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 62．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 63．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 64．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是__________． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案． 【详解】由一次函数与反比例函数的图象和性质可知，其交点，两点关于原点对称， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确解题的关键． 65．课本知识再现： （Ⅰ）归纳（八年级上册课本70页）：点关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称的点的坐标为； （Ⅱ）归纳（九年级上册课本68页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点． (1)根据上面知识，求与已知直线关于y轴对称的直线的解析式； 解：∵关于y轴对称的点的坐标为； 即直线上的点关于y轴对称的点的坐标为， ∴． ∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为． 理解上面的解题过程，并完成填空： 与已知直线关于x轴对称的直线的解析式为_________； (2)已知二次函数的图象与抛物线关于原点对称，求a，b，c的值； (3)判断以下每对函数的图象：①与；②与； ③与；④与．其中一定关于原点对称的是_________（填序号）． 【答案】(1) (2) (3)③ 【分析】（1）根据于x轴对称的点的坐标，可得用换解题即可； （2）根据原点对称的点的坐标特点，可得用换换整理解题即可； （3）根据原点对称的点的坐标特点，可得用换换逐一判断即可； 【详解】（1）解：∵关于x轴对称的点的坐标为； 即直线上的点关于x轴对称的点的坐标为， ∴，即． ∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为， 故答案为：． （2）解：∵点关于原点的对称点为， ∴即抛物线上的点关于原点的对称点为， ∴，即． ∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为， ∴． （3）j解：①∵点关于原点的对称点为， 则直线关于原点的对称的对称直线为，即，即不关于原点对称； ②抛物线关于原点的对称的对称抛物线为，即，即不关于原点对称； ③抛物线关于原点的对称的对称抛物线为，即，即关于原点对称； ④抛物线关于原点的对称的对称抛物线为，即，即不关于原点对称； 故一定关于原点对称的是③， 故答案为：③． 【点睛】本题考查函数图像关于轴对称和中心对称，掌握图像上对称点的变换规律解题即可． 题型14 中点坐标 66．如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算，即可得解． 【详解】解：由图可知：与交于点， 故与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 则，， 整理得，，， 故点的坐标为． 67．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 68．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 69．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 70．定义：在平面直角坐标系中，若两点，所连线段的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题： （1）在平面直角坐标系中，若点，线段的中点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于___________． 【答案】 8或0 【分析】（1）设点的坐标为，根据中点坐标公式计算即可； （2）根据中点坐标公式得，，根据题意分类讨论：当点在轴的负半轴上时和当点在轴的正半轴上时，利用中点坐标列方程即可求解． 【详解】解：（1）设点的坐标为， ∵点，线段的中点的坐标为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）依题意得：点的横坐标为：，纵坐标为：， 由点恰好位于轴上，且到轴的距离是2， 则当点在轴的负半轴上时： ， 解得：， ； 当点在轴的正半轴上时： ， 解得：， ； 综上所述，的值等于8或0． 题型15 坐标系中的动点问题 71．在平面直角坐标系中，已知，，，以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点，若的最大值不超过5，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，，令，则或，即可得出或，再分两种情况，计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，已知，，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， 令，则或， ∴或， ∵以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点， ∴， ∵的最大值不超过5， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，t的取值范围是． 72．在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为点； (1)如果点，那么“关联点”的坐标Q为____________________； (2)如果点的关联点的坐标为，则此时________． 【答案】 或 【分析】根据关联点的定义，分情况计算，第一问比较点的横纵坐标大小，代入对应关系式求解的坐标，第二问分两种情况求出点的坐标，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：（1）∵点， ∴，，可得， 根据关联点定义，得， ∴点的坐标为． （2）∵点的关联点的坐标为， ∴，， 分两种情况讨论： 当时， ，即 ，解得， ∴点， ∵，横坐标相同，线段在直线上， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 当时， ，即 ，解得， ∴点， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 综上所述， 或． 73．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据所给运动方式，依次求出甲乙每次相遇地点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，，， 令甲乙第1次相遇所用时间为t秒， 则， 解得， 所以甲乙第1次相遇地点的坐标为． 同理可得，甲乙第2次相遇地点的坐标为，甲乙第3次相遇地点的坐标为，甲乙第4次相遇地点的坐标为，…， 发现规律：甲乙相遇地点的坐标按，，循环． ∵， ∴甲乙第2012次相遇地点的坐标为． 74．直角梯形放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点、同时开始移动，设移动时间为秒，当、两点中有一点停止移动时另一点也立即停止．    (1)求梯形的面积； (2)当时，求四边形的面积； (3)当线段把梯形分成了面积相等的两个部分时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由坐标和比例求出梯形上下底，套梯形面积公式计算总面积； （2）先算出时两段动点长度，将四边形面积拆分为两个三角形的面积和进行计算； （3）分、两段分类讨论，用直角梯形面积公式列方程，令面积等于总面积一半，解出时间，进而算出点坐标． 【详解】（1）解：已知四边形为直角梯形，点的坐标为， 则，， 已知，即， 解得， 故梯形的面积为． （2）解：如图，连接，      已知，，则动点沿运动需要，动点沿运动需要， 则当时，点沿运动，点沿运动， 根据题意可得，， 则，， 故四边形的面积为． （3）解：根据题意可知，动点沿运动需要，动点沿运动需要，沿运动需要， 则整个运动过程耗时为， 据（1）可知，， 当时， ，，， 可得， 当线段把梯形分成了面积相等的两个部分， 可得， 解得， ， 则点的坐标为； 当时， ，，，， 可得， 当线段把梯形分成了面积相等的两个部分， 可得， 解得， ， 则点的坐标为， 综上，当点的坐标为或时，线段把梯形分成了面积相等的两个部分． 75．如图1，平面直角坐标系中，已知点，，其中，满足，将点向右平移24个单位长度得到点． (1)求点和点的坐标； (2)如图1，点为线段上一动点，点从点以2个单位长度/秒的速度向点运动，同时点为线段上一动点，从点以3个单位长度/秒的速度向点运动，设运动的时间为秒（），四边形的面积记为（以下同理表示），若，求的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，若时在轴上方有一点，满足，则的值为__________． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）由题意利用非负数的性质求出a，b，得出A，B的坐标，由平移的性质可得出答案； （2）由题意得出，则，，结合梯形的面积公式得出关于t的不等式，解不等式可得出答案； （3）根据（2）中结论得两点坐标，再割补法计算即可，注意对点的位置分情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴，， 解得，． ∴，． ∵将点向右平移24个单位长度得到点， ∴． （2）解：由题意，得，， 则，， ∴，， ∵， ∴， 解得． ∵， ∴． （3）解：当时，由（2）知，， 所以点坐标为，点坐标为，已知， ①在直线下方， 当在点左边，过点作,如图1， 所以 所以，所以； 当在点右边，如图2，作, 所以 ， 所以，所以； ②在直线上方， 当在点左边，过点作,过点作，如图3， 所以 ， 所以，所以； 当在点右边，过点作,过点作，如图4， 所以 所以，所以； 综上所述或． 【点睛】本题考查非负数的性质、坐标平移、动点面积问题及分类讨论思想，解题关键是由非负性求定点坐标，用含的式子表示动态线段，借助梯形面积公式建立不等式求范围，对点与直线的相对位置分四类讨论，利用割补法将三角形面积转化为含的代数式，恒等变形求得目标值，分类完整是避免漏解的核心． 题型16 点坐标规律探索 76．在平面直角坐标系中，将若干个全等的等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中规律和等腰直角三角形的性质得出点的规律，即可解答； 【详解】解：根据题目给出的、、，…， ∴， ∵图中三角形为全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴的横坐标为2，纵坐标为，的横坐标为4，纵坐标为，的横坐标为6，纵坐标为，…， 结合图形排列规律可得：所有点的横坐标都等于下标；下标为奇数的点都在轴上，纵坐标为；下标为偶数的点（为正奇数）的纵坐标都等于，点（为正偶数）的纵坐标都等于， 对于：，得，是奇数，因此纵坐标为， ∴的坐标是． 77．如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察可知，每6个点一个循环，每个循环横坐标增加8，纵坐标以2，2，0，，，0，进行循环，求解即可. 【详解】解：观察可知，每6个点一个循环，每个循环横坐标增加8，纵坐标以2，2，0，，，0，进行循环， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为. 78．如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，按照这样的运动规律，点的横坐标是____________ 【答案】 【分析】观察图象，根据从原点O出发，依次运动到，，，，，，发现各点横坐标的数值变化确定变化规律和变化周期，从而确定点的横坐标． 【详解】解：观察图象，根据从原点O出发，依次运动到，，，，，，发现： 从原点到，横坐标， 从到，横坐标， 从到，横坐标， 从到，横坐标， 从到，横坐标， 从到，横坐标， …… 横坐标的变化规律为：、、、、、……，每三个为一个循环， ∵，从点O到点共进行了675个循环， ∴点的横坐标是． 79．如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…按此做法进行下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】仔细观察图形，根据题目所给点的坐标，以每四个点为一个组别，可以发现每一组的第二个点，横坐标都是，纵坐标是，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：，，，， ，，，， ，，，， 以每四个点为一个组别，可以发现每一组的第二个点，横坐标都是，纵坐标是， ∵， 为第507组第2个数， 则． 80．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断地移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，． （1）第12次移动到点的坐标为__________； （2）第次移动到点的坐标为__________．（用含自然数的代数式表示） 【答案】 / 【分析】根据前几个坐标分别得到移动次数和坐标之间的关系，然后求解即可． 【详解】解：（1）第2次移动到点，即， 第4次移动到点，即， 第6次移动到点，即， … ∴第次移动到点的坐标为， ∴第12次移动到点的坐标为，即； （2）第1次移动到点，即， 第3次移动到点，即， 第5次移动到点的坐标为，即， … ∴第次移动到点的坐标为． 题型17 用方向角和距离确定物体的位置 81．月日下午，年“文化和自然遗产日”非遗展示展演主会场活动在郑州商都遗址博物院北广场启动，现场人数众多，位于处的佳佳准备前往相距的处与琪琪会合（如图）．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（     ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的南偏西，处 C．佳佳在琪琪的北偏东，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 【答案】A 【分析】根据方向角的定义，结合两人相距，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，佳佳在琪琪的北偏东，处． 82．在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．如图，是以八卦文化广场为点绘制的简易地图，若点的位置用表示，点的位置用表示，则点的位置可以表示为___________． 【答案】 【分析】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案． 【详解】解：∵点的位置用表示，点的位置用表示， ∴点C的位置可以表示为． 83．如图，轮船航行到处时，观测到小岛的方向是北偏东，那么同时从小岛观测轮船的方向是南偏西_____度． 【答案】25 【详解】以小岛为原点，建立平面直角坐标系，观测轮船的方向是南偏西． 84．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 85．如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小芳：“‘竹海听风’的坐标为”． 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向”． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：“荷塘月色”的坐标为 (2)点，如图 (3)“碧波潭”在“桃花源”的正南方向，距离桃花源处 【分析】（1）根据“竹海听风”的坐标建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标即可； （2）在坐标系中描点即可； （3）根据桃花源坐标，碧波潭，即可解答； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由坐标系可得桃花源坐标为，碧波潭， 两点横坐标相等，因此碧波潭在桃花源的正南方向； 纵向距离为个单位长度，实际距离为， 故碧波潭在桃花源的正南方向，距离桃花源处． 1．第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴ 点纵坐标的绝对值，横坐标的绝对值， ∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴ ，， ∴ 点的坐标为． 2．已知点的坐标为，若点到轴的距离是3，则为（   ） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，列方程求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点到轴的距离是， ，则或， 解得或． 3．在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是明确第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系． 根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标，纵坐标求解即可． 【详解】解：∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的纵坐标的绝对值为， ∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的横坐标的绝对值为， 又∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标，纵坐标， ∴ 点的坐标为． 故选：C． 4．如图，雷达探测器在一次探测中发现六个目标．若目标A、B的位置分别记为、，则目标E的位置记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，用有序数对表示位置等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据A、B的位置记法的意义，得出目标E的位置记法． 【详解】解：因为A、B的位置分别记为、， 可知第个数为从里向外数的圈数，第2个为所在度数， 所以目标E的位置为第4圈，度数为，记为 ， 故选：C． 5．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，根据题意，可以画出相应的图形，推出前六次小球碰到球桌边时小球的位置，进而得到规律：从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，，据此求出2026除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， ……, 以此类推可知，从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，， ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的规律探究，根据友好点的定义，分别求出前几个点的坐标，进而找到规律，进行求解即可． 【详解】解：由题意，的坐标为，即：； 的坐标为，即：； 的坐标为，即：； 的坐标为，即：； ； 故每四个点一个循环， ∵的友好点是，， ∴的友好点是； 故选A． 7．如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，关键是根据全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等解答． 作轴于N，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案． 【详解】解：作轴于N，如图所示： 由等腰三角形的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵点A的坐标为， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴最左边的点的坐标为， 故选B． 9．已知点在第一象限，且点到轴的距离等于，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，结合第一象限内点的横纵坐标均为正的特征，列方程与不等式组求解即可. 【详解】解：由点到轴的距离的定义可知，点到轴的距离为， 根据题意得，解得或， 因为点在第一象限， 所以， 解得， 因此不符合题意，舍去， 所以. 10．如图，点从原点出发，每次一个单位长度，沿“→→→→→→→→→→…”的“凸”字形路线运动，则运动第2026次的位置坐标为__________． 【答案】 【分析】根据点P的运动路线得到坐标规律，进而求解． 【详解】解：根据题意得，第一个“凸”字形从点到点结束，共8个点， ∴可以看作“凸”字形路线运动以8个点为一个循环单位， ∵ ∴运动第2026次的位置的纵坐标和点的纵坐标相同，为1； ∵从开始，每两个点的横坐标相同，且依次递增1， ∵ ∴运动第2026次的位置的横坐标为1013 ∴运动第2026次的位置坐标为． 11．已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 12．已知点，点到轴的距离是，求点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，因此根据条件列出方程求解值，再代入坐标表达式即可． 【详解】解：点到轴的距离为，即． 解方程，得或． 当时，，此时点坐标为； 当时，，此时点坐标为． 故点坐标为或． 故答案为：或． 13．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________，点P关于y轴对称的点在第________象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是________． 【答案】 四 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称变换，包括关于坐标轴和特定直线的对称．关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，再根据坐标符号判断象限；关于直线对称时，利用对称公式计算横坐标，纵坐标不变． 【详解】解：点的坐标为， 关于轴对称，对称点为； 关于轴对称，对称点为． 由于横坐标，纵坐标，因此该点在第四象限． 关于直线对称：设对称点坐标为，根据对称性质，有，故对称点为． 故答案为：，四，． 14．若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限点的特点，点到坐标轴的距离，解一元一次不等式，掌握象限中点的符号，点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键．根据第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）可得，．由点到坐标轴的距离相等（到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，且两者相等），列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，． ∵点A到x轴和y轴的距离相等， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：1． 15．如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，……，得到当为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 16．如图，四边形在平面直角坐标系中，轴，点，在轴上，且为中点，与轴交于点，将四边形平移至四边形，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图象，数形结合是解题的关键；根据平移的性质可得四边形的面积等于四边形的面积，阴影部分面积加上四边形的面积等于四边形的面积，可得阴影部分的面积等于的面积，结合坐标系，根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：四边形平移至四边形 四边形的面积等于四边形的面积， ， ， ，， ， ∴，， ∵为中点， ∴ ∴， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点，直线轴，求a的值； (2)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为 【分析】（1）根据直线平行横轴，利用纵坐标相等，列方程求解即可； （2）根据象限内点的坐标特征求出的取值范围，然后根据点到坐标轴的距离之和列出方程求解即可； （3）根据轴，两点横坐标相等，列出方程求出点坐标，然后分类讨论，利用线段的长度列出方程求解，求出点的值及点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线轴， ∴两点的纵坐标相等， ∴， 解得； （2）解：∵点A在第四象限， ∴， ， ∴点A到轴的距离为，点A到轴的距离为． ∵点A到两坐标轴距离之和为9， ， 解得； （3）解：∵直线轴， 两点的横坐标相等，即，解得， ， ∴点A的坐标为． ∵线段的长为5， ∴当点在点A上方时，， 解得， 此时点的坐标为； 当点在点A下方时，， 解得， 此时点的坐标为． 综上所述，当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为． 18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． (1)点______（填“是”或“否”）“完美点”； (2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”； (3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 【答案】(1)是 (2)，点B是“完美点”； (3) 证明：∵， ∴点到原点的距离为， ∵为整数， ∴，均为整数， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数， ∴点C为“完美点”． 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可； （3）根据新定义进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ∴点到原点的距离为， ∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数， ∴点是“完美点”； （2）解：由题意，， 解得， ∴，， ∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数， ∴点B是“完美点”； （3）略 19．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)图中格点关于轴的对称点是点，写出点的坐标：____________； (2)求的面积； (3)已知，在轴上是否存在一点，使为以为腰的等腰三角形，若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为，或． 【分析】本题考查平面直角坐标系中的几何图形，涉及关于轴对称的点的坐标特征、三角形面积计算、等腰三角形的存在性讨论． （1）先确定点坐标，再根据关于轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”的特征求出点坐标； （2）观察到平行于轴，先计算的长度，再求出点到的垂直距离，利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情况讨论等腰三角形的存在性：当为腰时，分别讨论当和时，利用平面直角坐标系中两点的距离求解． 【详解】（1）解：观察平面直角坐标系，点坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：． （2）解：∵，， ∴轴，， ∴的面积为； （3）解：存在符合条件的点， ∵，， ∴. 设，分两种情况讨论： ①当时， ∴， ∴或， 解得或， ∴点坐标为或； ②当时， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵当时，与重合，三点共线无法构成三角形，故舍去， ∴点坐标为； 综上，符合条件的点的坐标为，，． 20．在平面直角坐标系中，点到轴、轴距离的较小值称为点的短距，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”． (1)若点的短距为，求的值为____________； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) 或 (2) 或 【分析】本题考查了新定义问题，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键． （1）根据定义可知，解绝对值方程即可求解； （2）点到轴的距离为，到轴距离为，点到轴的距离为，到轴距离为，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点的短距为，， ， 解得 或 ； （2）解：点到轴的距离为，到轴距离为， 点到轴的距离为，到轴距离为， ， 当时，由题意得， 或， 解得或（舍）； 当时，由题意得， 或， 解得（舍）或； 综上， 或 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 图形变换与坐标变化 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求点到坐标轴的距离 题型2 坐标系中的平移 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型4 由平移方式确定点的坐标 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 题型8 坐标系中的对称 题型9 坐标与图形变化——轴对称 题型10 坐标系中的旋转 题型11 求关于原点对称的点的坐标 题型12 已知两点关于原点对称求参数 题型13判断两个点是否关于原点对称 题型14 中点坐标 题型15 坐标系中的动点问题 题型16 点坐标规律探索 题型17 用方向角和距离确定物体的位置 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 坐标系中坐标的平移 图形变换 坐标对称问题 1. 掌握平移前后点坐标变化规律，准确写出变换后坐标 2. 理解轴对称图形坐标特征，能依据对称轴求对应点坐标 3. 知晓旋转、位似的坐标变化，会计算变换后点的坐标 4. 借助坐标判断图形变换类型，建立数形结合思维 5. 利用坐标变换画图解题，规范完成图形坐标类习题 学习重点：熟记平移、轴对称坐标变化规律，实现图形变换与点坐标相互推导转换。 学习难点：综合多种变换分析坐标变化，灵活运用坐标规律解决复杂几何作图题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 图形变换与点的坐标变化 图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 注意：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 即时即练 1．如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，点关于轴对称，则的值是________． 4．如图，将向右平移2个单位，向下平移5个单位，得到． (1)画出，并写出的坐标； (2)是内一点，直接写出P点平移后对应点的坐标． 题型1 求点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．设线段轴，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，，若，则的值等于______________． 4．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若到轴的距离为4，求的值； (2)若点的横纵坐标相等，求点的坐标； 5．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 题型2 坐标系中的平移 6．已知长方形的三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．“广西县超”是全国首创的以县为单位组队参赛的省级足球联赛，球员多为来自各行各业的草根选手，深受八桂群众的喜爱．如图是体育看台的一部分，西西所在的点在平面直角坐标系的位置如图所示，已知南南所在的点为，则南南可能在（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．已知点A坐标为，点B的坐标为，若轴，则_________． 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)请在图中画出； (2)点的坐标为______． 10．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中． (1)建立直角坐标系，画出正方形； (2)将正方形平移，得到正方形，且正方形中任意一点平移后的对应点为，画出正方形； (3)在（2）的条件下，直接写出点的坐标__________，点的坐标__________． 题型3 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 11．在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向上平移一个单位，则得到的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 13．点沿轴正方向平移2个单位长度，再向轴负方向平移1个单位长度后，点的坐标为_____，它位于_____轴上． 14．在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是________． 15．如图，已知的顶点坐标分别为，，，将先向右平移个单位，再向上平移个单位得到． (1)画出，并写出点的坐标； (2)求的面积． 题型4 由平移方式确定点的坐标 16．如图，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则点P的对应点坐标是（     ） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，若点坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 19．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且的两个不相等的平方根分别是与． (1)求点的坐标； (2)若将点沿轴方向平移，则向上平移________个单位长度后，恰好落在第一象限的角平分线上． 20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型5 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 21．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 22．线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 23．通过平移把点移到点，按同样的平移方式，点移动到点，则点的坐标是______． 24．如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形． (1)分别写出点，的坐标：（______，______），（______，______）． (2)请说明是由经过怎样的平移得到的； (3)是三角形内部的一点，若点平移后的对应点的坐标为，那么点的坐标为______． 25．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度．已知三角形的顶点，，，将三角形平移得到三角形，三角形中任意一点经平移后对应点为． (1)画出三角形，并写出顶点坐标： ， ， ． (2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点的坐标为 ．连接线段，则这两条线段之间的数量关系是 ． 题型6 已知图形的平移，求点的坐标 26．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则________． 27．在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，其中点A的对应点是C，则点B的对应点是D的坐标为___________． 28．如图，已知点，．将线段平移后得到线段，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形的面积为9，则点C的坐标为________． 29．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点均在格点上，点的坐标是．现将三角形平移，使点A与点重合，点B，C的对应点分别是点，． (1)请画出平移后的三角形，并写出点的坐标； (2)点P是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为______． 30．沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 题型7 已知平移后的坐标求原坐标 31．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 32．将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 33．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 34．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标______________； (2)点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． (3)求出三角形的面积． 35．如图，先将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形． (1)画出三角形 (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，请求出，的值； (3)求三角形面积； (4)设线段与轴的交点为，则点的坐标为 ． 题型8 坐标系中的对称 36．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 37．在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 39．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 40．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)直接写出关于点中心对称的的坐标； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（不要求写出做法，保留作图痕迹）． 题型9 坐标与图形变化——轴对称 41．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 42．剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（  ）． A． B． C． D． 43．在平面直角坐标系中有一点，作点关于轴的对称点，再将点向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标是__________，__________ 44．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 45．在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 题型10 坐标系中的旋转 46．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 47．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点坐标为____________； (3)计算的面积； (4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标． 48．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)画出平面直角坐标系，使的顶点的坐标分别为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点分别为点）； (3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_________． 49．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出绕原点顺时针旋转后的． (2)求出此时的面积． 50．如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 题型11 求关于原点对称的点的坐标 51．点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 52．在平面直角坐标系中，已知，作点A关于y轴的对称点，作点关于原点的对称点，作点关于x轴的对称点，作点关于y轴的对称点，……．按此规律，点的坐标为______． 53．已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为____________ 54．在平面直角坐标系内，完成以下各题． (1)将坐标为，，，，，，，的点在已知图形中描出，并用线段依次连接，得到图形1； (2)先将图形1向左平移两个单位后，再绕原点旋转，得到图形2； (3)直接写出图形1中的任意一点，在图形2中对应点的坐标． 55．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 题型12 已知两点关于原点对称求参数 56．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 57．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 58．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 59．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值是_____． 60．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 题型13判断两个点是否关于原点对称 61．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 62．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 63．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 64．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是__________． 65．课本知识再现： （Ⅰ）归纳（八年级上册课本70页）：点关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称的点的坐标为； （Ⅱ）归纳（九年级上册课本68页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点． (1)根据上面知识，求与已知直线关于y轴对称的直线的解析式； 解：∵关于y轴对称的点的坐标为； 即直线上的点关于y轴对称的点的坐标为， ∴． ∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为． 理解上面的解题过程，并完成填空： 与已知直线关于x轴对称的直线的解析式为_________； (2)已知二次函数的图象与抛物线关于原点对称，求a，b，c的值； (3)判断以下每对函数的图象：①与；②与； ③与；④与．其中一定关于原点对称的是_________（填序号）． 题型14 中点坐标 66．如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 67．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 68．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 69．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 70．定义：在平面直角坐标系中，若两点，所连线段的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题： （1）在平面直角坐标系中，若点，线段的中点的坐标为，则点的坐标为___________； （2）在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于___________． 题型15 坐标系中的动点问题 71．在平面直角坐标系中，已知，，，以A、B、C三点为顶点作，是边上一动点，若的最大值不超过5，则t的取值范围是______． 72．在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为点； (1)如果点，那么“关联点”的坐标Q为____________________； (2)如果点的关联点的坐标为，则此时________． 73．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是______． 74．直角梯形放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动后停止；动点、同时开始移动，设移动时间为秒，当、两点中有一点停止移动时另一点也立即停止．    (1)求梯形的面积； (2)当时，求四边形的面积； (3)当线段把梯形分成了面积相等的两个部分时，求点的坐标． 75．如图1，平面直角坐标系中，已知点，，其中，满足，将点向右平移24个单位长度得到点． (1)求点和点的坐标； (2)如图1，点为线段上一动点，点从点以2个单位长度/秒的速度向点运动，同时点为线段上一动点，从点以3个单位长度/秒的速度向点运动，设运动的时间为秒（），四边形的面积记为（以下同理表示），若，求的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，若时在轴上方有一点，满足，则的值为__________． 题型16 点坐标规律探索 76．在平面直角坐标系中，将若干个全等的等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 77．如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 78．如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，按照这样的运动规律，点的横坐标是____________ 79．如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…按此做法进行下去，则点的坐标为____________． 80．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断地移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，． （1）第12次移动到点的坐标为__________； （2）第次移动到点的坐标为__________．（用含自然数的代数式表示） 题型17 用方向角和距离确定物体的位置 81．月日下午，年“文化和自然遗产日”非遗展示展演主会场活动在郑州商都遗址博物院北广场启动，现场人数众多，位于处的佳佳准备前往相距的处与琪琪会合（如图）．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（     ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的南偏西，处 C．佳佳在琪琪的北偏东，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 82．在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．如图，是以八卦文化广场为点绘制的简易地图，若点的位置用表示，点的位置用表示，则点的位置可以表示为___________． 83．如图，轮船航行到处时，观测到小岛的方向是北偏东，那么同时从小岛观测轮船的方向是南偏西_____度． 84．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______． 85．如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小芳：“‘竹海听风’的坐标为”． 妈妈：“‘桃花源’位于原点的东北方向”． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“荷塘月色”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“桃花源”的位置． 1．第二象限的点到轴的距离是2，到轴的距离是1，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知点的坐标为，若点到轴的距离是3，则为（   ） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 3．在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 4．如图，雷达探测器在一次探测中发现六个目标．若目标A、B的位置分别记为、，则目标E的位置记为（   ） A． B． C． D． 5．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．已知点在第一象限，且点到轴的距离等于，则的值为________． 10．如图，点从原点出发，每次一个单位长度，沿“→→→→→→→→→→…”的“凸”字形路线运动，则运动第2026次的位置坐标为__________． 11．已知点与点关于原点对称，则_________． 12．已知点，点到轴的距离是，求点的坐标为________． 13．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________，点P关于y轴对称的点在第________象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是________． 14．若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则________． 15．如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为_____． 16．如图，四边形在平面直角坐标系中，轴，点，在轴上，且为中点，与轴交于点，将四边形平移至四边形，若，，则图中阴影部分的面积为________． 17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点，直线轴，求a的值； (2)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． (1)点______（填“是”或“否”）“完美点”； (2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”； (3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 19．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)图中格点关于轴的对称点是点，写出点的坐标：____________； (2)求的面积； (3)已知，在轴上是否存在一点，使为以为腰的等腰三角形，若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，点到轴、轴距离的较小值称为点的短距，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”． (1)若点的短距为，求的值为____________； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $