专题03 图形的变换17大题型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材苏科版

专题03 图形的变换 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 生活中的平移、旋转问题 题型2 利用平移的性质求解 题型3 利用平移解决实际问题 题型4 平移作图 题型5 轴对称图形 题型6 根据成轴对称图形进行判断与求解 题型7 台球桌面上的轴对称问题 题型8 轴对称中的光线反射问题 题型9 镜面对称 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 题型11 对称轴问题 题型12 折叠问题 题型13 找旋转中心、旋转角、对应点 题型14 根据旋转的性质求解 题型15 画旋转对称图形 题型16 中心对称图形 题型17 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 图形的平移 2. 图形的轴对称 3. 图形的旋转 1.网格内作图为主，考察对应点坐标变化，区分三类变换特征 2.结合全等图形判定，利用变换性质找相等线段与角度关系 3.旋转常考特殊角 90°、180°，设置路径长度计算小题 4.轴对称侧重最短路径模型，融合几何最值综合设问 5.多变换叠加综合出题，检验学生图形转化与识图能力 考情解码：平移、轴对称、旋转为几何必考基础变换，多在网格载体命题。选择填空考查变换性质与坐标规律，解答题要求规范作图。高频融合全等、线段最值、弧长计算，常出现两种及以上变换组合题型。侧重识图推理，易错点集中在对应点找错、坐标符号遗漏，注重数形结合思想考查。 知识点一 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 即时即练 1．如图，将三角形沿方向平移至三角形的位置．若，则平移的距离为______． 【答案】2 【分析】根据平移的性质得到，确定，得出，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ， ∴， ， ， 故平移的距离为2． 2．如图，是由沿箭头方向平移得到的，已知，，，，试求： (1)的大小； (2)的长及 点移动的距离． 【答案】(1) (2)，A点移动的距离为 【分析】（1）根据平移性质，得，求解即可； （2）根据平移性质，得，只需根据求解即可； 【详解】（1）解：∵是由 沿箭头方向平移得到的， ； （2）解： 是由 沿箭头方向平移得到的， ，， ， ， 点移动的距离为． 知识点二 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 即时即练 3．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、 、） (2)图中与相等的角是______； (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点、、，再连线即可得解； （2）根据平移前后三角形的角的大小不变即可得解； （3）根据平移的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：根据平移的性质得出：与相等的角是． （3）解：根据平移的性质得出：图中与相等的线段有． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母； (2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ． 【答案】(1)解：如图，即为所求 (2) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）四边形面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）线段在平移过程中扫过区域的面积为． 知识点三 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 即时即练 5．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 6．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 知识点四 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 易错点： 1、混淆性质与判定：只记垂直平分线上点到两端等距，不会逆向推导点在线上 2、作图遗漏条件：画图只画垂直，缺少平分线段，作图步骤不完整 3、三角形外心误区：误以为外心总在三角形内部，钝角三角形在外 4、计算漏分类：已知一边垂直平分线求边长，忽略线段长短两种情况 5、几何证明跳步：直接用等线段，不交代点在垂直平分线上的依据 6、结合等腰三角形综合题，分不清底边、腰的垂直平分线带来的等量关系 即时即练 7．如图，已知 ．请利用尺规作图法在BC下方求作一点D，使得，且 ．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】作出线段的垂直平分线，以为圆心，为半径作弧，交线段的垂直平分线于点，点D即为所作． 【详解】略 8．如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点； (2)尺规作图：在（1）的条件下，过点作的平行线，交于点； （要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角以及线段垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和作一个角等于已知角的基本作图． （1）利用线段垂直平分线的作法得出的垂直平分线即可； （2）作，利用同位角相等，两直线平行即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； 知识点五 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 即时即练 9．近日，多国元首接连访华，展现出我国在国际上的重要地位．检阅三军仪仗队是接待外宾的重要步骤．如图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化的示意图，，．若要使臂部与腿部平行（即），则应绕点B逆时针旋转______． 【答案】/18度 【分析】根据平行线的判定定理，同位角相等两直线平行，若要，则需等于，结合已知角度计算差值即可得出旋转角度． 【详解】解：设绕点逆时针旋转后的位置为， 若要，根据同位角相等，两直线平行， 则需， ∵， ∴， ∵ ∴旋转角． 10．学习过平面图形的平移、轴对称和旋转三种变换后，小明把下面两组变换的部分元素隐藏起来了，请聪明的你完成下面两项任务，要求：仅用无刻度的直尺画图． (1)任务1：画出图1的对称轴； (2)任务2：画出图2中点D的对应点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，与成轴对称，则连接，二者交于点F，连接，二者交于点E，作直线，则即为所求； （2）由题意得，是由绕一点旋转180度得到的，则连接交于点O，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 知识点六 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 即时即练 11．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 【答案】(1)轴对称 (2)解：如图所示， 【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行解答即可； （2）根据中心对称的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是轴对称图形； （2）略 12．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， 或； （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 题型1 生活中的平移、旋转问题 1．将下列图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时的旋转角即可求出答案． 【详解】解：A. 该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； B.该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； D.该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； 即当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是D． 2．七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形的轮廓中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解： 、图形的轮廓不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 3．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形经过平移得到另一个图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形平移的概念，即在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，由图形平移的性质分析选项即可． 【详解】解：A、B、D图形的方向发生了改变，不合题意； C、图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意． 4．中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是________． 【答案】旋转和平移 【分析】本题考查生活中的平移和旋转，根据旋转和平移的定义，进行判断即可． 【详解】解：“坐地日行八万里只考虑地球自转”蕴含的是图形的旋转， “飞流直下三千尺”蕴含的是图形的平移， 故答案为：旋转和平移． 题型2 利用平移的性质求解 5．如图，将周长为的沿方向平移得，连接，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再求解即可． 【详解】解：由条件可知、， ∴四边形的周长 的周长 ． 6．如图，将沿方向平移得，连接，与交于点，若的周长为10，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．四边形的周长为12 D．四边形与的面积相等 【答案】C 【分析】由沿着方向平移得到，，可得，，，，再逐一分析即可． 【详解】解：将沿着方向平移得到，， ，，，， ∴A，B正确； ∵的周长为10， 四边形的周长为 ， ∴C错误； ∵， ∴， 四边形与的面积相等． ∴D正确． 7．如图，将三角形沿方向平移至三角形处．若，，则阴影部分的周长为________． 【答案】 【分析】根据平移的性质可知，，根据，等量代换可得，根据周长公式即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由平移可知，， ， ， ， 阴影部分的周长为． 8．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 【答案】(1) (2)， (3)2 【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据平移的性质：经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等即可作答； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形， ∴，； （3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形， ∴平移距离为的长，且，， ， ∵三角形和五边形的周长分别是与， ∴，， ∴， ∴平移距离为的长． 【易错警示】 运用平移性质解题，易混淆对应线段、对应点，坐标平移记错左右加减、上下加减。忽略平移前后线段平行且相等，角度不变。网格题常看错平移单位，计算距离出错。综合题型不会转化线段，漏找相等线段，图形坐标变换正负符号极易写错。 题型3 利用平移解决实际问题 9．如图所示为一块长方形场地的示意图，长为，宽为，A、B两处入口的路宽都为，两条小路汇合处的路宽为，其余部分为草坪，则草坪的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出新的矩形的长为：米，宽为米，再列式求解即可． 【详解】解：由图可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：米，宽为米． 所以草坪的面积应该是长宽（平方米）． 10．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，修建两条分别平行于长方形的长和宽的小路，小路的宽处处均为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】171 【分析】可通过平移的方法，将阴影部分拼成一个新的长方形，再根据长方形面积公式求解． 【详解】把两条小路分别平移到长方形草地的边缘，此时阴影部分就拼成了一个新的长方形， 小路的宽处处均为， 新长方形的长为，新长方形的宽为， 新长方形的面积为，即阴影部分的面积为 11．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为________． 【答案】 82 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）． 12．【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 【答案】(1)560 (2)504 (3)2米 (4) (5)68米 【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）同理根据小明的方法利用平移的性质求解即可； （3）设小路宽为，根据题意列出关于x的方程求解即可； （4）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可； （5）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：草坪的面积为：； （2）解：草坪的面积为：； （3）解：设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽为2米； （4）解：花坛的总面积为： ； （5）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 题型4 平移作图 13．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形，画出三角形， (2)线段与线段之间的关系是（     ） A．平行    B．相等    C．平行且相等 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按平移规则，将三角形三个顶点分别向右平移格、向上平移格，得到对应顶点，顺次连接三点即可； （2）依据平移性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：依据平移性质，平移前后对应线段平行且相等． 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 【答案】(1)如图，三角形如图所示： (2)符合条件的四边形的形状有两种，如图所示： 或 【分析】（１）点A向上平移5个单位，向右平移3个单位，得到，将点、点也向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，点，连线得所求的三角形； （2）符合条件的四边形有两种情况，分别是①从点开始，向右平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，长度为3，高为2，面积为6；②从点开始，向左平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，面积为6． 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母； (2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ． 【答案】(1)解：如图，即为所求 (2) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）四边形面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）线段在平移过程中扫过区域的面积为． 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、的数量关系是　 ； (3)画格点，使得直线． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 相等 (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平移的性质可得答案． （3）结合平行线的判定利用网格作图即可． 【详解】（1）略 （2）由平移得，线段、的数量关系是相等． （3）略 题型5 轴对称图形 17．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的定义识别．根据轴对称图形定义，依次判断各选项图形能否沿一条直线对折后完全重合，风车图案无符合条件的直线． 【详解】解：轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形． A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形． B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形． C：有3条对称轴，是轴对称图形． D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形． 18．下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【答案】A 【详解】解：A、成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图，正确，故本选项符合题意； B、若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴，说法错误，对称轴是直线而不是线段，故本选项不符合题意； C、所有直角三角形都不是轴对称图形，说法错误，等腰直角三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、两个内角相等的三角形不是轴对称图形，说法错误，两个内角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 19．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的平移，轴对称图形等知识，掌握正方形的结构特征是解答本题的关键．根据正方形是轴对称图形，正方形的对称轴有4条，沿着正方形的对称轴方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形；要使平移后的正方形顶点还在格点上，且沿对称轴平移，即向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移，据此可选出正确答案． 【详解】解：因为正方形是轴对称图形，有四条对称轴， 所以沿着正方形的对称轴的方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形， 观察图形可知，向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移时，平移前后的两个正方形组成的图形都是轴对称图形． 综上可知，使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有5个． 故答案为：5． 20．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______ 条对称轴，非正方形的长方形有______ 条对称轴，等边三角形有______ 条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴，通过以上画图，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是______ ． 【答案】(1)1，2，3 (2) (3) (4)对称轴的条数是多边形边数的约数 【分析】（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，底边上的高所在的直线，非正方形的长方形有2条对称轴，对边中点连线所在的直线，等边三角形有3条对称轴，三边高线所在直线； （2）仿照前面的修改解答即可； （3）作出长方形的长边的中点所在直线，以此直线为对称轴，把左边的图形对称到右边即可； （4）根据对称轴所在直线的两个特点：一是对边中点连线所在直线，二是相对的顶点所在直线，画凸六边形即可，根据画出图形的对称轴条数发现规律求解即可． 【详解】（1）解：1，2，3； （2）略 （3）略 （4）解：根据题意，三角形，其对称轴可以是1条或3条，是边数3的约数； 四边形，其对称轴可以是1条，2条或4条，是边数4的约数； 五边形，其对称轴可以是1条或5条，是边数5的约数； 六边形，其对称轴可以是1条，2条，3条或6条，是边数6的约数； 由此可得，一个凸多边形，如果是一个轴对称图形，那么它的对称轴条数是多边形边数的约数； 题型6 根据成轴对称图形进行判断与求解 21．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴，，，故选项A，C，D正确； 与不一定平行，故选项B不正确． 22．如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（A定，M、N动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，过作于点E， ，即当三点共线且时，的最小值为， 在中，， 连接， 则， ， 在长方形中，，， ， 则的最小值为， 故选：C． 23．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 24．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据对称的性质得到，，然后等量代换求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴的面积． 题型7 台球桌面上的轴对称问题 25．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 26．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 27．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 28．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 题型8 轴对称中的光线反射问题 29．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 30．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 31．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 32．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 题型9 镜面对称 33．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 34．平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是． 故答案为：． 35．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 36．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 37．如图，在中，点在的延长线上． (1)尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)补全图形，取的中点，连接并延长交的角平分线于点． 【答案】(1)由题意，作图如下； (2)由题意，补全图形如下： 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）作的中垂线，确定点，再根据要求，补全图形即可. 【详解】（1）略 （2）略 38．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 39．如图，已知． (1)作点A到的垂线段，垂足为点D； (2)过点B作，垂足为点E； (3)过点C作的平行线； (4)比较与大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)．理由如下：因为垂线段最短，所以 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，过点可作边上的高； （2）同（1）可作； （3）作可得的平行线； （4）根据垂线段可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 40．已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的垂直平分线； (2)作的角平分线，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 题型11 对称轴问题 41．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 42．在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 43．由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称． 【详解】解：该图形沿直线l4折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故该图形的对称轴是l4， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 44．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 题型12 折叠问题 45．如图1是一条长方形纸带，，是上的一个动点．将纸带沿着折叠，如图2，的对应点分别是与交于点． （1）若，则______；（用含的代数式表示） （2）再沿折叠，如图3，的对应点分别是，若，则的度数为______． 【答案】 /度 【分析】（1）由题意可知，，，由平行线的性质得出． （2）由折叠可知，结合已知条件可得出，根据角度的和差关系可得出，由平行线的性质得出，由折叠的性质可得出，再由平行线的性质即可得出． 【详解】解：（1）由题意可知，，， ∴； （2）由折叠可知， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可知， 又∵， ∴． 46．如图，、是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于点，若，有如下结论：①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】由折叠可得，，则，然后由，得到，，即可判断①②，然后将代入即可判断③；过点向左作，根据平行线的性质判断⑤即可． 【详解】解：如图， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确 ∴，故②正确； 当时，，故③正确； 过点向左作， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，故⑤正确 对于④，现有条件不能证明，故④错误， ∴正确的有①②③⑤． 47．综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． (1)如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； (2)如图2，若交边于点G，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，得到，进行求解即可； （2）同（1）法求出的度数，再根据互余关系，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）法可得， ∴， ∵， ∴， ∴ 48．【课本呈现】 如图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动的部分内容： 活动1你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． (1)【观察发现】以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是_____（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等： ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． (2)李明同学发现图（2）中操作得到的折痕与直线的位置关系是垂直，通过不断地尝试，除了上面的折法，过点再也折不出其他折痕与垂直的位置关系，其中的数学原理是：在同一平面内，______． (3)【联系拓展】将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．刘伟经过思考，想到过点E作．请你根据刘伟的想法作出辅助线，并解答． (4) 【答案】(1)① (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 (3)图见解析， 【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案； （2）根据垂线的性质，即可求解； （3）过点E作，根据两直线平行，同位角相等得到，，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：判定图（4）中直线的依据的是同位角相等，两直线平行，故①的判定正确； （2）解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 （3）解：过点E作，如图所示， 由（1）可知，， ， ， ，， ， ． 【易错警示】 折叠题易忽略折叠前后边角完全相等，找错对应边、角。直角折叠时常遗漏隐含直角，计算线段长度漏分类讨论。利用勾股定理列式时边长符号出错，审题忽略重叠线段等量关系。求坐标问题正负混淆，不检验线段取值合理性，导致答案不全。 题型13 找旋转中心、旋转角、对应点 49．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（     ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，通过观察网格确定垂直平分线的交点即可得出答案． 【详解】解：连接，，由图可知，点A与点在同一条竖直网格线上， 且点M为线段的中点， ∴线段的垂直平分线是经过点P、M的水平直线，即旋转中心在直线上． 又∵在网格中，点P到点B的距离为2个单位长度，点P到点的距离为2个单位长度， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． ∴旋转中心是点P． 50．如图，点是正六边形的中心，可通过旋转得到，则所有满足要求的旋转中心是________． 【答案】点、点、点 【详解】解：点是正六边形的中心， 正六边形被对角线分割成六个全等的等边三角形， 可通过绕点顺时针旋转得到，可以通过绕点逆时针旋转得到，也可以通过绕点顺时针旋转得到， 可通过旋转得到，则所有满足要求的旋转中心是点、点、点， 故答案为：点、点、点． 51．如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)平移，使点与点重合，画出平移后的； (2)将沿某条直线翻折，使点与点重合，画出对称轴及翻折后的； (3)将绕某个点逆时针旋转，使点与点重合，画出旋转中心及旋转后的． 【答案】(1)解：如图，为所求． (2)解：如图，对称轴及翻折后的为所求． (3)解：如图，点O，为所求． 【分析】（1）根据点A与点的位置可发现，向右平移8格，向上平移3格，据此即可画出； （2）根据网格的特点找出线段的垂直平分线，即为对称轴l，再作出点B，C的对称点，，即可作出； （3）根据网格特点作的垂直平分线，在垂直平分线上取点O，使得，即点A绕点O逆时针旋转可得点，则点O为旋转中心，据此作出点，，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 52．在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)中心对称； (2)解：如图，点O为所求旋转中心． 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可； （2）连接，，分别作，的垂直平分线，两线相交于点O，则点O即为所求的旋转中心． 【详解】（1）解：将该图形绕点正六边形的中心旋转，能与原图形重合，故图1是中心对称图形． （2）略 题型14 根据旋转的性质求解 53．如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到．若，，则线段的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由旋转性质得到对应线段相等，数形结合表示出，代入线段长度计算即可． 【详解】解：在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到， ， 则． 54．将一副直角三角板按如图所示的方式放置（点在同一条直线上），．现固定直角三角板，将直角三角板绕着公共点顺时针旋转度，当边与直角三角板的某直角边平行时，相应的旋转角的值为_______． 【答案】或 【分析】分以下两种情况讨论：当时，根据可得答案；当时，过点作，则，然后根据得出答案． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①如图1，当时， ∴， ∴ ； ②如图2，当时，过点作，则， ， ， ． 所以旋转角的值为或． 55．将一个含角的直角三角板（其中）如图1放置，使得直角三角板的直角顶点落在直线上．过顶点作直线．将直角三角板绕顶点逆时针旋转．在旋转过程中，直线的位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化（始终与平行）． (1)当时，求的度数． (2)如图2，在直角三角板的左侧作直线，交直线于点，交直线于点，使，且在直角三角板旋转过程中，直线与直线的夹角保持不变．当直角三角板的一条直角边与直线平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）根据已知条件结合平行线的性质即可求解； （2）结合已知条件，分类讨论直角三角形三边分别和直线平行的情况，利用平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与交于， ， ， ， ， ， ． （2）如图2，当时，， ， ， ． 如图3，当时，此时， ，. 如图4，当时，此时； 如图5，当时，，； 综上所述，当直角三角板的一条直角边与直线平行时，的度数可以为或． 【点睛】本题综合考查平行线性质、直角三角形角度关系及旋转动态图形中的分类讨论思想，解题关键是抓住“与夹角恒为”这一不变条件，将直角边平行转化为与成，并分类讨论求解． 56．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 【答案】(1)，； (2)解：，理由如下： ， ， ， 即． (3)为12或48时． 【分析】本题考查了旋转以及平行线的性质： （1）是两个角之和减去重合部分的角度； （2）利用来求解即可； （3）分情况讨论，利用平行线的性质得到旋转角，再计算旋转时间． 【详解】（1）解：若， 则， 若， 则． （2）略 （3）如图①， 当时， ， 即旋转角为， ． 如图②， 当时， ， 旋转角度为， ． 综上所述，为12或48时，． 【易错警示】 运用旋转性质解题，常找不准旋转中心与对应点，混淆旋转角。忽略旋转前后线段、角度相等，旋转 90° 坐标变换符号易出错。求动点路径误把弦长当作弧长，多解题型未分顺时针、逆时针讨论，计算后不验证线段取值。 题型15 画旋转对称图形 57．如图，在每个小正方形的边长为个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移个单位长度，向下平移个单位得到，画出； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出； (3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 【答案】(1)解：如图所示： (2)如（1）中图所示． (3)如（1）中图所示． 【分析】（1）根据平移方式，结合网格特征得出对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，结合网格特征得出对应点的位置，顺次连接即可； （3）根据轴对称的性质找出对称轴，再得出、的对应点的位置，顺次连接即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：略 58．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，在方格纸中，点A，B，C，D，E均为格点． ①画出关于直线对称的； ②画出绕点A顺时针旋转90°得到的； (2)定义：若将平面图形甲沿直线l作轴对称得图形乙，再将图形乙沿直线l的方向平移得图形丙，则称图形甲与图形丙成滑动对称．根据该定义，解决下列问题： ①如图2，已知方格纸中的三角形均为格点三角形，则成滑动对称的是（   ） A．与    B．与    C．与 ②成滑动对称的两个图形，其对应点的连线段（   ） A．互相平行    B．被直线l平分    C．与直线l垂直 【答案】(1)如图： (2)①B；②B 【分析】（1）①作出三点关于直线对称的对应点，再依次连接即可； ②作出三点绕点A顺时针旋转90°的对应点，再依次连接即可； （2）①根据滑动对称的含义判断即可； ②根据滑动对称的含义判断即可． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）①解：A．与关于直线l对称，没有平移，不满足；    B．与既有对称，也有平移，满足条件； C．与只是沿直线l平移，没有对称，不满足； ②解：由滑动对称含义知，轴对称图形中对应点的连线段被对称轴垂直平分，因而对应点连线段平行或重合，平移满足对应点的连线段平行或重合，但平移的方向是沿对称轴进行的，因而滑动对称对应点的连线段不平行，也不与直线l垂直，但被直线l平分，故选项A、C错误，选项B正确． 59．如图，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成画图． (1)在图1中将向下平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，画出； (2)在图1中将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)如图2，点是边上一点，且不在格线上，在图2中画出点关于直线的对称点． 【答案】(1)画出的如下： (2)画出的如下； (3)点关于直线的对称点如下． 【分析】（1）分别找到的三个顶点按要求平移后的对应点，再依次连接即可； （2）分别找到的三个顶点按要求旋转后的对应点，再依次连接即可； （3）作出关于直线a对称的，连接交直线l于点D，连接交于点，则为所作的点． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 60．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图所示，点即为所求，旋转角，即的度数为 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为，旋转角，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 题型16 中心对称图形 61．数学的抽象美、对称美、简洁美不仅是神奇的大自然形态的展现，更是艺术美和数学公式的融合．它们揭示了世界的秩序与和谐，同时也激发了人们对数学和自然之美的无限遐想．下列神奇数学曲线的曼妙身姿中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可； 【详解】 解：是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形但不是中心对称图形． 62．有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各图形是否同时具备两种对称性． 【详解】解：①等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； ⑤等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形． 故答案为：②④． 63．“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 【答案】8 【分析】本题考查七巧板，轴对称图形，中心对称图形．先根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断出四边形的形状为正方形，再拼出图形，即可求解． 【详解】解：七块七巧板拼成的正方形边长为4， 这个大正方形的面积为16， 如图，用2块大直角三角形之外的5块七巧板拼成正方形， 这个四边形的面积是， 故答案为：8． 64．如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)是中心对称，点即为对称中心 【分析】（1）根据平移的性质、旋转的性质作图即可． （2）分别连接相交于点，则点即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，和即为所求． （2）解：与成中心对称． 如图，分别连接，，相交于点， 则点即为对称中心． 题型17 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 65．数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【答案】B 【分析】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【详解】解：①如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ③如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； 综上，的可能值为、、，不可能为． 66．如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 67．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 68．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 1．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，， 故A，B选项正确； 与不平行，故C选项错误； ∵对称， ∴垂直平分，垂足为点N， ∴，故D选项正确 ． 2．如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起压平成图2，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出，，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图 由图及题意，可得 ，， 即， ∴． 3．如图，的边长为，把沿方向平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移的性质可得，，根据三角形的面积计算公式得到在边上的高，进而计算的面积即可． 【详解】解：设在边上和在边上的高为， ∵沿方向平移个单位长度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中由阴影三角形经过一次平移变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据轴对称变换，平移变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：设等边三角形的边长为a，根据题意，得： 向右平移a个单位长度，得到白色三角形；向右平移个单位长度，得到白色三角形；沿着平移a个单位长度，得到白色三角形；平移个单位长度，得到白色三角形；沿着平移的长度，得到白色三角形； 故由阴影三角形经过一次平移变换能得到的白色三角形的个数为； 如图，是阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形，虚线是对称轴， 故由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为； 阴影绕点D顺时针旋转得到，绕点D顺时针旋转得到，绕点H逆时针旋转得到，阴影绕点G逆时针旋转得到，阴影绕点G顺时针旋转得到，阴影绕点P逆时针旋转得到，阴影绕点Q顺时针旋转得到，阴影绕点顺时针旋转得到，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为； 故． 5．如图，将沿方向平移，得到（点在边上）．若图中阴影部分的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移的性质求解即可. 【详解】解：由平移得，，， 又∵阴影部分的周长为， ∴， 即， ∴的周长. 6．如图，将长方形纸片沿折痕折叠，点落在点处，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，根据角的和差关系和折叠的性质求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 7．如图，将沿方向平移得到，若，则长为________． 【答案】 【分析】据平移的性质得出对应点间的距离等于平移距离，即，利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，点的对应点为点，且平移距离为， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在的正方形网格中，绕某点逆时针旋转，得到，则旋转中心是点________． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，确定旋转的中心，旋转角求解即可． 【详解】解：连接，借助网格，可得，且，符合要求，A，B都不满足，则旋转中心是点C． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．连接，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，，进而根据已知求得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为． 10．已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 【答案】8或20 【分析】分2种情形分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图1时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 如图2时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 综上可知，边与平行的时间为或． 11．如图，将三角形沿射线的方向平移3个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质求出的长即可得到答案； （2）根据平移的性质得到，由平行线的性质可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵将三角形沿射线的方向平移3个单位长度到三角形的位置， ∴， ∵， ∴； （2）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，每个小方格均为正方形，，，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)按要求画图： ①画，使它与关于直线对称； ②画，使它与①中的关于直线对称； (2)在（1）的条件下，与是否成中心对称？如果是，画出对称中心；如果不是，请说明理由； (3)如果在（1）中继续操作如下：画，使它与关于直线对称；画，使它与关于直线对称；；那么会与（1）中的 重合（填“”“”或“”）． 【答案】(1)①如图所示； ②如图所示； (2)与成中心对称，对称中心如上图所示 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质分别画出、； （2）由图可知，与成中心对称，对称中心即为直线与直线的交点； （3）画出图形，探究规律后即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，与重合，发现四次一个循环， ∵， ∴会与（1）中的重合． 13．数学与探究 如图，最小正方形的边长为个单位长度．在由这些小正方形组成的网格中（网格线的交点称为格点），对色块的操作定义如下： ①“操作”：色块每次仅向一个方向（向左、向右或向下）平移任意正整数个单位长度； ②“操作”：色块每次以某条横向（或纵向）网格线为对称轴，作轴对称变换； ③“操作”：色块每次以某格点为旋转中心，顺时针方向旋转． 在给定的网格中，解决下列问题： (1)如图1，对色块最少进行 次“操作”后，可与①号区域完全重合； (2)如图2，对色块先进行一次“操作”，再以为对称轴进行一次“操作”后，可与②号区域完全重合． 请在图2中画出色块的位置（画出一种即可，用阴影表示）； (3)如图3，对色块先进行一次“操作”，再在“操作”与“操作”中任选一种进行一次操作后，恰好与③号区域完全重合． 请在图3中画出“操作”的旋转中心． 【答案】(1)2 (2)如图所示，即为所求；（答案不唯一） (3)如图所示，旋转中心即为所求；（答案不唯一） 【分析】（1）根据图像及平移即可得出结果； （2）根据题意，先进行平移，然后进行轴对称变换即可作出图像（答案不唯一）； （3）根据题意，先顺时针旋转，然后向下平移5个单位长度即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：根据图像可得：对色块向下平移3个单位长度，然后向右平移1个单位长度，可与①号区域完全重合， ∴最少进行2次“操作”； （2）略． （3）略． 14．如图，在纸片中，，．点在边上，连接，将沿所在直线翻折，点落在点处，． (1)______°；（直接写出答案） (2)请利用无刻度直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)40 (2)解：如图所示，即为所求． 【分析】（1）首先根据直角三角形两锐角互余，求出的度数；因为翻折前后对应角相等，所以；又因为，根据平行线的内错角相等，可得与的关系，进而计算． （2）以为圆心，长为半径画弧； 在内作，交弧于点； 作，交于点； 连接，即为所求． 【详解】（1）解：，， ． 由折叠性质得：， ， ． （2）略 15．折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5； 【分析】（1）根据题干中作图步骤进行作图即可； （2）先作的垂直平分线，即为折痕，以点A为圆心，为半径画弧，交于一点，该点即为点E，连接，作的垂直平分线，交于点F； （3）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，根据平角得出，最后根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）解：如图，、即为所求； （3）解：根据折叠可得：，， ∴； 根据折叠可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 生活中的平移、旋转问题 题型2 利用平移的性质求解 题型3 利用平移解决实际问题 题型4 平移作图 题型5 轴对称图形 题型6 根据成轴对称图形进行判断与求解 题型7 台球桌面上的轴对称问题 题型8 轴对称中的光线反射问题 题型9 镜面对称 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 题型11 对称轴问题 题型12 折叠问题 题型13 找旋转中心、旋转角、对应点 题型14 根据旋转的性质求解 题型15 画旋转对称图形 题型16 中心对称图形 题型17 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 图形的平移 2. 图形的轴对称 3. 图形的旋转 1.网格内作图为主，考察对应点坐标变化，区分三类变换特征 2.结合全等图形判定，利用变换性质找相等线段与角度关系 3.旋转常考特殊角 90°、180°，设置路径长度计算小题 4.轴对称侧重最短路径模型，融合几何最值综合设问 5.多变换叠加综合出题，检验学生图形转化与识图能力 考情解码：平移、轴对称、旋转为几何必考基础变换，多在网格载体命题。选择填空考查变换性质与坐标规律，解答题要求规范作图。高频融合全等、线段最值、弧长计算，常出现两种及以上变换组合题型。侧重识图推理，易错点集中在对应点找错、坐标符号遗漏，注重数形结合思想考查。 知识点一 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 即时即练1．如图，将三角形沿方向平移至三角形的位置．若，则平移的距离为______． 2．如图，是由沿箭头方向平移得到的，已知，，，，试求： (1)的大小； (2)的长及 点移动的距离． 知识点二 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 即时即练3．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、 、） (2)图中与相等的角是______； (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母； (2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ． 知识点三 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 即时即练5．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 知识点四 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 易错点： 1、混淆性质与判定：只记垂直平分线上点到两端等距，不会逆向推导点在线上 2、作图遗漏条件：画图只画垂直，缺少平分线段，作图步骤不完整 3、三角形外心误区：误以为外心总在三角形内部，钝角三角形在外 4、计算漏分类：已知一边垂直平分线求边长，忽略线段长短两种情况 5、几何证明跳步：直接用等线段，不交代点在垂直平分线上的依据 6、结合等腰三角形综合题，分不清底边、腰的垂直平分线带来的等量关系 即时即练7．如图，已知 ．请利用尺规作图法在BC下方求作一点D，使得，且 ．（不写作法，保留作图痕迹） 8．如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点； (2)尺规作图：在（1）的条件下，过点作的平行线，交于点； （要求：保留作图痕迹，不写作法） 知识点五 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 即时即练9．近日，多国元首接连访华，展现出我国在国际上的重要地位．检阅三军仪仗队是接待外宾的重要步骤．如图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化的示意图，，．若要使臂部与腿部平行（即），则应绕点B逆时针旋转______． 10．学习过平面图形的平移、轴对称和旋转三种变换后，小明把下面两组变换的部分元素隐藏起来了，请聪明的你完成下面两项任务，要求：仅用无刻度的直尺画图． (1)任务1：画出图1的对称轴； (2)任务2：画出图2中点D的对应点． 知识点六 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 即时即练 11．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 12．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 题型1 生活中的平移、旋转问题 1．将下列图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是（     ） A． B． C． D． 2．七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形的轮廓中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形经过平移得到另一个图形的是（     ） A． B． C． D． 4．中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是________． 题型2 利用平移的性质求解 5．如图，将周长为的沿方向平移得，连接，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，将沿方向平移得，连接，与交于点，若的周长为10，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．四边形的周长为12 D．四边形与的面积相等 7．如图，将三角形沿方向平移至三角形处．若，，则阴影部分的周长为________． 8．如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形； (2)连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________； (3)如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________． 【易错警示】 运用平移性质解题，易混淆对应线段、对应点，坐标平移记错左右加减、上下加减。忽略平移前后线段平行且相等，角度不变。网格题常看错平移单位，计算距离出错。综合题型不会转化线段，漏找相等线段，图形坐标变换正负符号极易写错。 题型3 利用平移解决实际问题 9．如图所示为一块长方形场地的示意图，长为，宽为，A、B两处入口的路宽都为，两条小路汇合处的路宽为，其余部分为草坪，则草坪的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，修建两条分别平行于长方形的长和宽的小路，小路的宽处处均为，则图中阴影部分的面积为________． 11．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为________． 12．【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 题型4 平移作图 13．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到三角形，画出三角形， (2)线段与线段之间的关系是（     ） A．平行    B．相等    C．平行且相等 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母； (2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ． 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、的数量关系是　 ； (3)画格点，使得直线． 题型5 轴对称图形 17．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 18．下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 19．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个． 20．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______ 条对称轴，非正方形的长方形有______ 条对称轴，等边三角形有______ 条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴，通过以上画图，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是______ ． 题型6 根据成轴对称图形进行判断与求解 21．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 22．如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 23．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为____________． 24．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 题型7 台球桌面上的轴对称问题 25．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 26．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 27．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 28．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 题型8 轴对称中的光线反射问题 29．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 31．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 32．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 题型9 镜面对称 33．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 34．平面镜中电子钟示数为“12：11”，实际时间是__________． 35．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 36．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 37．如图，在中，点在的延长线上． (1)尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)补全图形，取的中点，连接并延长交的角平分线于点． 38．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 39．如图，已知． (1)作点A到的垂线段，垂足为点D； (2)过点B作，垂足为点E； (3)过点C作的平行线； (4)比较与大小，并说明理由． 40．已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的垂直平分线； (2)作的角平分线，交于点． 题型11 对称轴问题 41．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 42．在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 43．由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 44．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 题型12 折叠问题 45．如图1是一条长方形纸带，，是上的一个动点．将纸带沿着折叠，如图2，的对应点分别是与交于点． （1）若，则______；（用含的代数式表示） （2）再沿折叠，如图3，的对应点分别是，若，则的度数为______． 46．如图，、是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于点，若，有如下结论：①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 47．综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． (1)如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； (2)如图2，若交边于点G，，求的度数． 48．【课本呈现】 如图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动的部分内容： 活动1你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． (1)【观察发现】以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是_____（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等： ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． (2)李明同学发现图（2）中操作得到的折痕与直线的位置关系是垂直，通过不断地尝试，除了上面的折法，过点再也折不出其他折痕与垂直的位置关系，其中的数学原理是：在同一平面内，______． (3)【联系拓展】将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．刘伟经过思考，想到过点E作．请你根据刘伟的想法作出辅助线，并解答． (4) 【易错警示】 折叠题易忽略折叠前后边角完全相等，找错对应边、角。直角折叠时常遗漏隐含直角，计算线段长度漏分类讨论。利用勾股定理列式时边长符号出错，审题忽略重叠线段等量关系。求坐标问题正负混淆，不检验线段取值合理性，导致答案不全。 题型13 找旋转中心、旋转角、对应点 49．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（     ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 50．如图，点是正六边形的中心，可通过旋转得到，则所有满足要求的旋转中心是________． 51．如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)平移，使点与点重合，画出平移后的； (2)将沿某条直线翻折，使点与点重合，画出对称轴及翻折后的； (3)将绕某个点逆时针旋转，使点与点重合，画出旋转中心及旋转后的． 52．在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 题型14 根据旋转的性质求解 53．如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到．若，，则线段的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 54．将一副直角三角板按如图所示的方式放置（点在同一条直线上），．现固定直角三角板，将直角三角板绕着公共点顺时针旋转度，当边与直角三角板的某直角边平行时，相应的旋转角的值为_______． 55．将一个含角的直角三角板（其中）如图1放置，使得直角三角板的直角顶点落在直线上．过顶点作直线．将直角三角板绕顶点逆时针旋转．在旋转过程中，直线的位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化（始终与平行）． (1)当时，求的度数． (2)如图2，在直角三角板的左侧作直线，交直线于点，交直线于点，使，且在直角三角板旋转过程中，直线与直线的夹角保持不变．当直角三角板的一条直角边与直线平行时，请直接写出的度数． 56．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 【易错警示】 运用旋转性质解题，常找不准旋转中心与对应点，混淆旋转角。忽略旋转前后线段、角度相等，旋转 90° 坐标变换符号易出错。求动点路径误把弦长当作弧长，多解题型未分顺时针、逆时针讨论，计算后不验证线段取值。 题型15 画旋转对称图形 57．如图，在每个小正方形的边长为个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将向右平移个单位长度，向下平移个单位得到，画出； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出； (3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的． 58．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，在方格纸中，点A，B，C，D，E均为格点． ①画出关于直线对称的； ②画出绕点A顺时针旋转90°得到的； (2)定义：若将平面图形甲沿直线l作轴对称得图形乙，再将图形乙沿直线l的方向平移得图形丙，则称图形甲与图形丙成滑动对称．根据该定义，解决下列问题： ①如图2，已知方格纸中的三角形均为格点三角形，则成滑动对称的是（   ） A．与    B．与    C．与 ②成滑动对称的两个图形，其对应点的连线段（   ） A．互相平行    B．被直线l平分    C．与直线l垂直 59．如图，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成画图． (1)在图1中将向下平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，画出； (2)在图1中将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)如图2，点是边上一点，且不在格线上，在图2中画出点关于直线的对称点． 60．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 题型16 中心对称图形 61．数学的抽象美、对称美、简洁美不仅是神奇的大自然形态的展现，更是艺术美和数学公式的融合．它们揭示了世界的秩序与和谐，同时也激发了人们对数学和自然之美的无限遐想．下列神奇数学曲线的曼妙身姿中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 62．有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____（填序号）． 63．“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 64．如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 题型17 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 65．数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 66．如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 67．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 68．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 1．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起压平成图2，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，的边长为，把沿方向平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（     ）． A． B． C． D． 3．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中由阴影三角形经过一次平移变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 5．如图，将沿方向平移，得到（点在边上）．若图中阴影部分的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，将长方形纸片沿折痕折叠，点落在点处，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，将沿方向平移得到，若，则长为________． 8．如图，在的正方形网格中，绕某点逆时针旋转，得到，则旋转中心是点________． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．连接，若，，则的面积为______． 10．已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 11．如图，将三角形沿射线的方向平移3个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 12．如图，每个小方格均为正方形，，，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)按要求画图： ①画，使它与关于直线对称； ②画，使它与①中的关于直线对称； (2)在（1）的条件下，与是否成中心对称？如果是，画出对称中心；如果不是，请说明理由； (3)如果在（1）中继续操作如下：画，使它与关于直线对称；画，使它与关于直线对称；；那么会与（1）中的 重合（填“”“”或“”）． 13．数学与探究 如图，最小正方形的边长为个单位长度．在由这些小正方形组成的网格中（网格线的交点称为格点），对色块的操作定义如下： ①“操作”：色块每次仅向一个方向（向左、向右或向下）平移任意正整数个单位长度； ②“操作”：色块每次以某条横向（或纵向）网格线为对称轴，作轴对称变换； ③“操作”：色块每次以某格点为旋转中心，顺时针方向旋转． 在给定的网格中，解决下列问题： (1)如图1，对色块最少进行 次“操作”后，可与①号区域完全重合； (2)如图2，对色块先进行一次“操作”，再以为对称轴进行一次“操作”后，可与②号区域完全重合． 请在图2中画出色块的位置（画出一种即可，用阴影表示）； (3)如图3，对色块先进行一次“操作”，再在“操作”与“操作”中任选一种进行一次操作后，恰好与③号区域完全重合． 请在图3中画出“操作”的旋转中心． 14．如图，在纸片中，，．点在边上，连接，将沿所在直线翻折，点落在点处，． (1)______°；（直接写出答案） (2)请利用无刻度直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） 15．折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $