第12讲 点的位置与坐标表示10大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第12讲 点的位置与坐标表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用有序数对表示位置 题型2 用有序数对表示路线 题型3 写出直角坐标系中点的坐标 题型4 判断点所在的象限 题型5 已知点所在的象限求参数 题型6 坐标系中描点 题型7 实际问题中用坐标表示位置 题型8 根据方位描述确定物体的位置 题型9 平面直角坐标系综合问题 题型10 平面直角坐标系中的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平面直角坐标系 点的位置 1. 掌握平面点位置描述，能规范书写点的坐标 2. 理解横纵坐标含义，分清坐标有序数对顺序 3. 会根据坐标找出对应点，由点读出对应坐标 4. 运用坐标解决简单定位问题，建立数形意识 5. 规范坐标书写格式，提升读图识图基础能力 学习重点：理解有序数对表示点位置，熟练完成点与坐标互化，牢记横纵坐标书写规范。 学习难点：区分横纵坐标意义，理解有序性，灵活结合图形完成坐标定位转换。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 即时即练 1．已知，，则A，B两点的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中两点距离的计算，当两点纵坐标相等时，两点连线平行于x轴，两点距离等于横坐标差的绝对值，直接计算即可得出结果 【详解】解：∵点，点，两点纵坐标相等， ∴直线平行于轴， ∴，两点的距离为 2．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，可得点的纵坐标为，由此求出的值，即可得到点的横坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， ∴， 解得：， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 3．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到对应的．请画出，并写出点的坐标．    【答案】画图见解析， 【分析】根据平移的性质画出图形，再根据图形写出各点坐标即可． 【详解】解：如图所示，即为所求，由图可得，．    知识点02 象限的划分与点的坐标特征 象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 注意：原点既在x轴上，又在y轴上. 即时即练 4．已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求线段PQ的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平面直角坐标系中，x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得， ， 点的坐标为； （2）解：直线轴，点的坐标为，点的坐标为， 则有点的纵坐标与点的纵坐标相等， ，解得， ， 点的坐标为． 线段的长为． 5．在平面直角坐标系中，点M的坐标为． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系的性质，列出方程是解题的关键． （1）根据点在轴上，纵坐标为，列出方程求得，即可求解； （2）根据轴可得两点的横坐标相等，得到，求得，即可求解． 【详解】（1）解：点M在x轴上，则纵坐标为，即，解得， 则，点的坐标为； （2）解：点N的坐标为，且轴，可得两点的横坐标相等， 得到，解得， 则 ∴点M的坐标为． 6．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的坐标： （1）点在x轴上，其纵坐标为零； （2）与y轴平行的直线，横坐标恒定不变． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴， 故点的坐标为； （2）解：过点且与轴平行的直线为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴， 故点的坐标为． 知识点03 平面上确定物体位置的方法 平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 即时即练 7．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 【答案】(1) (2)超市，电影院 【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据超市和电影院所在位置写出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为． 8．如图所示的是公园某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点的坐标是，点位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)已知点，且轴，试求点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据点A的坐标和点B相对于原点的位置确定原点和坐标轴的位置，建立平面直角坐标系即可得到点C的坐标； （2）平行于x轴上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下所示，则点C的坐标为； （2）解：∵轴，点C的坐标为， ∴点P的纵坐标为5， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 9．小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是，书店的坐标是． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)小明家的坐标是 ，学校的坐标是 ； (3)在图中标出超市，水果店的位置． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】（1）根据邮局的坐标是，书店的坐标是画出坐标系即可； （2）根据象限点的坐标特征写出小明家、学校的坐标； （3）在图中标出超市，水果店的位置即可． 【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示； （2）解：小明家的坐标是，学校的坐标是； （3）解：标出超市与水果店的位置如图所示． 题型1 用有序数对表示位置 1．曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排 B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 【答案】A 【分析】根据题干给出的有序数对的约定，确定两个数分别对应的位置含义即可判断． 【详解】解：∵第2列第3排可以表示为， ∴可得有序数对中第一个数对应第几列，第二个数对应第几排， ∴表示的位置是第4列第5排． 2．林州的春天，是太行山最惊艳的季节．它既有北方山脉的雄奇，又被春花绿水点缀得温柔灵动．下列能准确确定林州市的地理位置的是（   ） A．与山西、河北接壤 B．北纬，东经 C．位于河南省 D．到郑州的车程约 【答案】B 【分析】平面内确定一个点的位置需要两个独立的确定数据，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项仅描述接壤关系，范围不明确，无法确定准确位置，故不符合题意； B选项给出北纬和东经两个确定的数据，可以唯一确定林州市的地理位置，故符合题意； C选项仅说明位于河南省，范围过大，无法确定准确位置，故不符合题意； D选项仅给出到郑州的车程，缺少方向信息，无法确定准确位置，故不符合题意． 3．蒋老师为了确定班上同学的位置，用有序数对表示同学的位置，如表示第排第列的位置，小颖的位置是“第排第列”，则用有序数对记为________． 【答案】 【分析】根据题意明确有序数对中两个数的含义，第一个数表示排数，第二个数表示列数，据此结合小颖的位置写出对应有序数对即可． 【详解】解：由题意可知，有序数对中，第一个数代表排数，第二个数代表列数， ∵小颖的位置是第排第列， ∴对应的有序数对为． 4．为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东篱西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示，，并直接写出景点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在平面直角坐标系中标出，的位置． 【答案】(1)坐标系见解析， (2)见解析 【详解】（1）如图所示为所建坐标系： ∴点C的坐标为． （2）解：点D、E的坐标如图所示： 5．近年来，依托红色革命、古代传统文化、绿色生态和蓝色水域等资源，某地发展成为红色旅游风景区．其中6个展馆最有特色，分别是：①抗日战斗纪念馆；②支前纪念馆；③治水陈列馆；④村史档案馆；⑤民俗馆；⑥进士府，各展馆的大致位置如图所示，请建立合适的平面直角坐标系，使①号展馆位于点，⑤号展馆位于点． (1)在图中画出建立的平面直角坐标系； (2)在建立的平面直角坐标系中， ②号展馆的坐标是______；③号展馆的坐标是______； ④号展馆的坐标是______；⑥号展馆的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系即可； （2）根据所建的平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【详解】（1）解：所作平面直角坐标系如图所示： （2）解：由图可知，②号展馆的坐标是，③号展馆的坐标是，④号展馆的坐标是，⑥号展馆的坐标是． 题型2 用有序数对表示路线 6．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 7．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 8．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 9．如图，这是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系．（每个小正方形的边长均为1） (1)请写出商会大厦和医院的坐标； (2)王老师在市政府办完事情后，沿的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方． 【答案】(1)商会大厦，医院 (2)经过大剧院，体育公园，购物广场 【分析】本题考查坐标确定位置，解题关键是根据原点的位置找出对应的地点． （1）根据原点的位置，直接可以得出商会大厦和医院的坐标； （2）根据点的坐标找出对应的地点，即可解决． 【详解】（1）解：商会大厦，医院； （2）解：根据平面直角坐标系，可知王老师经过大剧院，体育公园，购物广场． 10．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 题型3 写出直角坐标系中点的坐标 11．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点的位置是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点、的坐标确定原点，从而画出平面直角坐标系，根据坐标系写出点的位置． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： 由坐标系可知，“宝藏”点的位置为． 12．如图，下列说法中错误的是（     ） A．点的坐标是 B．点的纵坐标是 C．点的横坐标是 D．点位于第三象限 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，分别确定各点的坐标及所在象限，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：A、点A的坐标是，故本选项错误； B、点B在x轴上，纵坐标是0，故本选项正确； C、点C的横坐标是，故本选项正确； D、点D的坐标是，在第三象限，故本选项正确． 13．已知线段轴，且，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 或 【分析】利用平行于轴的直线上的点纵坐标相等的性质求解，难点在于分点在点左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】解：轴，点的坐标为，， 点的纵坐标为， 当点在点的左侧时，横坐标为，此时点的坐标为； 当点在点的右侧时，横坐标为，此时点的坐标为； 综上可得：点的坐标为或． 14．在平面直角坐标系中，，，且轴，则的值为__________． 【答案】 【分析】平行于轴的直线上的点纵坐标相等，根据该性质列方程即可求解的值． 【详解】解：∵，，且轴， 点和点的纵坐标相等，即， 解得：． 15．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移方式确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）根据坐标系即可写出坐标； （3）先确定扫过的图形，再求解面积． 【详解】（1）解：三角形即为所求； （2）解：； （3）解：如图，阴影部分即为扫过的图形， ∴面积为 题型4 判断点所在的象限 16．在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据各象限内点的坐标符号特征判断即可，四个象限内点的坐标符号规律为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的坐标为，可得，， ∴点的坐标符号符合第二象限点的特征， ∴点在第二象限． 17．若点在轴上，则点在第_______象限． 【答案】 四 【分析】先根据轴上点的坐标特征求出的值，再代入计算得到点的横纵坐标，最后根据各象限内点的坐标特征判断点所在的象限. 【详解】解： 点在轴上， ， 将代入点的坐标中， 得， ， 点的坐标为， 点在第四象限. 18．在平面直角坐标系中，点不在第______象限内， 【答案】四 【分析】根据每个象限内的点的坐标符号和，建立a的不等式组，求出a的取值范围，如果在取值范围内存在a的值，A就在此象限；如果在取值范围不存在a的值，A就不在此象限． 【详解】判断是否在第一象限 第一象限的点，横坐标和纵坐标都必须大于0． 即， 解得： 得． ∵存在满足条件的实数 （例如）， ∴点A可以在第一象限． 判断是否在第二象限 第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0． 即， 解得：， 得． ∵存在满足条件的实数（例如）， ∴点A可以在第二象限． 判断是否在第三象限 第三象限的点，横坐标和纵坐标都必须小于0． 即， 解得， 得． ∵存在满足条件的实数（例如）， ∴点A可以在第三象限． 判断是否在第四象限 第四象限的点，横坐标大于0，纵坐标小于0． 即， 解得：， 这两个条件是相互矛盾的， 不存在任何一个实数既能大于6又能小于-4． 因此，点A绝对不可能在第四象限． 综上所述，点A不在第四象限内． 19．已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1)点的坐标为． (2)2024 【分析】（1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限或第四象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）点的坐标为，直线轴， ， 解得， 点的坐标为． （2）点在第二或第四象限的角平分线上， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握各象限点的坐标规律． 20．已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 题型5 已知点所在的象限求参数 21．已知平面直角坐标系中有和两点，且点A位于第四象限，，直线轴，则（     ） A．1 B．5 C． D．或5 【答案】C 【分析】先根据平行于y轴的直线上点的坐标特点得到b的值，再根据长度得到a的可能值，结合点A在第四象限的条件确定a的取值，代入计算即可． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， ∴， 或1， 点A位于第四象限， ∴， 代入得 ． 22．点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为________． 【答案】或 【分析】轴上的点横坐标为0，先求出的值，得到点坐标；平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此与纵坐标相同；即两点横坐标差值的绝对值为5，分左右两种情况算出的横坐标． 【详解】点在轴上，轴上点横坐标为0， ， 解得， 把代入纵坐标：， ， 轴，平行轴的点纵坐标相等， 设，， 两点纵坐标相同，距离等于横坐标差的绝对值： ， 即， 解得或 点坐标为或． 23．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点的横坐标比纵坐标大3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据轴上点的坐标特征列出方程求解； （2）根据点的横纵坐标关系列出方程求解． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 24．已知点，解答下列各题∶ (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限且点P到轴、轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案； （2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案； （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， ∴，． 点P的坐标为． 25．已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在x轴上，则P点坐标为_____________； (2)点P的横坐标比纵坐标大3； (3)点P在过点且与y轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在轴上的点，纵坐标为，计算即可得出结果； （2）根据点P的横坐标比纵坐标大3，得出，求出，即可得出结果； （3）由题意可得点P的横坐标为2，由此求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵点P的横坐标比纵坐标大3， ， ， ∴，， 点坐标为； （3）解：∵点P在过点且与y轴平行的直线上， ∴点P的横坐标为2， ， ， 点坐标为． 题型6 坐标系中描点 26．如图，这是校园布局图的一部分，若下图是由边长均为1的小正方形组成的网格图，升旗台A、教学楼B的坐标分别为，． (1)在给定的网格中建立平面直角坐标系，并写出实验楼C的位置的坐标_____； (2)标出艺术楼、餐厅的位置，教学楼B在艺术楼D北偏东 的方向上； (3)连接，，请直接写出和的位置关系： 和数量关系： ． 【答案】(1)画图如下；； (2)描点如图； (3) ． 【分析】（1）根据已有点的坐标确定原点的位置，画出坐标系，进而写出点的坐标即可； （2）根据坐标，描点即可； （3）根据图形进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可知：． 27．已知，，． (1)在平面直角坐标系中描出三点，顺次连接得到； (2)将平移得到，对应点，画出平移后的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 【分析】（1）在坐标系中描出，，，顺次连接即可； （2）平移到平移规则：向左平移个单位，向下平移个单位，画出平移后的，确定的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：平移到平移规则：向左平移个单位，向下平移个单位， 画出平移后的， 可得平移后坐标：． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出三角形； (2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标． 【答案】(1)如图：三角形即为所求， (2)如图：三角形，即为所求， ， 【分析】（1）先描点，再连线即可得出三角形； （2）根据平移的性质作出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 29．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． (1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形，画出三角形，并写出平移后，，三点的坐标； (3)在x轴上存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等，求出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)，，，； (3)或． 【分析】（1）依题意在坐标系中找到点，顺次连接即可； （2）按照平移规律进行平移，找到对应点并顺次连接，根据平面直角坐标系可知，，三点的坐标； （3）先求出的面积，再由面积相等求出即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：图略， 由图可知，，； （3）解：，， 或． 30．已知：， (1)请在图中坐标系的格点（网格线的交点称为格点）中描出5个点P的位置，使得点P的横坐标比纵坐标大2． ①请直接写出a，b满足的等式：________； ②这五个点是在同一条直线上？_____（填“是”或者“否”）； (2)在（1）的条件下，若点、，，求点P的坐标； (3)在（1）的条件下，若点、，．求点P的坐标． 【答案】(1)见解析；①；②是 (2)或 (3)或 【分析】（1）在坐标系中找到五个符合题意的点即可； ①根据要求列出代数式； ②观察图形即可得出结论； （2）①根据坐标求出的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； ②由图可分两种情况，P位于C点上侧时，P位于C点下侧时进行求解即可． 【详解】（1）解：5个点P的位置如下图： ①的横坐标比纵坐标大2， ； ②如图，五点都在网格的对角线上，则这五点共线； （2）解：、， ， ， ， 点P的坐标满足（1）问中的条件， 或， 或； （3）解：、， P位于C点上侧时，如图：轴，轴，相交于E点，作轴交点P所在的直线于M， ∵平行线间的距离处处相等， ∴M到y轴的距离等于D到y轴的距离， 即M横坐标为1， ∵点P所在的直线上横坐标比纵坐标大2， ∴M纵坐标为， 即， ∴， ∴， ∴（P到的距离）， 即P到的距离为2， （为C点不合题意，舍去）或（符合要求）； P位于C点下侧时，如图：轴，轴，相交于F点， 同理可知， 综上所述，或． 题型7 实际问题中用坐标表示位置 31．在实际问题中，我们可以建立平面直角坐标系描述物体的位置，还可以用方向和距离描述物体的位置．七（1）班同学到公园春游，对着景区示意图，同学们描述各景点的位置，图中小正方形的边长为，且湖心亭的坐标是，音乐台的坐标是，下列描述正确的是（     ） ①西门的坐标是；②南门的坐标是；③游乐园在中心广场西南方向约处；④牡丹园在中心广场东北方向约处． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据湖心亭和音乐台的坐标建立平面直角坐标系，则可得到西门和南门的坐标，据此可判断①②；根据题意可得游乐园在中心广场东南方向，据此可判断③；等腰直角三角形可以是两个完全相同的等腰直角三角形拼成（），则，利用等面积法求出的长即可判断④． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系， ∴西门的坐标是，南门的坐标是，故①错误，②正确； 由题意得，游乐园在中心广场东南方向，故③错误； 如图所示，在等腰直角三角形中，， 而等腰直角三角形可以由两个完全相同的等腰直角三角形拼成（），则， ∴， ∴， ∴， ∴牡丹园在中心广场东北方向约处，故④正确； 综上所述，正确的有②④． 32．从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，结合“红边门”的坐标为，进一步求解即可. 【详解】解：∵“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，“红边门”的坐标为， ∴“文昌阁”的横坐标比“红边门”的横坐标小，“文昌阁”的纵坐标比“红边门”的纵坐标大， ∴A，B，C,不符合题意；D符合题意. 33．如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则点C的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据点A和点B的坐标确定坐标轴和原点的位置，画出平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则点C的坐标为． 34．敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：如图， ∴三危山景区的坐标为． 35．某城市儿童游乐园利用方格网规划园区道路，分别以正东、正北方向为平面直角坐标系的轴、轴正方向，园内所有游乐设施均落在网格交点上．已知旋转木马的坐标为，过山车的坐标为． (1)请在方格图中画出完整的平面直角坐标系，并写出滑梯、沙地、碰碰车对应的坐标； (2)园区道路仅允许沿水平或竖直方向通行，若游客想从过山车前往碰碰车，请设计一条路程最短的行走路线； (3)游乐园新增两处便民商铺，分别为饮品店、纪念品店，请在网格图中标出这两个商铺的位置． 【答案】(1) ；； (2)先向左走3格、再向上走2格（答案不唯一） (3) 【分析】（1）先根据已知点确定坐标原点、轴、轴，再数网格横纵格数读出坐标； （2）网格中水平竖直行走，最短路径长度固定：横向距离，纵向距离，总最短路程，路线只需保证向左走3格、向上走2格，顺序可互换，写出其中一条即可； （3）坐标定位规则：横坐标看轴（左负右正），纵坐标看轴（下负上正），分别找点标记． 【详解】（1）解：找到点，向左数2格、向上数1格得到坐标原点，过原点画水平直线为轴，竖直直线为轴，标注刻度，完成平面直角坐标系， 图略； 滑梯：原点左侧2格，下方1格，坐标； 沙地：原点左侧3格，上方4格，坐标； 碰碰车：原点右侧1格，上方5格，坐标． （2）略 （3）解：饮品店：轴向左数3格，轴向上数2格，对应网格交点标注； 纪念品店：轴向右数5格，轴向下数3格，对应网格交点标注； 图略． 题型8 根据方位描述确定物体的位置 36．2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据人民大会堂的坐标是，可知天安门为原点，进而建立平面直角坐标系即可； （2）根据坐标系求解即可； （3）①根据方向角的定义即可找到A点位置；②根据A点位置求解即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， （2）解：太庙的坐标为； （3）解：①A点如图所示， ②点坐标为． 37．如图是学校的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标； (4)求的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， (4) 【分析】（1）以花坛向上1个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系标出点A的位置即可； （3）根据方向角确定点B的位置即可； （4）利用网格，根据勾股定理求即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：点A如图所示； （3）解：点B如图所示； 根据图形可得点B的坐标为； （4）解：， 即的距离为． 38．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)点E在点C的正南方向，距离点处 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置； （3）根据坐标系位置和单位长度即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）点D，E ，F的位置如图所示 （3）． 点E在点C的正南方向，距离点处 39．某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东__度的方向上． 【答案】55 【分析】在直角坐标系下现根据题意确定A、B点的位置和方向，最后确定C点的位置和方向．依次连接A、B、C三点，根据角之间的关系求出∠5的度数即可． 【详解】根据题意作图： ∵从A点沿北偏东60°的方向走了100米到达点B，从点B沿南偏西10°的方向走了100米到达点C， ∴∠1+∠2=60°，AB=BC=100， ∴∠2=50°，且△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC==65°， ∴∠5=180°-65°-60°=55°， ∴点C在点A的南偏东55°的方向上． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了直角坐标系的建立和运用，运用直角坐标系来确定点的位置和方向． 40．2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 题型9 平面直角坐标系综合问题 41．在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点．若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，则该格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，例如图中是格点三角形，对应的，，．若某格点多边形对应的，，则值为（     ） A．120 B．110 C．105 D．100 【答案】A 【分析】根据题意，利用和四边形的，，值建立关于的二元一次方程组，求出的值，确定面积公式，最后代入，求解即可． 【详解】解：由题意及图形可知： 对于，，，， ∴ ，即 ① 对于四边形，其面积， 内部格点数（点），边界格点数（点，，，及中点，中点）， ∴ ，即 ②， 联立①②得 ， 解得， ∴ ， 当，时，． 42．如图，长方形中，A点坐标，C点坐标，若过点C的直线交长方形的边于点D，且把长方形的周长分为的两部分，则D点坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意可得长方形的周长，进而得到一部分为，另一部分为，再分直线与边相交于点、直线与边相交于点进行求解即可. 【详解】解：由题可知，则长方形的周长为， 又直线把长方形的周长分为的两部分， 所以一部分为，另一部分为， 如图，若直线与边相交于点， ，解得，则； 如图，若直线与边相交于点， ，解得，则； 综上，D点坐标为或． 43．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴和x轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】由含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，运用旋转的性质可得，即；最后根据点D的位置写出坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点D在第一象限， ∴． 44．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 / 【分析】（1）根据“吉祥点”的定义列一元一次方程求解即可； （2）结合象限内点的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式逐一判断每个结论即可． 【详解】解：（1）点是“吉祥点” ， ，解得 ． （2）对于结论： 第一象限内点的横，纵坐标均为正数， 满足的点有无数个， 第一象限内有无数个“吉祥点”，故正确； 对于结论： ，， 直线轴，直线为， 点是“吉祥点”且在坐标轴上， 若点在轴上，令，得，即， 点到直线的距离为， 若点在轴上，令，得，即，点到直线的距离为， 点到直线的距离为或，故错误； 对于结论： ，， 轴，， 设第一象限内“吉祥点”的坐标为， ，即， ∴点到直线的距离为， ， ， ，即，故正确； 综上，故答案为（1）；（2） 45．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②，③点的坐标为 (3) 【分析】（1）利用算术平方根与绝对值的非负性，列方程求出、，直接得到、两点坐标； （2）①根据等高三角形面积比等于对应底边长之比，结合线段比例直接得到两个三角形面积之比； ②采用分割法，将拆分为两个以为公共底的三角形求和，计算总面积； ③设点纵坐标，拆分为两个小三角形，结合面积比例列方程求解，得到点坐标； （3）设轴动点纵坐标为，分割表示出面积，结合面积不等关系列出绝对值不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：，，且， 两个非负数均为，即， 解得，， 点坐标为，点B坐标为； （2）解：①和有公共顶点，底边、在同一条直线上，因此两个三角形的高（点到直线的垂线段长度）完全相等， 面积比就等于底边长的比， ； ②， ， ， ； ③设点坐标为，即， 以为底，高是点的纵坐标， ， ， 可得， 又， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：设点坐标为， ， 与以为公共底，高分别为点、点到轴的距离和， ， 由题意，且， 代入得：， 整理得， 即， 解得． 【点睛】 题型10 平面直角坐标系中的新定义问题 46．在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且．则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是___________． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为___________．（直接写出答案） 【答案】(1)或； (2)见解析；． 【分析】（1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解． 【详解】（1）解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或； （2）解：①如图所示，直线即为所求 理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点横坐标为， 又∵点的坐标为， ∴ ∴． 47．在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，则称点是图形的“阶关联点”．已知点． (1)若点是点的“2阶关联点”，则点的坐标为___________； (2)若点是线段的“－2阶关联点”，则点的纵坐标的取值范围是___________； (3)若点是的“阶关联点”，点是点关于轴的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称相关知识，一次函数的性质，图形的“阶关联点”，解题的关键是理解题意． （1）根据图形的“阶关联点”定义直接计算即可； （2）根据图形的“阶关联点”定义，得到，结合线段纵坐标的范围求解即可； （3）根据题意， ，即等于的中点的纵坐标，根据当在上的顶点上时，求出此时的值，由此判断最大值或最小值，根据些取值是范围内连续的，求由得出结论． 【详解】（1）设点，由点是点的“阶关联点”，可得 ，解得， 因此，点的坐标为； 故答案为：； （2）设线段上一点， ，， ， 点是线段的“阶关联点”， ，即， ， ， 即； 故答案为：； （3）点是点关于轴的对称点，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，且， 点是的“阶关联点”， ∵上存在点，使得，， 即，即等于的中点的纵坐标， 由图可知：当在上的顶点上时，取最大值或最小值， 若当点在点时，、都在原点，，但不存在， 若当点在点时，中，或， 或， 若当点在点时，中，或， 或， 综上所述：是最小值，是最大值， 即：． 48．定义：在平面直角坐标系中中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． (1)点的“1系友好点”的坐标是______，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是______； (2)已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值； (3)点在y轴正半轴上，点P的“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为一个定值，求k的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义可得，再由，可得，即可解答； （3）设点的坐标为，根据新定义可得点的坐标为，从而得到，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：点的“1系友好点”的坐标是，即； 设这个点的坐标是， ∵该点的“2系友好点”的坐标是， ∴， 解得：， ∴这个点的坐标是； （2）解：∵点是点的“系友好点”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解： 设点的坐标为， ∵点P的“k系友好点”为点， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在y轴正半轴上， ∴， 当时，， 恒为一个定值， ∴，不成立； 当时，， 恒为一个定值， ∴， 解得：（舍去）或； 综上所述，k的值为． 49．在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点的“绝对距离”为，记为． (1)已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为36，请直接写出的值． (2)对于点，点，若有动点使得，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①或；②1；③3 (2) 【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是1可得的最小值为1； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为36计算即可； （2）根据题意可求出在满足的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，在的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，则同时满足的点组成的图形为长方形，其中，进一步可推出只需要满足即可，据此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，，且， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵点为轴上的一个动点，， ∴， ∴， ∴的最小值为1； ③∵，点，且， ∴， ∴ ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上，如图所示， ∵所有动点组成的图形面积为36， ∴， ∴或（舍去）； （2）解：∵点，点，有动点，使得， ∴， ∴且， ∴且， ∴在满足的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中， 同理可得在的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中， ∴同时满足的点组成的图形为长方形，其中， 当点M在长方形内部或其边上时，此时满足， ∴只需要满足即可， ①当时，由题意得：， 解得， ∴ ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得， ∴ 综上，若有动点，使得，的取值范围为． 50．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：将点称为点的共鸣点．例如，当，时，点为点的共鸣点． (1)当，时，的共鸣点坐标为______； (2)当，时，现有点，，点是线段上一动点，求点的共鸣点的横坐标取值范围； (3)当，时，现有正方形，四个顶点坐标分别为，，，，若点的共鸣点在正方形内部（包含边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的共鸣点的横坐标取值范围为：的横坐标 (3) 【分析】（1）根据共鸣点的定义可得答案； （2）由点，，点是线段上一动点，设，，可得点的共鸣点的横坐标为，再结合不等式的性质可得答案； （3）求解点的共鸣点坐标为：，而，点的共鸣点的位置为横纵坐标之和为，如图，点的共鸣点在图中直线上，再结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴的共鸣点坐标为； （2）解：∵点，，点是线段上一动点， ∴设，， ∵， ∴点的共鸣点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点的共鸣点的横坐标取值范围为：的横坐标； （3）解：∵，， ∴点的共鸣点坐标为：，即， 而， ∴点的共鸣点的坐标满足横纵坐标之和为， ∴如图，点的共鸣点在图中直线上， ∵点的共鸣点在正方形内部（包含边界）， ∴当点的共鸣点为时，此时， 当点的共鸣点为时，此时， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，坐标与图形位置，不等式的性质，难度较大，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 1．若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到和的符号，再判断点横纵坐标的符号，最后根据象限坐标特征确定点所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∴，， ∴点在第三象限. 2．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（   ） A． B．1 C．4 D．0 【答案】B 【分析】利用轴上点的纵坐标为0的性质列方程求解即可． 【详解】由题意， 解得． 3．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：“少”的坐标为，“年”的坐标为， 建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为． 4．如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（   ） A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F 【答案】B 【分析】根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，据此可得答案． 【详解】解：∵目标B用表示，目标D用表示， ∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数， ∴表示为的目标是目标C． 5．如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知点A和点B的纵坐标相等，点C和点B的横坐标相等，，结合的长度求得点B的横坐标，然后根据的长度求得点C的纵坐标即可解答． 【详解】解：∵在长方形中，，，平行于轴， ∴，，点A和点B的纵坐标相等，， ∵点的坐标为，， ∴点B的横坐标为，纵坐标为1， ∴点C的横坐标为4，纵坐标为，即． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标特征，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 过点作轴，根据点的坐标得出，的长度，然后再证，得，再根据点在轴的负半轴上，即可得出答案． 【详解】解：过点作轴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 由图可知， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵顶点在轴负半轴上， ∴． 故选：D ． 7．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，各象限内点的坐标的符号特征，根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得，解不等式组求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点在第二象限， ∴， 解得：． 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及轴，得到轴，结合点的坐标，即可求解． 本题主要考查坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握坐标与图形． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵点的坐标为，轴， ∴轴， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， 故选：A． 9．若点在x轴上，则点P的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点纵坐标为，据此列方程求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可得到点的坐标. 【详解】 点在轴上， 点的纵坐标为， 即 ， 解得 ， 将代入横坐标，得 ， 点的坐标为． 10．若A点的坐标是，，且平行于x轴，则点B的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据平行于轴的直线上的点纵坐标相等，可确定点的纵坐标，再分点在点的左侧和右侧两种情况计算横坐标，即可求解． 【详解】解：平行于轴，点的坐标为， 点的纵坐标为， 当点在点的右侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为， 当点在点的左侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为， 综上，点B的坐标为：或． 11．若点在x轴上，则点P的坐标是__________． 【答案】 【分析】直接利用轴上的点的坐标特点：纵坐标为0，得出的值，进而得出答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标是． 12．已知点P的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点M在第_______________象限 【答案】一 【分析】根据“和谐点”的定义列出关于的一元一次方程，求解得到的值，进而得到点的横纵坐标，根据象限的定义判断点所在象限即可． 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴ 解得， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵第一象限内点的横纵坐标均为正， ∴点在第一象限． 13．在平面直角坐标系中，用几个完全相同的长方形摆成如图所示图案，已知点的坐标是，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据点的坐标结合图形列出二元一次方程组，求出，的值，再根据点在图形中的位置确定其坐标． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知，点的横坐标为，纵坐标为． ， ， 解得． 观察图形可知，点到y轴的距离为，点到x轴的距离为． 点在第二象限， 点的坐标为． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，（，）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， ∴ 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．平移，平移后点，，的对应点分别为点，，． (1)画出平移后的； (2)点的坐标为______，点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据平移的性质找到，，的对应点，，，顺次连接，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)将向右平移个单位，再向下平移个单位，得到，请画出，并求出的面积； (2)在轴上找一点，使得与的面积相等，则点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将中的点、、都向右平移个单位，再向下平移个单位，得到、、，连接、、即可得到，最后用包围的矩形面积减去周边三个直角三角形面积，得到面积； （2）由面积相等列等式，解出线段的长度，根据坐标分左右两种情况，算出的横坐标． 【详解】（1）解：先将中的点、、都向右平移个单位，再向下平移个单位，得到、、，连接、、即可得到， 过点作轴于点，过点作轴于点，使交延长线于点，如图： ∵， ∴； （2）∵，在轴上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 17．已知点，根据条件，解决下列问题： (1)点A在x轴上，求出点A的坐标； (2)点A在过点且与y轴平行的直线上，求线段的长． 【答案】(1) 点的坐标为 (2) 线段的长为 【分析】（1）因为x轴上的点纵坐标为0，所以令点A的纵坐标，解出a的值后，代入横坐标表达式求出横坐标，进而得到点A的坐标． （2）因为与y轴平行的直线上的点横坐标相等，所以令点A的横坐标，解出a的值后得到点A的坐标，即可计算出线段的长． 【详解】（1）∵点A在x轴上，x轴上点的纵坐标为0， ∴， 解得 ， 将代入横坐标得：， ∴点A的坐标为 ． （2）∵过点且与y轴平行的直线上所有点横坐标都为3， ∴点A的横坐标满足：， 解得， 则点A的纵坐标为，即， ∵A、P横坐标相同，线段长度为纵坐标差的绝对值， ∴． 18．如图，将长方形纸片放在直角坐标系中，为原点，在的负半轴上，，． (1)写出的坐标； (2)在上取点，将沿折叠，使落在边上的点，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，即可求B点坐标； （2）由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，从而求得，再用勾股定理求出，进而求得E点坐标． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， B点坐标； （2）解：沿折叠，使落在边上的点， ，， ，， 中，， ，即， 解得， E点坐标为． 19．如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【分析】（）因为绝对值、平方数都属于非负数，几个非负数的和小于等于时，每个非负数都必须为，据此可以分别列出关于的等式，进而求出三者的值； （）问采用面积拆分法，把四边形拆分为和两个三角形，先根据三角形面积公式分别计算两个三角形的面积，再将它们相加，结合点在第二象限的坐标特征(横坐标)，最终用含的式子表示出四边形的面积。； （）先计算的面积，利用垂直于轴的特征求出其面积，再令四边形的面积与的面积相等，列出关于的方程并求解，最后根据的值确定点的坐标，判断是否存在满足条件的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴； （3）解：存在 理由：∵， 又∵， ∴，则， ∴存在点，使． 20．如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． (1)求点的坐标． (2)若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后根据勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解； （2）先根据中点坐标公式求出点E的坐标，然后分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵点是的中点， ∴，即 当时，如图，、符合题意， ∴， 解得， ∴，； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得， ∴， 综上，点M的坐标为或或或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 点的位置与坐标表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用有序数对表示位置 题型2 用有序数对表示路线 题型3 写出直角坐标系中点的坐标 题型4 判断点所在的象限 题型5 已知点所在的象限求参数 题型6 坐标系中描点 题型7 实际问题中用坐标表示位置 题型8 根据方位描述确定物体的位置 题型9 平面直角坐标系综合问题 题型10 平面直角坐标系中的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平面直角坐标系 点的位置 1. 掌握平面点位置描述，能规范书写点的坐标 2. 理解横纵坐标含义，分清坐标有序数对顺序 3. 会根据坐标找出对应点，由点读出对应坐标 4. 运用坐标解决简单定位问题，建立数形意识 5. 规范坐标书写格式，提升读图识图基础能力 学习重点：理解有序数对表示点位置，熟练完成点与坐标互化，牢记横纵坐标书写规范。 学习难点：区分横纵坐标意义，理解有序性，灵活结合图形完成坐标定位转换。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 即时即练 1．已知，，则A，B两点的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 3．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到对应的．请画出，并写出点的坐标．    知识点02 象限的划分与点的坐标特征 象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 注意：原点既在x轴上，又在y轴上. 即时即练 4．已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求线段PQ的长． 5．在平面直角坐标系中，点M的坐标为． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标． 6．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 知识点03 平面上确定物体位置的方法 平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 即时即练 7．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 8．如图所示的是公园某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点的坐标是，点位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)已知点，且轴，试求点的坐标． 9．小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是，书店的坐标是． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)小明家的坐标是 ，学校的坐标是 ； (3)在图中标出超市，水果店的位置． 题型1 用有序数对表示位置 1．曲靖市某学校七年级（3）班教室的座位，第2列第3排可以表示为，那么表示的位置是（   ） A．第4列第5排 B．第5列第4排 C．第4排第5列 D．第5排第4列 2．林州的春天，是太行山最惊艳的季节．它既有北方山脉的雄奇，又被春花绿水点缀得温柔灵动．下列能准确确定林州市的地理位置的是（   ） A．与山西、河北接壤 B．北纬，东经 C．位于河南省 D．到郑州的车程约 3．蒋老师为了确定班上同学的位置，用有序数对表示同学的位置，如表示第排第列的位置，小颖的位置是“第排第列”，则用有序数对记为________． 4．为了更好地开展农家生态文化旅游区规划工作，某旅游村把游客中心，稻田酒店，东篱西舍，桃花岛，房车营地等5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景点的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景点A，B的位置分别表示，，并直接写出景点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在平面直角坐标系中标出，的位置． 5．近年来，依托红色革命、古代传统文化、绿色生态和蓝色水域等资源，某地发展成为红色旅游风景区．其中6个展馆最有特色，分别是：①抗日战斗纪念馆；②支前纪念馆；③治水陈列馆；④村史档案馆；⑤民俗馆；⑥进士府，各展馆的大致位置如图所示，请建立合适的平面直角坐标系，使①号展馆位于点，⑤号展馆位于点． (1)在图中画出建立的平面直角坐标系； (2)在建立的平面直角坐标系中， ②号展馆的坐标是______；③号展馆的坐标是______； ④号展馆的坐标是______；⑥号展馆的坐标是______． 题型2 用有序数对表示路线 6．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 7．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 8．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 9．如图，这是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系．（每个小正方形的边长均为1） (1)请写出商会大厦和医院的坐标； (2)王老师在市政府办完事情后，沿的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方． 10．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 题型3 写出直角坐标系中点的坐标 11．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点的位置是（     ） A． B． C． D． 12．如图，下列说法中错误的是（     ） A．点的坐标是 B．点的纵坐标是 C．点的横坐标是 D．点位于第三象限 13．已知线段轴，且，若点的坐标为，则点的坐标为_______． 14．在平面直角坐标系中，，，且轴，则的值为__________． 15．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 题型4 判断点所在的象限 16．在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．若点在轴上，则点在第_______象限． 18．在平面直角坐标系中，点不在第______象限内， 19．已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 20．已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 题型5 已知点所在的象限求参数 21．已知平面直角坐标系中有和两点，且点A位于第四象限，，直线轴，则（     ） A．1 B．5 C． D．或5 22．点在平面直角坐标系的轴上，轴，且，点坐标为________． 23．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点的横坐标比纵坐标大3，求点的坐标． 24．已知点，解答下列各题∶ (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限且点P到轴、轴的距离相等，求出点P的坐标． 25．已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在x轴上，则P点坐标为_____________； (2)点P的横坐标比纵坐标大3； (3)点P在过点且与y轴平行的直线上． 题型6 坐标系中描点 26．如图，这是校园布局图的一部分，若下图是由边长均为1的小正方形组成的网格图，升旗台A、教学楼B的坐标分别为，． (1)在给定的网格中建立平面直角坐标系，并写出实验楼C的位置的坐标_____； (2)标出艺术楼、餐厅的位置，教学楼B在艺术楼D北偏东 的方向上； (3)连接，，请直接写出和的位置关系： 和数量关系： ． 27．已知，，． (1)在平面直角坐标系中描出三点，顺次连接得到； (2)将平移得到，对应点，画出平移后的图形，并写出点的坐标． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出三角形； (2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标． 29．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． (1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形，画出三角形，并写出平移后，，三点的坐标； (3)在x轴上存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等，求出点Q的坐标． 30．已知：， (1)请在图中坐标系的格点（网格线的交点称为格点）中描出5个点P的位置，使得点P的横坐标比纵坐标大2． ①请直接写出a，b满足的等式：________； ②这五个点是在同一条直线上？_____（填“是”或者“否”）； (2)在（1）的条件下，若点、，，求点P的坐标； (3)在（1）的条件下，若点、，．求点P的坐标． 题型7 实际问题中用坐标表示位置 31．在实际问题中，我们可以建立平面直角坐标系描述物体的位置，还可以用方向和距离描述物体的位置．七（1）班同学到公园春游，对着景区示意图，同学们描述各景点的位置，图中小正方形的边长为，且湖心亭的坐标是，音乐台的坐标是，下列描述正确的是（     ） ①西门的坐标是；②南门的坐标是；③游乐园在中心广场西南方向约处；④牡丹园在中心广场东北方向约处． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 32．从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 33．如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则点C的坐标为______________． 34．敦煌是中华文明重要发祥地之一，被誉为“东方世界的艺术博物馆”，素有“丝绸之路的明珠”之称．如图是敦煌的个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若鸣沙山月牙泉的坐标为，莫高窟的坐标为，则三危山景区的坐标为__________． 35．某城市儿童游乐园利用方格网规划园区道路，分别以正东、正北方向为平面直角坐标系的轴、轴正方向，园内所有游乐设施均落在网格交点上．已知旋转木马的坐标为，过山车的坐标为． (1)请在方格图中画出完整的平面直角坐标系，并写出滑梯、沙地、碰碰车对应的坐标； (2)园区道路仅允许沿水平或竖直方向通行，若游客想从过山车前往碰碰车，请设计一条路程最短的行走路线； (3)游乐园新增两处便民商铺，分别为饮品店、纪念品店，请在网格图中标出这两个商铺的位置． 题型8 根据方位描述确定物体的位置 36．2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线是一组自南向北贯穿北京老城，由一系列建筑与空间构成的宏大建筑群．从南至北由15处核心遗产点构成，呈严格对称，居中纵贯的网格分布．五一小长假，某班组织中轴线北线的探秘之旅，在出发前，每位同学拿到了如下图所示的用坐标表示中轴线几处核心遗产点的示意图，已知人民大会堂的坐标是，端门的坐标是． (1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下，写出太庙的坐标为___________； (3)甲同学给在人民大会堂的乙同学发消息说：“我在人民英雄纪念碑，就是你的东南方向．”甲同学又告诉在国家博物馆的丙同学：“我在你的西南方向．”请你根据这些信息： ①用点在图上表示人民英雄纪念碑的位置； ②在（1）的条件下，点坐标为___________． 37．如图是学校的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标； (4)求的距离． 38．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 39．某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东__度的方向上． 40．2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 题型9 平面直角坐标系综合问题 41．在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点．若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，则该格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，例如图中是格点三角形，对应的，，．若某格点多边形对应的，，则值为（     ） A．120 B．110 C．105 D．100 42．如图，长方形中，A点坐标，C点坐标，若过点C的直线交长方形的边于点D，且把长方形的周长分为的两部分，则D点坐标为________． 43．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴和x轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为________． 44．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 45．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 题型10 平面直角坐标系中的新定义问题 46．在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且．则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是___________． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为___________．（直接写出答案） 47．在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，则称点是图形的“阶关联点”．已知点． (1)若点是点的“2阶关联点”，则点的坐标为___________； (2)若点是线段的“－2阶关联点”，则点的纵坐标的取值范围是___________； (3)若点是的“阶关联点”，点是点关于轴的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 48．定义：在平面直角坐标系中中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． (1)点的“1系友好点”的坐标是______，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是______； (2)已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值； (3)点在y轴正半轴上，点P的“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为一个定值，求k的值． 49．在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点的“绝对距离”为，记为． (1)已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为36，请直接写出的值． (2)对于点，点，若有动点使得，请直接写出的取值范围． 50．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：将点称为点的共鸣点．例如，当，时，点为点的共鸣点． (1)当，时，的共鸣点坐标为______； (2)当，时，现有点，，点是线段上一动点，求点的共鸣点的横坐标取值范围； (3)当，时，现有正方形，四个顶点坐标分别为，，，，若点的共鸣点在正方形内部（包含边界），直接写出的取值范围． 1．若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（   ） A． B．1 C．4 D．0 3．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，使“少”的坐标为，“年”的坐标为，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（   ） A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F 5．如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 （ ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点在轴负半轴上，顶点A在轴正半轴上，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．若点在x轴上，则点P的坐标是_______． 10．若A点的坐标是，，且平行于x轴，则点B的坐标为______． 11．若点在x轴上，则点P的坐标是__________． 12．已知点P的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点M在第_______________象限 13．在平面直角坐标系中，用几个完全相同的长方形摆成如图所示图案，已知点的坐标是，则点的坐标是__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点坐标为___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．平移，平移后点，，的对应点分别为点，，． (1)画出平移后的； (2)点的坐标为______，点的坐标为______． 16．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)将向右平移个单位，再向下平移个单位，得到，请画出，并求出的面积； (2)在轴上找一点，使得与的面积相等，则点的坐标为 ． 17．已知点，根据条件，解决下列问题： (1)点A在x轴上，求出点A的坐标； (2)点A在过点且与y轴平行的直线上，求线段的长． 18．如图，将长方形纸片放在直角坐标系中，为原点，在的负半轴上，，． (1)写出的坐标； (2)在上取点，将沿折叠，使落在边上的点，求点坐标． 19．如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 20．如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． (1)求点的坐标． (2)若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $