第11讲 图形变换与坐标变化-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第11讲 图形变换与坐标变化思维导图 知识点1 平移与坐标变化 一、平移的概念 在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移前后的图形全等。 二、平移的基本性质 平移的实质是图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。连接对应点的线段平行或在同一条直线上且相等，对应角相等。 三、平移与坐标变化的关系 1.在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向或y轴方向平移后，所得图形可以看作是由原图形经过一次平移得到的。 2.每组对应点坐标的变化规律都相同。具体来说，当一个图形向右平移a个单位时，其横坐标增加a，纵坐标不变；向左平移a个单位时，横坐标减少a，纵坐标不变。当一个图形向上平移b个单位时，其纵坐标增加b，横坐标不变；向下平移b个单位时，纵坐标减少b，横坐标不变。因此，平移后的坐标公式为(x±a, y±b)，其中a、b为非负数，符号由平移方向决定。 3.通过找准对应点之间的坐标变换规律，可以确定平移的方向和距离。 知识点2 轴对称与坐标变化 一、确定平面上物体位置的方法 坐标法：平面上物体的位置可以用有序实数对来确定，在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称直角坐标系。坐标系所在的平面就叫做坐标平面。 二、坐标与点的位置关系 根据坐标可以描出点的位置，由点的位置也可以写出它的坐标。x轴上的点纵坐标为0，表示为（x,0）；y轴上的点横坐标为0，表示为（0,y）。 掌握各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）。 三、轴对称与坐标变化 关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点（x,y）关于x轴对称的点坐标为（x,-y）。 关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点（x,y）关于y轴对称的点坐标为（-x,y）。 关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 四、图形变换与坐标变化 在同一直角坐标系中，可以感受图形变换后点的坐标的变化。例如，平移变换时，图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。具体来说： 将一个图形沿x轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的纵坐标不变，横坐标增加或减少a个单位长度。 将一个图形沿y轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的横坐标不变，纵坐标增加或减少a个单位长度。 教材习题01 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在所给的图中，画出该平面直角坐标系； (2)将三角形先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到三角形，，，分别是，，的对应点，画出三角形，并写出点的坐标； (3)求三角形的面积． 教材习题02 如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，和． (1)画出关于轴对称的（点，分别是点，的对应点），并写出点的坐标； (2)在图中的平面直角坐标系中画出点，使得以，，，四点组成的四边形是轴对称图形，且对称轴是轴，并写出点的坐标． 教材习题03 （1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 考点一、用方向角和距离确定物体位置 1．如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 2．如图，位于处的1班准备前往相距的处与位于处的2班会合，用南偏西，就可以描述2班相对于1班的位置．反过来，1班相对于2班用方向和距离可描述为 ． 3．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 考点二、坐标系中的平移 1．若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点的对应点分别为、、． (1)请在网格中作出； (2)求出三角形的面积； (3)若，点是直线上的一点，求的最小值． 考点三、坐标系中的轴对称 1．点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 考点四、点的坐标规律 1．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点跳动至点，第二次从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 考点五、中点坐标 1．在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 3．综合与探究 （1）数学课上，老师要求在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，并且连接，，，．找出它们的中点分别为M，N，P，Q，请你在下面的平面直角坐标系中完成老师的要求．（不用写作图的结论） 【探究一】 （2）小亮通过观察上图发现，在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为________；若，则轴且线段的长度为____________； （3）请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中有两个点，点和点，若轴，且，求点的坐标． 【探究二】 （4）小亮通过观察上图M，N，P，Q的坐标，发现：在平面直角坐标系中有不重合的两点和，线段的中点的坐标与线段的两个端点的横、纵坐标之间存在一种数量关系．请直接写出结论． （5）请利用上面的结论解决问题：平行四边形在平面直角坐标系中，已知，，，对角线，交于点E，且E分别为，的中点，求D点坐标． 考点六、坐标系中的面积问题 1．在平面直角坐标系中，点，其中满足，过点作直线轴． (1)求点的坐标； (2)如图1，过点作于点，求三角形的面积； (3)如图2，延长交于点，求点的坐标； (4)点在直线上，且三角形的面积为5，求点的坐标． 2．已知实数a，b满足|，坐标平面内两点，，现将点，点向右平移个单位长度分别到，两点，顺次连接点，，，． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若在轴上找一点，使四边形的面积等于的面积的倍，求点的坐标； (3)连接，的平分线与的平分线交于点，请确定与的数量关系，并说明理由． 3．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则 ； ；点的坐标为 ； (2)在移动过程中，当点移动秒时，求的面积； (3)在（）的条件下，坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 考点七、坐标系中的特殊三角形 1．如图，在等腰中，，． (1)点A的坐标是______； (2)若点P在y轴上，且为等腰三角形，求满足条件的所有点P的坐标． 2．平面直角坐标系中，点，点，a与b满足连接，过点A作，且，连接． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 3．综合探究： 如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，且． (1)直接写出的值：____________，____________，____________． (2)当点在线段上运动时，是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点在轴上运动，是否存在为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 知识导图记忆 1．将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“故宫”的点的坐标为，表示“电报大楼”的点的坐标为，则表示“人民大会堂”的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．在解放军建军90周年阅兵中，多架飞机排出“90”字样列阵长空，象征人民军队走过了90年的光辉历程．如图，以飞机D，E所在的直线为x轴、过点A且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，飞机C与飞机B到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则飞机C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．若点的坐标满足，，，则点P的坐标为 ． 7．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是 ． 8．若点在第一象限，则的取值范围是 ． 9．如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为 ． 10．七巧板是中国一种古老的传统智力游戏，它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等各式各样的图形．如图，将由七巧板拼成的“小船”放置在网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 11．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)的面积是______； (2)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (3)作出关于y轴对称的图形． 12．网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且． (1)画出平面直角坐标系，写出点C的坐标； (2)平移，使点C移动到点． ①画出平移后的，其中点D与点A对应（不写画法）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标． 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)将先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，画出平移后的； (2)在所给的网格图中确定一个格点，使射线平分，写出点的坐标． 14．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____； (3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____． 15．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 图形变换与坐标变化思维导图 知识点1 平移与坐标变化 一、平移的概念 在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移前后的图形全等。 二、平移的基本性质 平移的实质是图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。连接对应点的线段平行或在同一条直线上且相等，对应角相等。 三、平移与坐标变化的关系 1.在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向或y轴方向平移后，所得图形可以看作是由原图形经过一次平移得到的。 2.每组对应点坐标的变化规律都相同。具体来说，当一个图形向右平移a个单位时，其横坐标增加a，纵坐标不变；向左平移a个单位时，横坐标减少a，纵坐标不变。当一个图形向上平移b个单位时，其纵坐标增加b，横坐标不变；向下平移b个单位时，纵坐标减少b，横坐标不变。因此，平移后的坐标公式为(x±a, y±b)，其中a、b为非负数，符号由平移方向决定。 3.通过找准对应点之间的坐标变换规律，可以确定平移的方向和距离。 知识点2 轴对称与坐标变化 一、确定平面上物体位置的方法 坐标法：平面上物体的位置可以用有序实数对来确定，在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称直角坐标系。坐标系所在的平面就叫做坐标平面。 二、坐标与点的位置关系 根据坐标可以描出点的位置，由点的位置也可以写出它的坐标。x轴上的点纵坐标为0，表示为（x,0）；y轴上的点横坐标为0，表示为（0,y）。 掌握各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）。 三、轴对称与坐标变化 关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。即点（x,y）关于x轴对称的点坐标为（x,-y）。 关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点（x,y）关于y轴对称的点坐标为（-x,y）。 关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。 四、图形变换与坐标变化 在同一直角坐标系中，可以感受图形变换后点的坐标的变化。例如，平移变换时，图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。具体来说： 将一个图形沿x轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的纵坐标不变，横坐标增加或减少a个单位长度。 将一个图形沿y轴方向平移a个单位长度时，图形上每个点的横坐标不变，纵坐标增加或减少a个单位长度。 教材习题01 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在所给的图中，画出该平面直角坐标系； (2)将三角形先向右平移5个单位，再向下平移1个单位得到三角形，，，分别是，，的对应点，画出三角形，并写出点的坐标； (3)求三角形的面积． （1）．解：如图所示． （2）如图所示，三角形即为所求，点的坐标为． （3）三角形的面积为． 教材习题02 如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，和． (1)画出关于轴对称的（点，分别是点，的对应点），并写出点的坐标； (2)在图中的平面直角坐标系中画出点，使得以，，，四点组成的四边形是轴对称图形，且对称轴是轴，并写出点的坐标． （1）解：关于轴对称的，如图1即为所求； 由图可知，； （2）如图2，四边形即为所求， 由图可知，． 教材习题03 （1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 解：（1）如图所示： ，   ， （2）① ②线段的中点坐标为，即． 考点一、用方向角和距离确定物体位置 1．如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 【答案】A 【分析】本题考查用方位角和距离表示实际位置，根据图形结合方向角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 灯塔相对于游轮的位置为南偏东的方向上，且相距处； 故选A． 2．如图，位于处的1班准备前往相距的处与位于处的2班会合，用南偏西，就可以描述2班相对于1班的位置．反过来，1班相对于2班用方向和距离可描述为 ． 【答案】北偏东， 【分析】本题考查了方位角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．根据方位角的概念，可得答案． 【详解】解：根据题意得：1班位于 处，2班位于处，如图所示： ∵2班在1班的南偏西处，； ∴1班在2班的北偏东，处． 故答案为：北偏东，． 3．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 【答案】（1）图书馆；（2）见解析；；（3）校门在操场的南偏东，距离米；（4）小明需要100秒到达操场 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）即可得到平面直角坐标系的原点的位置； （2）根据高中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （3）根据方向角的表示方法，进行解答即可； （4）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）∵实验室的坐标是，高中楼的坐标是， ∴平面直角坐标系的原点应为图书馆的位置； （2）由题意得，可以建立如下坐标系； 初中楼的坐标是； （3）根据图可知：校门在操场的南偏东，距离（米）； （4）， （秒）， 答：小明需要100秒到达操场． 考点二、坐标系中的平移 1．若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值，据此进行求解即可． 【详解】解：∵将向右移动3个单位，再向下移动1个单位， ∴M点的坐标为， ∵直线轴，且线段，点N在点M的左侧， ∴点N的坐标为， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：把原点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点的对应点分别为、、． (1)请在网格中作出； (2)求出三角形的面积； (3)若，点是直线上的一点，求的最小值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平移作图及性质，求格点三角形面积，垂线段性质； （1）由点的平移得向右平移个单位，再向下平移个单位得到，以此作图，即可求解； （2）面积为直角梯形减去两个直角三角形的面积，即可求解； （3）由垂线段最短得当时，取得最小值，由三角形面积，即可求解； 掌握垂线段最短，会在平面直角坐标系中平移作图和割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：点，经平移后对应点为， 向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 作图如下： 为所求作； （2）解：三角形的面积为： ； （3）解：如图， 当时，取得最小值， 由平移得：， ， ， 解得：， 故的最小值为． 考点三、坐标系中的轴对称 1．点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出、，进而可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标、作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图形写出坐标即可得解； （2）根据轴对称的性质作出，再写出的坐标即可得解； （3）根据轴对称的性质画出图形，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：如图：即为所作， 由图可得：； （3）解：如图，点、即为所求， 所有符合条件的点D坐标为或． 考点四、点的坐标规律 1．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，观察图形可发现：前n次改变方向需要运动n个单位长度，则是第12次改变方向后再运动5次到达的点，观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同，则是第三个运动周期的终点，然后根据每个周期终点的坐标间的规律求解即可． 【详解】解：观察图形可发现：第一次改变方向需要运动1个单位长度； 第二次改变方向需要运动2个单位长度； 第三次改变方向需要运动3个单位长度； 第四次改变方向需要运动4个单位长度； 第五次改变方向需要运动5个单位长度； …… ∴第n次改变方向需要运动n个单位长度； ∴前n次改变方向需要运动n个单位长度， 当时，，当时，， ∴是第12次改变方向后再运动5次到达的点， 观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同， ∴是第三个运动周期的终点， 如图， ∵起点，第一个周期的终点，第二个周期的终点， ∴周期的终点的横坐标依次加2，纵坐标也是依次加2， ∴第三个周期的终点， ∴的坐标为，即为， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点跳动至点，第二次从点跳动至点，第三次从点跳动至点，第四次从点跳动至点，……依此规律跳动下去，则点与点之间的距离是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化规律，根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， …… 第次跳动至点的坐标是， 则第2026次跳动至点的坐标是， 第2025次跳动至点的坐标是． ∵点与点的纵坐标相等， ∴点与点之间的距离． 故答案为：2027． 3．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 考点五、中点坐标 1．在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴点D为的中点， ∵点，， ∴点E的坐标为，即， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键：若已知点，，则线段的中点的坐标为． 由中点坐标公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， 线段的中点的坐标为，即， 故答案为：． 3．综合与探究 （1）数学课上，老师要求在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，并且连接，，，．找出它们的中点分别为M，N，P，Q，请你在下面的平面直角坐标系中完成老师的要求．（不用写作图的结论） 【探究一】 （2）小亮通过观察上图发现，在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为________；若，则轴且线段的长度为____________； （3）请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中有两个点，点和点，若轴，且，求点的坐标． 【探究二】 （4）小亮通过观察上图M，N，P，Q的坐标，发现：在平面直角坐标系中有不重合的两点和，线段的中点的坐标与线段的两个端点的横、纵坐标之间存在一种数量关系．请直接写出结论． （5）请利用上面的结论解决问题：平行四边形在平面直角坐标系中，已知，，，对角线，交于点E，且E分别为，的中点，求D点坐标． 【答案】（1）见详解；（2），；（3）的坐标为或；（4），；（5） 【分析】本题主要考查了直角坐标系，两点之间的距离以及线段中点坐标的有关计算． （1）根据题意描点，连线，找出中点即可． （2）根据直角坐标系中两点之间的距离求解即可． （3）根据直角坐标系中两点之间的距离求解即可． （4）总结出线段中点坐标的规律即可求解． （5）设，根据线段中点的坐标公式列出关于x，y的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意作图如下： （2）若，则轴， ∴线段的长度为 若，则轴 ∴线段的长度为． （3）∵轴， ∴的横坐标和点的横坐标相同为2， 解得：或 ∴点的坐标为：或 （4）∵，，，， 且M，N，P，Q，分别为线段，，，的中点， ， ， 则线段中点坐标为线段两端点对应坐标之和的． ∴， 即， （5）∵，，，且E分别为，的中点， 故设， ∴，， 解得：，， ∴ 考点六、坐标系中的面积问题 1．在平面直角坐标系中，点，其中满足，过点作直线轴． (1)求点的坐标； (2)如图1，过点作于点，求三角形的面积； (3)如图2，延长交于点，求点的坐标； (4)点在直线上，且三角形的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】此题考查了坐标与图形、算术平方根的非负性等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）根据非负数的性质即可求出答案； （2）求出和的长，即可求出答案； （3）过作于，连接，过作于．由（2）得，，由点在直线上，设，根据得到，解得，即可求出答案； （4）分点在点上方和点在点下方两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵． 又∵， ∴ 解得， ∴； （2）如图1，过作交的延长线于． ∵轴于点， ∴点的横坐标为1， ∵，作于， ∴的纵坐标为1， ∴． ∴． ∵， ∴． 三角形的面积； （3）如图2，过作于，连接，过作于． ∵， ∴， ∴． 由（2）得，， ∵点在直线上，设， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． （4）如图3，延长交于点，当点在点上方时，过作于，过作于，则，设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 如图3，当点在点下方时，设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 2．已知实数a，b满足|，坐标平面内两点，，现将点，点向右平移个单位长度分别到，两点，顺次连接点，，，． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若在轴上找一点，使四边形的面积等于的面积的倍，求点的坐标； (3)连接，的平分线与的平分线交于点，请确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性、坐标的平移性质、平行线的性质等，解题的关键是对相关性质与定理能够灵活应用． （1）根据绝对值与算术平方根的非负性可求得、的值，即可求得点、的坐标， （2）设出点的坐标，然后根据三角形与平行四边形的面积关系列出方程，求得点的坐标即可； （3）由角平分线可知，，由平移可知，作，则，由此可知，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵点，点向右平移个单位长度分别到，两点， ∴由平移可知：，，四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为， 设点的坐标为， ∵四边形的面积等于的面积的倍， ∴， ∴， 即， 解得：或， ∴的坐标为或； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分，， ∴，， 由平移可知， 如图，过点作， 则， ∴，，， ∴ ， 即：． 3．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则 ； ；点的坐标为 ； (2)在移动过程中，当点移动秒时，求的面积； (3)在（）的条件下，坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：当点移动秒时，移动的路程为， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当点在轴上时 ，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 考点七、坐标系中的特殊三角形 1．如图，在等腰中，，． (1)点A的坐标是______； (2)若点P在y轴上，且为等腰三角形，求满足条件的所有点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质运用分类讨论的思想解题是关键． （1）过点A作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得点A的坐标； （2）分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；分别进行计算即可． 【详解】（1）过点A作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴点A的坐标的坐标为， 故答案为：； （2）∵点P在y轴上，且为等腰三角形， ∴当时，点的坐标为或； 当时，如图，过点A作于点， 此时， ∴点的坐标为； 当时，如图，过点A作于点， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即， ∴点的坐标为； 综上所述：点P的坐标为或或或． 2．平面直角坐标系中，点，点，a与b满足连接，过点A作，且，连接． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点； (2)； (3)点P坐标为或或 【分析】此题属于三角形综合题，主要考查了坐标与图形、三角形的全等和判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）先利用非负数的性质求出点的坐标为，点的坐标为，得到，，过点作轴于，证明，则，，则，即可得到点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，则，得到，则，即可得到求点的坐标； （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 如图1，过点作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点； （2）解：如图2，过点作轴于点， 同（1）理可证：， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：点坐标为或或， 如图3，当，时，过点作轴于，过点作于， 同理可证， ，， ， 点到轴的距离为11，到轴的距离为， 点； 如图4，当，时，过点作轴于，过点作轴于， 同理可得， ，， ， 点； 如图5，当，时，过点作轴于，过点作于，过点作于， 同理可得， ，， ，， ，， ， 点， 综上所述：点坐标为或或． 3．综合探究： 如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，且． (1)直接写出的值：____________，____________，____________． (2)当点在线段上运动时，是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点在轴上运动，是否存在为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）非负性求出，勾股定理求出的值即可； （2）设点的坐标为，利用分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：设点的坐标为，由（1）可知：， 即 解得：； 的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当，过点作，则：， ， ， ∵，， ∴，轴， ， ， ， 点的坐标为 ②当，如图，设， ， ， ， 即， 解得； 的坐标为； ③当，不符合题意 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，非负性，勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想，是解题的关键． 知识导图记忆 1．将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合， ∴点B的坐标为，即， 故选：B． 2．如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“故宫”的点的坐标为，表示“电报大楼”的点的坐标为，则表示“人民大会堂”的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：表示“人民大会堂”的点的坐标为：． 故选：A． 3．如图，已知点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，由点B的坐标得出平移的方式，再根据平移的方式得出A点平移后的点的坐标即可． 【详解】解：由点到可知先向下移动1个单位，再向左移动3个单位， ∵， ∴，即， 故选：B 4．在解放军建军90周年阅兵中，多架飞机排出“90”字样列阵长空，象征人民军队走过了90年的光辉历程．如图，以飞机D，E所在的直线为x轴、过点A且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，飞机C与飞机B到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，则飞机C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标系中一点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为其横坐标的绝对值，据此可得，再由点B在第二象限，点C在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵飞机C与飞机B到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，飞机B的坐标为 ∴， ∵点B在第二象限，点C在第一象限， ∴ ∴飞机C的坐标为， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点坐标的规律，正确理解题意发现并总结运用规律是解题的关键．根据图形发现每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标为1，0，1，0，，0循环，据此规律得到答案即可． 【详解】解：坐标为 以此类推，可知，每6秒运动为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标为1，0，1，0，，0循环， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为1， ∴点的坐标是， 故选：D 6．若点的坐标满足，，，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，平方根，象限中的点坐标．计算，求出符合要求的解即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 7．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可． 【详解】将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 最后所得点的坐标是． 故答案为：． 8．若点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形平移，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键． 找出平移前后的对应点，根据平移的性质计算即可． 【详解】解：∵将线段平移至线段， ∴点的对应点为点，点的对应点为点， ∴， 故答案为：1． 10．七巧板是中国一种古老的传统智力游戏，它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等各式各样的图形．如图，将由七巧板拼成的“小船”放置在网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标．根据已知的坐标可作出直角坐标系，故可求出点的坐标． 【详解】解：建立如图所示的横坐标系， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)的面积是______； (2)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (3)作出关于y轴对称的图形． 【答案】(1)6； (2)点的坐标为，见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据网格即可求出的面积； （2）根据轴对称的性质即可作出关于x轴对称的图形，进而写出点的坐标； （3）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的图形 【详解】（1）解：的面积， 故答案为：6； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为； ； （3）解：如图，即为所求． 12．网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且． (1)画出平面直角坐标系，写出点C的坐标； (2)平移，使点C移动到点． ①画出平移后的，其中点D与点A对应（不写画法）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形的平移，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的坐标确定坐标系，由坐标系的特点可写出点的坐标； （2）①根据图形平移的方法作图即可； ②根据点平移规律“左减右加”即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系． ∴点C的坐标； （2）解：已知点，平移到点， ∴右移个单位，下移个单位， ①如图所示，即为所求； ②的坐标为． 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)将先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，画出平移后的； (2)在所给的网格图中确定一个格点，使射线平分，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，三线合一定理，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定的坐标，描出并顺次连接即可； （2）取格点，连接交格线于，则射线上的格点都满足题意，则点的坐标为即为所求． 【详解】（1）解；如图，即为所求； （2）解：如图，取格点，连接交格线于，则射线上的格点都满足题意，则点的坐标为即为所求． 可证明为的中点，则平分． 14．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____； (3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)或 【分析】本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）直接求出四边形的面积即可． （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：在平移过程中，线段扫过的面积为． 故答案为：15． （3）解：或．设点的坐标为， 三角形与三角形面积相等， ， 解得或4， 点的坐标为或． 故答案为：或． 15．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 【答案】(1)，； (2)存在，或； (3)当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减求解即可； （2）根据、两点坐标，求出，从而求出，设点，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由平移的性质可知，，点的位置分三种情况求解，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， 则点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：，； （2）解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的， ， 设点，则， ， 解得：或， 点的坐标为或； （3）解：由平移的性质可知，， ①如图，当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， ； ③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$