2.1 第1课时 一元二次方程（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式及系数，通过矩形地毯铺设、连续整数平方和、梯子滑动三个实际问题导入，引导学生从具体情境抽象出方程，搭建从实际问题到数学概念的学习支架，衔接后续解方程与应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，如矩形地毯问题列方程体现抽象能力；通过辨析含分式、多未知数的方程发展数学思维，强化推理意识；结构化小结定义与一般形式。学生能提升建模能力，教师可借助清晰资料高效教学。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 2.1 第1课时 一元二次方程 第二章 一元二次方程 北师大版八年级数学2.1 一元二次方程（第1课时）同步讲解与习题 本节课是第二章一元二次方程的入门课时，核心认识一元二次方程的定义、一般形式、各项系数，能准确区分一元一次方程、分式方程与一元二次方程，会根据实际问题列简单的一元二次方程，是后续解方程、应用解题的基础。 一、课时核心知识点（必背） 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等式两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三大判定条件（缺一不可）： - 整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数） - 只含一个未知数 - 未知数最高次数为2 2. 一元二次方程的一般形式 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$ - $$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数（a≠0，是核心前提） - $$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数 - $$c$$：常数项 注意：$$b$$、$$c$$可以为0，只有$$a$$绝对不能为0。 3. 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 二、基础判断题型（易错点） 1. $$x^2+2x=0$$：是一元二次方程 2. $$2x^2+3x=1$$：是一元二次方程（需化为一般形式） 3. $$ax^2+2x=1$$：不一定（未说明$$a eq0$$） 4. $$\dfrac{1}{x^2}+x=2$$：不是（分式方程，非整式方程） 5. $$x^2+y=1$$：不是（含两个未知数） 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. $$3x+2=0$$ B. $$2x^2+x=1$$ C. $$x^2+y=3$$ D. $$\dfrac{1}{x}+x^2=2$$ 2. 一元二次方程$$2x^2-5x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、-5、1 B. 2、5、1 C. 2、-5、-1 D. -2、5、1 3. 若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（ ） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m\gt2$$ D. $$m\lt2$$ 4. 方程$$x^2-4=0$$的常数项是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. 0 5. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+ax+2=0$$的一个根，则$$a$$的值为（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 一元二次方程的一般形式是________，其中________≠0。 2. 方程$$3x^2=5x-1$$化为一般形式为________。 3. 方程$$x^2-6x=0$$的二次项系数是________，常数项是________。 4. 若方程$$(k+1)x^2-2x=0$$是一元二次方程，则$$k$$的取值范围是________。 5. 已知$$x=2$$是方程$$x^2-mx+4=0$$的根，则$$m=$$________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数： （1）$$4x^2=3x+2$$ （2）$$(x+1)(x-2)=0$$ 2.（16分）判断下列方程是否为一元二次方程，说明理由： （1）$$2x^2-1=0$$ （2）$$x(x+2)=x^2-1$$ 3.（18分）已知方程$$(a-3)x^2+2x+a^2-9=0$$。 （1）若方程是一元二次方程，求$$a$$的取值范围；（2）若方程是一元一次方程，求$$a$$的值。 四、参考答案与解析 （一）选择题 1.B 解析：A是一元一次方程，C含两个未知数，D是分式方程。 2.A 解析：一般形式中各项系数包含符号。 3.A 解析：二次项系数不为0，即$$m-2 eq0$$。 4.B 解析：方程可化为$$x^2+0x-4=0$$，常数项为-4。 5.A 解析：代入$$x=1$$，$$1+a+2=0$$，解得$$a=-3$$。 （二）填空题 1. $$ax^2+bx+c=0$$；$$a$$ 2. $$3x^2-5x+1=0$$ 3. 1；0 4. $$k eq-1$$ 5. 4 （三）解答题 1. 解：（1）一般形式：$$4x^2-3x-2=0$$，二次项系数4，一次项系数-3，常数项-2。 （2）展开化简得：$$x^2-x-2=0$$，二次项系数1，一次项系数-1，常数项-2。 2. 解：（1）是，满足整式方程、单未知数、最高次数2； （2）不是，化简后为$$2x+1=0$$，是一元一次方程。 3. 解：（1）一元二次方程需二次项系数不为0，即$$a-3 eq0$$，$$a eq3$$； （2）一元一次方程需二次项系数为0，一次项系数不为0，即$$a-3=0$$，解得$$a=3$$。 五、课时小结 本节课核心：牢牢记住一元二次方程三个判定条件，区分一般形式的各项系数，重点掌握二次项系数$$a eq0$$的易错点，熟练将方程化为标准一般形式，会利用方程的根代入求值，为后续解方程打好基础。 1.理解一元二次方程的有关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。 2.能把一个一元二次方程化为一般形式，并能指出二次项系数、一次项系数和常数项。 学习目标 2 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗? 8m 5m 3 知识点1 一元二次方程的概念 问题1 如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样的方程? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 2x²-13x+11=0 18m² 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示 其余四个数? 根据题意，你能列出怎样的方程? x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) x x²-8x-20=0 问题3 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗? =6(m) 如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程? (x+6)²+7²=10² 1 m 知识点1 一元二次方程的概念 x m 10 m 8 m x²+12x-15=0 知识点1 一元二次方程的概念 由上面三个问题，得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18， x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²， (x+6)²+7²=10²。 这三个方程有什么共同特点? ①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 2x²-13x+11=0 x²-8x-20=0 x²+12x-15=0 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 知识点1 一元二次方程的概念 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ①； ； ③； ④； ； ⑥ (m是常数)； ⑦ ； ⑧ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念；√ 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；√ 含有两个未知数；× 含有未知数的式子不都是整式；× 未知数的最高次数是 3；× 当m=0 时，未知数的最高次数是 1；× 整理，得x=0；× 含有未知数的式子不都是整式。× B 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 知识点1 一元二次方程的概念 我们把ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 知识点2 一元二次方程的一般形式 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0。 思考：为什么规定a≠0？ 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 知识点2 一元二次方程的一般形式 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 x²=-2x+6； 4-3x²=0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1)²+3x=4x²。 解： 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 例2 x²+2x-6=0 1 2 -6 3x²-4=0 3 0 -4 4x²-5x=0 4 -5 0 3x²-x-1=0 3 -1 -1 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( ) ①x²-2xy+1=0； ②x²-x-=0；③x²+-2=0；④x(x+3)=x²-1；⑤x²=6；⑥x³-x+4=0。 A.1 B.2 C.3 D.4 B 随堂练习 解：答案不唯一。 例如，可设三边长分别为x-1，x，x+1(x>1)。 根据题意，得(x-1)²+x²=(x+1)²， 化成一般形式为x²-4x=0。 2.根据题意到出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。 随堂练习 3.把方程(3x+2)²=4(x-3)²化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：原方程可化为5x²+36x-32=0， 这时二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32。 随堂练习 4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 解：(1)设正方形的边长为x, 根据题意，得4x2=25, 一般形式为4x2-25=0。 随堂练习 解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2， 根据题意，得x(x-2)=100, 一般形式为x2-2x-100=0。 4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 随堂练习 解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m, 根据题意，得x=(1-x)2, 一般形式为x2-3x+1=0。 4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 随堂练习 5.若关于x的方程 (m-2) －4mx+3(m+2)=0 是一元二次方程，则m=_______。 分析：∵一元二次方程未知数的最高次数为2， ∴ m2-2=2，即m=±2。 ∵二次项系数不为0， ∴m-2≠0，即m≠2。 ∴m=-2。 -2 随堂练习 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程中，①；② ；③ ；④；⑤ ， 是一元二次方程的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知关于的方程当 ______时，是一元二次方程；当 ______时，是一元一次方程. 返回 考试考法 22 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程 化成一般式， 则 的值是( ) D A. B. C. 2 D. 5 4. 若关于的一元二次方程 化为 一般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 3 D. 返回 考试考法 23 知识点3 建立一元二次方程模型 5. [2026杭州期中] 某足球训练基地，组织了一次单循环的足 球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛， 设该基地这次有 支队伍参加了比赛，依题意可列方程为 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 24 6. 一个两位数比它的十位上的数字与个位上的 数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，设 个位数字为 ，依题意可列方程为_______________________ ______. 返回 考试考法 25 一元二次方程 定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 一般形式 课堂小结 $