第1章 直线与方程（暑假单元自测）新高二数学苏教版

**基本信息** 苏教版高中数学直线与方程单元自测卷，120分钟150分，19题覆盖单选、多选、填空、解答，考点全覆盖，适配高二暑假复习，融合数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|方向向量与倾斜角、直线位置关系|结合期中期末真题，基础巩固| |多选|3/18|直线方程形式、对称问题|辨析易错点，提升推理能力| |填空|3/18|垂直直线方程、距离最值|聚焦计算，强化几何直观| |解答|5/74|三角形中线、面积计算|综合应用，体现模型意识|

第1章 直线与方程 单元自测卷 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 5．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 8．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 10．（25-26高二上·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 11．（2026高三·全国·专题练习）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中正确的是（    ） A．当时，存在一个点与直线系中所有直线的距离都相等 B．当时，直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限 C．当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为 D．当时，若，则点到直线系中所有直线的距离不小于1 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 12．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 13．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 14．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 四、解答题 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 17．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 18．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 19．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知三个顶点. (1)求边所在直线的方程. (2)若边上高所在的直线方程为，且的面积为4，求点的坐标. (3)若，四个点在直线的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程 单元自测卷 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【详解】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】的法向量为，因此，故. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 5．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 6．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 7．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除错误答案，进而得到结果，数形结合由斜率列式求解计算得到结果. 【详解】因为直线， 变形为，进而，解得， 所以直线恒过定点， 求线段的两个端点与定点的斜率：， 如图可知，当，即时，设直线的斜率为， 则或， 情况1：，即， 可得，解得或， 情况2：，即， 可得，解得； 当，即时，直线与线段有一个公共点.符合题意， 结合以上分析，解得或. 故选：B. 8．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 10．（25-26高二上·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 11．（2026高三·全国·专题练习）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中正确的是（    ） A．当时，存在一个点与直线系中所有直线的距离都相等 B．当时，直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限 C．当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为 D．当时，若，则点到直线系中所有直线的距离不小于1 【答案】ABD 【分析】利用点到直线的距离公式计算可判断A；直线过定点，结合直线的斜率存在和不存在两种情况分类讨论可判断B；当时，由点到直线的距离公式计算得，可判断C；由点到直线的距离公式结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A，当，时，直线系方程为，原点到直线的距离， 故存在一个点与直线系中所有直线的距离都相等，故A正确； 对于B，当时，直线系方程为，直线经过定点， 当，，时，直线方程化为，显然不过第三象限， 当或或时，直线，也不过第三象限，所以直线不过第三象限，故B正确； 对于C，当时，直线系为， 原点到直线系中所有直线的距离， 当时，则直线系为， 则原点到直线的距离，故C错误； 对于D，当，时，直线系为，设， 则点到直线系中所有直线的距离， 设，， 因为，则， 所以再上，恒成立，即， 所以，故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 12．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 13．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 14．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 四、解答题 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 或或或 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 17．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 18．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 19．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知三个顶点. (1)求边所在直线的方程. (2)若边上高所在的直线方程为，且的面积为4，求点的坐标. (3)若，四个点在直线的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，求出的斜率，代入的坐标，结合直线的点斜式即可求解； （2）因为点在直线上，则，再结合三角形的面积公式，得，联立方程即可求解； （3）根据题意，结合点到直线的距离特征，可得，代入方程得，即，即可求得其定点. 【详解】（1）由已知，，根据直线的两点式斜率得， 则根据直线的点斜式方程，得，即； （2）因为点在直线：上，所以①， 又，所以， 又边上的高为点到直线的距离， 则， 所以 由①代入，则，则或，即或. 得或，故点的坐标为或； （3）因为四点在直线的两侧， 根据距离公式的特征：直线同侧的点代入同号， 异侧的点代入符号相反， 由于两侧的点到直线的距离和相等，则四个点的坐标代入的和为0， 即， 则，即，代入方程得， 整理即：， 不同时为零，直线过定点，则与无关 故，即.则恒过定点. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $