第1章 直线与方程综合测试-2025年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第1章 直线与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 2．经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可知，解得，故A正确. 故选：A. 3．如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 4．经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故B正确. 故选：B 5．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 6．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】B 【解析】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确. 故选：B. 7．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的顶点，， 所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：A. 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【解析】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以， ②当时，直线的斜率为，直线0的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 因为，故的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【答案】ABD 【解析】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确. 故选：ABD 10．以下四个命题表述正确的是（   ） A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线与互相垂直，则 D．若直线与平行，则与的距离为 【答案】AD 【解析】对于A：当时，直线的斜率不存在， 当时，由斜率，，故A正确； 对于B：由直线得， 令有解得，即定点为，故B错误； 对于C：直线与互相垂直， 则解得或，故C错误； 对于D：由有，所以与的距离为，故D正确； 故选：AD. 11．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 13．已知是分别经过的两条平行直线，当与之间的距离最大时，直线的方程是 . 【答案】 【解析】因为，，所以，所以两平行直线的斜率， 所以直线的方程是， 即. 故答案为：. 14．在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 【答案】 【解析】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为 (2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 【解析】（1）由直线的倾斜角为，得其斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设与直线平行的直线的方程为，而直线过点， 则，解得， 所以直线的方程为. （3）当直线过原点时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 16．（15分） 已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)设为的中点，求直线的方程； (2)求的面积． 【解析】（1）的中点的坐标为.  所以直线的斜率.               所以直线的方程为，即. （2）法一： 因为,所以直线的方程为，即.    所以点到直线的距离.    因为，                       所以.                 法二： 因为，，                所以. 所以.                                             因为， ，                     所以. 法三：由题意：. 17．（15分） 已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【解析】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 18．（17分） 已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 【解析】（1）因为，所以， 解得或. （2）因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. （3）由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 19．（17分） 某斜拉索拱形桥的主桥承重梁设计成左右对称的抛物线弧，跨度为200m，桥顶到的距离为20m. (1)以的中点为原点，分别以所在的直线为轴，建立直角坐标系，求曲线的方程； (2)已知为垂直于交于，，在弧上自左到右有点（点与点重合），在弧上自右到左有点（点与点重合），它们在轴上的射影分别将与十等分，在上自上到下有点.，且九等分，并分别将，用斜拉索连结，类似地在上也用斜拉索连结弧与弧上的点（见图）求斜拉索与的长（精确到0.1m） 【解析】（1）由题意可得，，， 可设抛物线方程为（）， 将代入上式可得，解得， 所以曲线的方程为（）. （2）由，且在上，，则的横坐标为， 由，则，易知，， 所以； 易知的横坐标为， 将代入，解得，则， 所以， 则， 可得， 由题意可知点的横坐标为， 将代入，解得，则， 由题意可得点的横坐标为， 将代入，解得，则， 所以， ， 则. 因此可得，斜拉索的长约为164.5m，斜拉索的长约为96.8m. 第2页，共12页 第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 2．经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 3．如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 7．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 10．以下四个命题表述正确的是（   ） A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线与互相垂直，则 D．若直线与平行，则与的距离为 11．已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 13．已知是分别经过的两条平行直线，当与之间的距离最大时，直线的方程是 . 14．在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为 (2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 16．（15分） 已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)设为的中点，求直线的方程； (2)求的面积． 17．（15分） 已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 18．（17分） 已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 19．（17分） 某斜拉索拱形桥的主桥承重梁设计成左右对称的抛物线弧，跨度为200m，桥顶到的距离为20m. (1)以的中点为原点，分别以所在的直线为轴，建立直角坐标系，求曲线的方程； (2)已知为垂直于交于，，在弧上自左到右有点（点与点重合），在弧上自右到左有点（点与点重合），它们在轴上的射影分别将与十等分，在上自上到下有点.，且九等分，并分别将，用斜拉索连结，类似地在上也用斜拉索连结弧与弧上的点（见图）求斜拉索与的长（精确到0.1m） 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$