第2章 圆与方程（暑假单元自测）新高二数学苏教版

**基本信息** 苏教版高中数学“圆与方程”单元卷，含单选8题（40分）、多选3题（18分）、填空3题（18分）、解答5题（74分），适配暑假复习，通过真题情境与梯度设计，检测逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆心距、圆的方程、充要条件|结合忻州模拟等真题，基础巩固| |多选|3/18|圆与圆位置关系、矩形轨迹|全国卷真题改编，考查综合判断| |填空|3/18|切线条件、阿波罗尼斯圆|上海期中题等，渗透数学文化| |解答|5/74|弦长、轨迹方程、新定义“共生点”|含探究性问题，如第19题创新应用，发展创新意识|

第2章 圆与方程 单元自测卷 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山东青岛·三模）已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 10．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，，，过，分别作直线，，使得，过，分别作直线，，使得，若四条直线，，，围成矩形，则该矩形（    ） A．面积有最大值 B．周长有最大值 C．外接圆面积是定值 D．中心在定圆上 11．（2026·安徽·模拟预测）已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B．圆O与圆的公共弦长为 C．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 12．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 14．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 16．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 19．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 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因为是的真子集，故“”是“与圆相切”的充分不必要条件. 6．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 7．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到直线过定点 , 过定点，点P的轨迹是以AB为直径的圆，然后判断两个圆的位置关系为外离，进而分析得到的取值范围. 【详解】直线过定点 ，过定点； 由于 与 的斜率乘积为（ 时也垂直），故 ； 因此，交点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为半径为 ； 圆圆心为 半径为 ； 圆心距为 ，故两圆外离； ，， 则的取值范围是. 故选：A. 8．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定两圆相外切，再转化为圆上点到直线的距离问题. 【详解】由题意知，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由圆与圆有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，即， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又，所以表示点到直线的距离的5倍， 由圆心到直线的距离为， 又直线与相交， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为0，最大值为， 所以的取值范围为， 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 10．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，，，过，分别作直线，，使得，过，分别作直线，，使得，若四条直线，，，围成矩形，则该矩形（    ） A．面积有最大值 B．周长有最大值 C．外接圆面积是定值 D．中心在定圆上 【答案】ACD 【分析】利用点斜式得到四条直线，，，的方程，利用平行线间的距离公式得到与的距离为，与的距离为，再根据选项依次分析即可. 【详解】设直线的斜率为，因直线，，，围成矩形，则的斜率为， 于是直线方程依次为：，，，， 则与的距离为，与的距离为. 对于A项，矩形的面积为，显然,则， 因，当且仅当,即 时取等，此时，故A正确； 对于B项，矩形的周长为， 令，则，即， 所以，当且仅当 ，即 时取等，周长有最大值，故B错误； 对于C项，矩形的外接圆直径为矩形的对角线，长度为， 则外接圆的半径为，故其面积是定值，故C正确； 对于D项，设矩形的中心为 联立直线方程得到的交点为 同理可得的交点为 所以矩形的中心为的中点，则，    由，得到① 由得到② 由①②得到，代入①得到， 化简得到，所以矩形的中心在以圆心为 、半径为的定圆上，故D 正确. 11．（2026·安徽·模拟预测）已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B．圆O与圆的公共弦长为 C．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由两点间距离公式求解即可； 对于B，先求公共弦方程，再勾股定理求弦长；对于C，先求直线的方程，再求最大值，再结合二倍角公式求解；对于D，先求以为直径的圆的方程，再求直线的方程，进而表示点到直线的距离，再求最大值. 【详解】对于A，设，则， ，A正确； 对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为， 点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误； 对于C，直线的方程为，连接，则，， 在中，， 当时，，从而取最大值， 因为是锐角，所以最大时最大，又最大时，，所以， 此时最大，最大值为，C正确； 对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦， 而为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即， 与圆O相减得直线的方程为， 将代入得，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 12．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】过点作圆的切线有两条， 则点在圆外， 所以，解得， 因为，所以. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值． 【详解】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 14．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】先求圆关于直线对称圆：，则对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得，进而只需求的最大值，结合图形判断可得. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心关于直线对称点为，半径， 故圆：与圆：关于直线的对称. 对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得. 因此只需求的最大值. 因为，则圆和圆外切， ， 当且仅当三点共线时等号成立. 因为当，，时等号成立， 所以所求最大值为.    四、解答题 15．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线的方程为或 （2）方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 16．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【详解】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 18．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求直线斜率，进而可得切线方程. （2）①设点，，利用表示，再根据点在圆上可得的关系，即为点的轨迹方程. ②先根据的面积取得最大值确定圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式列式，可求直线斜率的值. 【详解】（1）由圆，可得圆心，半径为， 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，符合题意； 若直线的斜率存在，设切线方程为，则， 故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或． （2）①设点，， 由点是的中点和点， 得，所以， 因为在圆上运动，所以， 联立得， 化简得点的轨迹方程是； ②由题可知为的轨迹的圆心，设圆心到直线距离为， ，则， 当即时，的面积最大， 若直线的斜率不存在，则其方程为，此时点到直线的距离，因，故不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，解得． 19．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 【分析】（1）根据“伴随点”的定义得出点满足的方程即可求出点所在曲线的方程； （2）（i）由“共生点”定义可求直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，可得其方程； （ii）易知圆H的方程为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和圆的方程利用韦达定理得出的表达式，由其为定值解得的值可得结论. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）略 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $