第2章 圆与方程综合测试-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第2章 圆与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 3．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．7 5．已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 6．直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是 （    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 8．已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 10．已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（    ） A．2 B． C． D．3 11．已知过原点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（      ） A．若直线的方程为，且，则 B．若M，N为圆上的任意两点，当时，的最大值为 C．若原点在圆外，则 D．当时，AB中点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ． 13．已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 14．已知线段的长度为3，动点满足，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 16．（15分） 已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程； (2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 17．（15分） 在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 19．（17分） 已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 第4页，共12页 第3页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 2．直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 由直线与圆相交，得，即，得， 结合选项可知：直线与圆相交的充分不必要条件可以是. 故选：C. 3．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 4．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．7 【答案】C 【解析】的圆心为， 故在直线上，故，解得， 故选：C 5．已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 【答案】D 【解析】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，故A正确： 对于B，，又， 即定点在圆C内，则直线与圆C相交，有两个交点，故B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线l的距离为， 而圆C半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确： 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 因此它们有两条公切线，故D错误. 故选：D 6．直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 7．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是 （    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 8．已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】 如图， 当的最大值为时，， 当时，最小时，最大. 由题得， 所以，则； 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】BD 【解析】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD 10．已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AB 【解析】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为，即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：AB 11．已知过原点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（      ） A．若直线的方程为，且，则 B．若M，N为圆上的任意两点，当时，的最大值为 C．若原点在圆外，则 D．当时，AB中点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】由，即圆心，半径为2， 对于A，因为，所以在直线上，即，所以，正确； 对于B，由，所以，即在圆外， 所以与圆相切时最大，且， 此时，故的最大值为，错误； 对于C，根据切割线定理得（点为切点）， 又，所以，正确； 对于，由题设，且中点在以OC为直径的圆上，圆心为，半径为， 所以其轨迹方程为，且轨迹在圆的内部， 联立，可得相交弦所在直线为， 显然在直线上，故AB中点的轨迹是以为半径的半圆， 所以轨迹长度为，正确， 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ． 【答案】 【解析】因为，所以线段的中点坐标为，， 所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是． 故答案为：． 13．已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 【答案】 【解析】设动点，则有， 由， 由于为常数,所以， 解得或，因为，所以， 故答案为：. 14．已知线段的长度为3，动点满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，则， 故，即， 故的轨迹为圆，且圆心为，半径为， 当与圆相切时，最大且此时， 而为锐角，故最大为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【解析】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 16．（15分） 已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程； (2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 【解析】（1）由题意，圆心为，过点， 则半径， 所以圆C的标准方程为； （2）设，则由题意可得， 化简可得 17．（15分） 在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【解析】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 【解析】（1）依题意，当时，圆过点，当时，圆过点， 设圆的一般式方程为， 则，解得，因此， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径为， 由为正三角形，得，解得， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. （3）圆心到直线的距离，设， ，则， ， 设，则，， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为. 19．（17分） 已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆； （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点； （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又， 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. 第2页，共12页 第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$