第05讲 有理数的乘方（2知识点+4题型+达标检测）-2025年小升初数学无忧衔接（沪教版五四制2024）

第05讲 有理数的乘方 1.准确理解有理数幂的概念，清晰区分底数、指数和幂 ，能正确阐述其数学意义。 2.熟练掌握有理数的乘方运算规则，包括正数、负数、零的乘方运算方法。 3.理解乘方运算的符号规律，能快速判断不同正负性底数、不同奇偶性指数的乘方结果符号。 知识点一 有理数乘方的意义 1.乘方的定义 求个相同因数的积的运算,叫做乘方. 一般地，，记作，读作“的次方”． 当 看作的次方的结果时,也可读作“的次幂” 2.乘方的意义 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数,是指因数的个数. (1) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如就是,就是,指数1通常省略不写,指数是2时读作平方,指数是3时读作立方. (2) 乘方与幂不同,乘方是一种运算,幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 注意：底数是负数或分数时要加括号 知识点二 有理数乘方运算的符号规律 (1)正数的任何次幂都是正数 (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数 (3)0的任何正整数次幂都是0 在进行乘方运算时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成,先确定幂的符号,再计算幂的绝对值 归纳 (1) 任何数的偶次幂都是非负数，即. (2) 1的任何次幂都是 1. (3) -1的偶次幂是1，即;-1的奇次幂是-1,即. (4) (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若 a+b=0,则; (5) (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0,则 题型一、有理数幂的概念理解 例1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 1-1（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 1-2（24-25六年级上·上海崇明·期末）若4个相乘，写成乘方的形式是 ，计算结果为 ． 1-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示： ． 题型二、有理数的乘方运算 例2（24-25六年级上·上海·阶段练习）若互为相反数，为正整数，则（   ） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 2-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 2-2（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2-3（24-25六年级上·上海普陀·期末）乘法运算可以表示为（   ） A． B． C． D． 2-4（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 10．（24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 题型三、乘方的应用 例3 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 3-1一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 3-2（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一个正方体的棱长为，则它体积是 m3． 3-3 《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 3-4（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 题型四、乘方运算的符号规律 例4 任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 4-1 观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 4-2 已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 4-2 -5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 4-3 判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． A组 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则对、、、排列正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．相反数等于本身的数只有 B．平方后等于本身的数只有， C．立方后等于本身的数是， D．绝对值等于本身的数只有， 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 6．（24-25六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 7．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． B组 1. 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 2. （1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方 1.准确理解有理数幂的概念，清晰区分底数、指数和幂 ，能正确阐述其数学意义。 2.熟练掌握有理数的乘方运算规则，包括正数、负数、零的乘方运算方法。 3.理解乘方运算的符号规律，能快速判断不同正负性底数、不同奇偶性指数的乘方结果符号。 知识点一 有理数乘方的意义 1.乘方的定义 求个相同因数的积的运算,叫做乘方. 一般地，，记作，读作“的次方”． 当 看作的次方的结果时,也可读作“的次幂” 2.乘方的意义 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数,是指因数的个数. (1) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如就是,就是,指数1通常省略不写,指数是2时读作平方,指数是3时读作立方. (2) 乘方与幂不同,乘方是一种运算,幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 注意：底数是负数或分数时要加括号 知识点二 有理数乘方运算的符号规律 (1)正数的任何次幂都是正数 (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数 (3)0的任何正整数次幂都是0 在进行乘方运算时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成,先确定幂的符号,再计算幂的绝对值 归纳 (1) 任何数的偶次幂都是非负数，即. (2) 1的任何次幂都是 1. (3) -1的偶次幂是1，即;-1的奇次幂是-1,即. (4) (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若 a+b=0,则; (5) (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0,则 题型一、有理数幂的概念理解 例1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的分类及相关的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、一个有理数，除了0外，不是正数就是负数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、不是任何有理数都有倒数，0是有理数，0就没有倒数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、任何有理数的平方都是正数或零，原说法错误，故此选项不符合题意； D、正数的相反数一定小于它本身，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 1-1（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】B 【分析】本题考查倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方，掌握倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方的意义是正确判断的前提．根据倒数、相反数、偶次幂的意义进行判断即可． 【详解】解：A．没有倒数，但0的相反数是0，因此选项A不正确； B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数，因此选项B正确； C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数可能是正数，有可能是负数，因此选项C不正确； D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是0或，因此选项D不正确； 故选：B． 1-2（24-25六年级上·上海崇明·期末）若4个相乘，写成乘方的形式是 ，计算结果为 ． 【答案】 【分析】此题可根据有理数的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方定义和运算法则直接解答即可． 【详解】解： 故答案为：，． 1-3（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示： ． 【答案】 【分析】此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．运用乘方的定义进行求解． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 题型二、有理数的乘方运算 例2（24-25六年级上·上海·阶段练习）若互为相反数，为正整数，则（   ） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，，为正整数， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、a，b互为相反数， 当n为奇数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； C、a，b互为相反数， 当n为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、a，b互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 2-1（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和绝对值，根据偶次方的非负性和绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：B． 2-2（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方．根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答． 【详解】解：A、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； B、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； C、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； D、和，和的数值相等，本选项符合题意． 故选：D． 2-3（24-25六年级上·上海普陀·期末）乘法运算可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先根据乘方的意义整理原式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D 2-4（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 【答案】相反数为，相反数为，的相反数为，数轴见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，相反数定义，用数轴上的点表示相反数，先求出各个数，然后写出相反数，再把各个数表示在数轴上即可． 【详解】解：，相反数为， ，相反数为， 的相反数为， 把各个数表示在数轴上，如图所示： 题型三、乘方的应用 例3 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 3-1一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：. 故选：B． 3-2（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一个正方体的棱长为，则它体积是 m3． 【答案】/0.125 【分析】本题考查幂的乘法与积的乘方、认识立体图形，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据正方体的面积公式进行解题即可． 【详解】解：由题可知， （m3）， 故答案为：． 3-3 《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米 …… ∴第五天截取后剩：米． 故答案为：2． 3-4（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 题型四、乘方运算的符号规律 例4 任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 4-1 观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 4-2 已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【详解】解：当n为奇数时： 1n+(−1)n+1=1+1=2； 当n为偶数时： 1n+(−1)n+1=1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 4-2 -5.24中底数是 ，乘方结果的符号为 ． 【答案】 5.2 负号 【分析】利用乘方的意义判断即可得到结果． 【详解】解：-5.24中底数是5.2，乘方结果的符号为负号， 故答案为：5.2，负号． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 4-3 判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． A组 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，利用有理数的乘方的运算法则是解题的关键．将写成的形式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若，则对、、、排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义、有理数的乘方运算、有理数的大小比较等知识点，熟练掌握特殊值法是解答本题的关键． 令，然后计算后比较大小即可． 【详解】解：令，则，，， ∵， ∴． 故选B． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．相反数等于本身的数只有 B．平方后等于本身的数只有， C．立方后等于本身的数是， D．绝对值等于本身的数只有， 【答案】D 【分析】本题考查相反数，有理数的乘方运算和绝对值的意义；根据相反数的定义：两数之和为0，两数互为相反数，有理数的乘方运算，以及绝对值的意义逐一进行判断即可． 【详解】解：A．相反数等于本身的数只有0，选项正确，不符合题意； B．平方后等于本身的数只有0、1，选项正确，不符合题意； C．立方后等于本身的数是，，选项正确，不符合题意； D．绝对值等于本身的数是非负数，选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、有理数的乘方，根据的符号情况，找出反例，逐项判断即可． 【详解】解：当互为相反数时，，但， 故（1）错误； 若，则，故（2）正确； 当a为负数时，若，则， 故（3）错误； 当a为负数，若，则， 故（4）错误； 综上可知，正确的个数有1个， 故选B． 5．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，绝对值的非负性，有理数乘法计算，根据绝对值的非负性可推出或，再分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， 又∵， ∴或， 当时，则或， ∴此时有4对整数对满足题意； 当时，则，且， ∴， ∴此时有2对整数对满足题意； 综上所述，一共有6对整数对满足题意， 故答案为：6． 6．（24-25六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，有理数比较大小，先根据有理数的乘方计算，进而比较得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查有理数的乘方，先计算出x和y的值，再进行乘方运算． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， 故答案为：8或． B组 1. 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) (3)42天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）将八进制数“4372”转化为十进制数； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 2. （1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 【答案】（1）  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查数字规律问题，观察发现上述运算的结果和加数首尾两个数的和的一半的平方有关是解题的关键． （1）直接运算即可解题； （2）根据（1）得计算结果得到结论即可； （3）运用结论计算解题． 【详解】解：（1）； ； ； ； 故答案为：； （2）规律：上述运算和结果，规律是首，尾两个加数和的一半的平方； （3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$