精品解析：陕西省西安市雁塔区西安交通大学附属中学2025-2026学年下学期期末考试八年级数学试题

2025~2026学年第二学期 期末考试初二年级数学试题 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共2页，总分120分．考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线垂直的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 7. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 10. 如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边上，且为边的中点，连接交于点．若，则的长为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 如图，在中，，，平分交于点，则的周长为______． 13. 如图，四边形在平面直角坐标系中，轴，点，在轴上，且为中点，与轴交于点，将四边形平移至四边形，若，，则图中阴影部分的面积为________． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15. 某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 ___折． 16. 如图，已知，且B、C、D在一条直线上，，设，直线上方有一点F满足且，连接．当______时，取得最大值．（注：点A、E、F均在直线上方） 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式，并把它的解表示在数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知：如图△ABC．求作菱形ADEF，使得点D、E、F分别在边AB、BC、AC上（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，在中，，平分，于点C，且，．求证：． 22. 西安某冷饮店为了对比两款特色冰粉的受欢迎程度，购进了一批质量相等的“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”供顾客品尝．已知购买“玫瑰冰粉”原料用了2700元，购买“桂花冰粉”原料用了1800元，且每千克“玫瑰冰粉”原料比“桂花冰粉”原料贵15元． （1）每千克“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料的进价各是多少元？ （2）若该冷饮店决定再次采购“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料共60千克，且总预算不超过2520元，同时“玫瑰冰粉”原料的进货量不低于“桂花冰粉”的2倍．若每千克“玫瑰冰粉”原料制作的产品售完后可获利润60元，每千克“桂花冰粉”原料制作的产品售完后可获利润40元，则该冷饮店应如何进货，才能使第二批冰粉售完后所获利润最大？ 23. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 24. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 （2）如图2，校园劳动实践园里有一块菱形的草莓种植区，其中，E是对角线上的一个浇水点，现在要在的延长线上设一个肥料投放点F，使得，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形的香草种植区，其边长，点E在边上，点F在对角线上，且，要沿铺设两条滴灌带．为了节省管材，要使滴灌带总长度最短，求的最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期 期末考试初二年级数学试题 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共2页，总分120分．考试时间100分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，根据“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式”，逐一判断即可． 【详解】解：A、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 5. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 6. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线垂直的平行四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的判定判断A， 由菱形的判定方法判断B， 由矩形的判定方法判断C， 由平行四边形的判定方法判断D． 【详解】解：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以A错误， 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以B正确， 有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C正确， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以D正确． 故选A． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判断方法，掌握它们的判定方法是解题的关键． 7. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形内角和，三角形内角和，邻补角互补，结合题目所给条件求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 由题意得， ， ， ． 8. 如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据过点，即可求出，根据图象进而即可求解． 【详解】解：∵过点， ∴， 解得， ∴， 由图可得，当时，， 故选A． 9. 若关于x的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程分母为0的根． 【详解】解： 方程两边都乘得 当分母即时，方程有增根 把代入得 ． 故选：A． 10. 如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边上，且为边的中点，连接交于点．若，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形边长为2，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，利用三角形中位线求得的长，最后根据线段和可得的长． 【详解】解：等边三角形边长为2，， ∴，， 等边三角形中，， ， ， ， ， ，， 如图，连接，则中，， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， 中，，，， ∵EM=FM，DN=FN， ∴， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再对括号内的二次三项式运用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解： ． 12. 如图，在中，，，平分交于点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，利用平行线的性质和角平分线的定义证明，从而得出，求出的长，最后计算周长． 【详解】解：由知，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 13. 如图，四边形在平面直角坐标系中，轴，点，在轴上，且为中点，与轴交于点，将四边形平移至四边形，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图象，数形结合是解题的关键；根据平移的性质可得四边形的面积等于四边形的面积，阴影部分面积加上四边形的面积等于四边形的面积，可得阴影部分的面积等于的面积，结合坐标系，根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：四边形平移至四边形 四边形的面积等于四边形的面积， ， ， ，， ， ∴，， ∵为中点， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 15. 某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 ___折． 【答案】八 【解析】 【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝标价×折扣率﹣进价，结合要保证利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出该商品至多可打八折． 【详解】解：设该商品打x折销售， 依题意得：1500×﹣1000≥1000×20%， 解得：x≥8， ∴该商品至多可打八折． 故答案为：八． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，列出不等式是解题的关键． 16. 如图，已知，且B、C、D在一条直线上，，设，直线上方有一点F满足且，连接．当______时，取得最大值．（注：点A、E、F均在直线上方） 【答案】22.5 【解析】 【分析】首先得到，如图，将沿翻折得到，将绕点C顺时针旋转得到，使点B和点F重合，求出，利用勾股定理得到，由，得到当点F，，，E四点共线时，取得最大值，如图，然后得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图，将沿翻折得到，将绕点C顺时针旋转得到，使点B和点F重合， ∵，，， ∴，， 由翻折得，，，， 由旋转得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点F，，，E四点共线时，取得最大值，如图， ∴此时 ∴ ∴． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式，并把它的解表示在数轴上． 【答案】，把它的解表示在数轴上见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识，首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后将该不等式的解表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 将该不等式的解表示在数轴上，如下图所示： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的式子，对分子分母因式分解后将除法转化为乘法约分，再代入的值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2），； 【解析】 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，当时，， 分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， ， 则，， 解得：，． 20. 已知：如图△ABC．求作菱形ADEF，使得点D、E、F分别在边AB、BC、AC上（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用菱形的判定，先作∠BAC的平分线AE，再作AE的垂值平分线分别交AB、AC于D、F，然后可判断AD=ED=FD=AF，从而得到四边形ADEF为菱形． 【详解】解：如图，四边形ADEF为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的性质． 21. 如图，在中，，平分，于点C，且，．求证：． 【答案】证明：平分， ，即， ， ， ， 和为直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．首先根据等腰三角形“三线合一”的性质得出直角，进而证明与是直角三角形，再根据证明即可． 【详解】解：略． 22. 西安某冷饮店为了对比两款特色冰粉的受欢迎程度，购进了一批质量相等的“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”供顾客品尝．已知购买“玫瑰冰粉”原料用了2700元，购买“桂花冰粉”原料用了1800元，且每千克“玫瑰冰粉”原料比“桂花冰粉”原料贵15元． （1）每千克“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料的进价各是多少元？ （2）若该冷饮店决定再次采购“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料共60千克，且总预算不超过2520元，同时“玫瑰冰粉”原料的进货量不低于“桂花冰粉”的2倍．若每千克“玫瑰冰粉”原料制作的产品售完后可获利润60元，每千克“桂花冰粉”原料制作的产品售完后可获利润40元，则该冷饮店应如何进货，才能使第二批冰粉售完后所获利润最大？ 【答案】（1）每千克“玫瑰冰粉”原料进价是元，每千克“桂花冰粉”原料进价是元； （2）当购进“玫瑰冰粉”千克，“桂花冰粉”千克时，售完后所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每千克“玫瑰冰粉”原料进价是元，则每千克“桂花冰粉”原料进价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进“玫瑰冰粉”千克，列不等式组求出的取值范围，设售完后所获利润为，得到关于的一次函数，再结合一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克“玫瑰冰粉”原料进价是元，则每千克“桂花冰粉”原料进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，当时，， ∴是分式方程的解， 则， 答：每千克“玫瑰冰粉”原料进价是元，每千克“桂花冰粉”原料进价是元； 【小问2详解】 解：设购进“玫瑰冰粉”千克，则购进“桂花冰粉”千克， 由题意得：， 解得：， 设售完后所获利润为， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为，此时， 即当购进“玫瑰冰粉”千克，“桂花冰粉”千克时，售完后所获利润最大，最大利润是元． 23. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 【答案】（1）详见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质、菱形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，由E是边的中点可得，根据三角形中位线定理得到，即，进而推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，，，由勾股定理求出，根据三角形面积公式得到，根据矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，， 四边形是平行四边形， ， E是边的中点， ， 是的中位线， ，即， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 四边形是菱形，，， ， ，，， ， E是边的中点， ， ， ， ， 矩形的面积． 24. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知______；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 （2）如图2，校园劳动实践园里有一块菱形的草莓种植区，其中，E是对角线上的一个浇水点，现在要在的延长线上设一个肥料投放点F，使得，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形的香草种植区，其边长，点E在边上，点F在对角线上，且，要沿铺设两条滴灌带．为了节省管材，要使滴灌带总长度最短，求的最小值是多少？ 【答案】（1） （2）证明：如图，作交于点， 在菱形中，，， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的基本性质：“三角形任意两边之和大于第三边”，即可求解； （2）作交于点，先利用菱形性质以及平行线的性质推导出是等边三角形，再根据全等三角形的判定定理得到，即可得证； （3）过点作，且，连接，先根据全等三角形的判定定理推导出，得到，再根据两点之间线段最短，当点三点共线时，有最小值，过点作交的延长线于，于，利用勾股定理得到的长，即为所求． 【小问1详解】 根据三角形三边关系可知，在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作，且，连接， ， ， ， ， ， ， ， 当点三点共线时，有最小值，其值为的长． 过点作交的延长线于，于， 在正方形中，， ， 在中，， ， ， 在正方形中，， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， 则 的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $