精品解析：广东深圳市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试题

深圳市2025-2026学年第二学期期末调研考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二项式的展开式中的第3项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设随机变量，则条件概率的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个条件中，（ ）是“”的充分不必要条件？ A. B. C. D. 10. 已知函数，则方程的实数根个数可能为（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 9 11. 已知数列满足，且对任意正整数，以的概率取，以的概率取，各次选择相互独立．记为使得的最小下标（），则（ ） A. B. ， C. 当为奇数时， D. 对于任意正整数， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则__________． 13. 甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种． 14. 已知导函数为，且对于任意实数，，有，若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 深圳某游乐场开业后，连续统计4天的游玩人数（单位：百人）如下： 日期 5月10日 5月11日 5月12日 5月13日 第天 1 2 3 4 游玩人数 2.0 2.6 3.4 4.0 （1）建立关于的回归直线方程，并预测5月20日来游乐场游玩的人数； （2）为进一步了解游玩时间是否跟性别有关，从游乐场随机抽取100人进行调查，如下表： 性别 游玩时间 合计 男 10 30 40 女 25 35 60 合计 35 65 100 根据小概率值的独立性检验，能否认为游玩时间与性别有关联． 附：， ， 16. 已知函数在处取得极小值． （1）求； （2）若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 17. 已知，，． （1）当时，讨论的最值； （2）设，若在有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 18. 某同学连续投篮次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立． （1）当，时，求该同学恰投中2次的概率； （2）已知． （ⅰ）若累计投中3次后停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求的最大值； （ⅱ）若投中1次或者10次均未投中时，停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市2025-2026学年第二学期期末调研考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二项式的展开式中的第3项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】二项式的展开式中的第3项为. 2. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判定、、与、的大小关系，即可比较三者大小. 【详解】，，， 故. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得或，即. 由，解得，即. 所以，即. 4. 若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 5. 设随机变量，则条件概率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布和条件概率计算即可. 【详解】因为随机变量，所以， ， 故. 6. 已知，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 7. 有两组数据，，…与，，…，满足，其中，．记与另一组样本数据，，…的样本相关系数为，与同一组数据的样本相关系数为（样本相关系数的公式为：），则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用样本相关系数的定义公式，结合与的线性变换关系，化简的表达式后与对比即可得结论． 【详解】， 由， ， 即． 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由是定义在上的奇函数，可得,,结合已知条件可得是周期为4的周期函数，进而可以求出的函数表达式为，从而可以对A、B、C、D四个选项作出判断. 【详解】由是定义在上的奇函数，则,, 又，则函数关于直线对称， 用替换得，， 再用替换得，，所以是周期为4的周期函数， 选项A，由上可知，，所以选项A错误； 选项B，由，，则在上的单调性与区间上的单调性一致， 因为函数在上单调递增，又关于直线对称，所以关于对称的区间上，单调性相反， 所以在区间上单调递减，即在上单调递减，选项B正确； 选项C，对整数，由周期性可得的取值： ，后续周期重复， 则，即一个周期的和为0， 又，所以，， 因此，选项C错误； 选项D，由，所以， 由周期为4，则， 因为，代入得，选项D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个条件中，（ ）是“”的充分不必要条件？ A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分与必要条件概念，结合函数单调性，不等式的性质即可得解． 【详解】对于A，或，则“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B，，则“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，，反之，则不成立；例如取，则，即“”推不出“”．所以“”是“”的充分不必要条件．故C正确； 对于D，，但，所以“”推不出“”，“”不是“”的充分条件，故D错误. 10. 已知函数，则方程的实数根个数可能为（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】ABD 【解析】 【详解】令，则. 因为，，当或时，单调递增；当时，单调递减，且，，且的值域为R，图像如图： 故当或时均有一个根，当时单调递增且值域为；当时单调递增且值域为； 当时有两个根，分别为和，此时； 当时有两个根，分别为和，此时； 当时有3个根，且单调递减且值域为； 故当或时均有一个根，即方程有一个实数根，故A正确； 当时有两个根，分别为和，此时方程有5个实数根，故B正确； 当时有两个根，分别为和，此时方程也有5个实数根； 故当时均有3个根，分别为，，，此时方程有9个实数根，故D正确. 11. 已知数列满足，且对任意正整数，以的概率取，以的概率取，各次选择相互独立．记为使得的最小下标（），则（ ） A. B. ， C. 当为奇数时， D. 对于任意正整数， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先明确的定义及取值要求，再依据独立事件概率乘法原理和古典概型公式计算. 【详解】在A选项中，表示：前时，且，， 若则，因此必须，概率， 若，只能是或，均不等于1， 又因为，所以只能走的路径为， 概率为，总概率，A错误， 在B选项中，设第次移动为，各以概率取， 则​，且独立， ，所以， ，故，B正确， 在C选项中，为奇数时，表示：次移动中，次， ​次，总增量为0， 符合条件的路径数为， 每条路径概率为，故：，C正确， 在D选项中，表示前步中从未等于1， 即所有，根据反射原理，符合条件的路径总数为， 总路径数为，故：代入验证均成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】若，则，得； 若，则，则（舍）， 综上， 13. 甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种． 【答案】10 【解析】 【详解】由题意可知，甲选的数字为5或6， 若甲选的数字是5，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数一个是奇数一个是偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法； 若甲选的数是6，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数同为奇数或者同为偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法； 故满足条件的取法有种. 14. 已知导函数为，且对于任意实数，，有，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助赋值法令，可得，由求导公式可得，代入已知条件求解即可得. 【详解】令，则，故， 当为常数时，有，即， 令、，则，即，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 深圳某游乐场开业后，连续统计4天的游玩人数（单位：百人）如下： 日期 5月10日 5月11日 5月12日 5月13日 第天 1 2 3 4 游玩人数 2.0 2.6 3.4 4.0 （1）建立关于的回归直线方程，并预测5月20日来游乐场游玩的人数； （2）为进一步了解游玩时间是否跟性别有关，从游乐场随机抽取100人进行调查，如下表： 性别 游玩时间 合计 男 10 30 40 女 25 35 60 合计 35 65 100 根据小概率值的独立性检验，能否认为游玩时间与性别有关联． 附：， ， 【答案】（1）回归直线方程为，预测5月20日游玩人数为878人（或8.78百人）； （2）依据小概率值的独立性检验，不能认为游玩时间与性别有关联 【解析】 【分析】（1）先计算样本均值，代入回归系数公式求得得到回归方程，再代入5月20日对应的值完成预测； （2）代入列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，得出独立性检验结论. 【小问1详解】 由题意得 即回归直线方程为；  5月10日对应， 故5月20日对应，代入得（百人）， 即游玩人数为878人. 【小问2详解】 设零假设游玩时间与性别无关联； 由列联表得 ； 已知对应的临界值为，由于，没有充分证据推翻， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为游玩时间与性别有关联. 16. 已知函数在处取得极小值． （1）求； （2）若关于的不等式在恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先对三次函数求导，利用极值点处导数为列方程解出的两个候选值，再分别代入导数分析左右单调性，检验是否为极小值点，舍去不符合条件的得到结果； （2）将代入函数，利用区间内分离参数，构造关于的二次函数，通过换元确定新变量取值区间，求出函数在区间上的最大值，由恒成立条件得到的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为，则， 由函数在处取得极小值，得，解得，， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意， 若，则，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，； 【小问2详解】 由（1）得，， 不等式在恒成立， 即不等式在恒成立， 令，， 由，得，则，故， 所以时，取最大值， 所以，即的取值范围是． 17. 已知，，． （1）当时，讨论的最值； （2）设，若在有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）当时，在上无最值； 当时，在上的最小值为，无最大值. （2）（ⅰ）； （ⅱ）方法一：因为在上有唯一零点，在上单调递增， 故当时，，即；时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点.     由上分析，，又，故； 方法二：因为是在上的唯一零点，所以， 则， 令，则（），所以在上递减， 所以，即，所以. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导后讨论导数的正负即可； （2）（ⅰ）将问题转化为导函数的变号零点，结合零点存在定理即可求解； （ⅱ）方法一：由（ⅰ）可知是的极小值点，则，结合即可证明；方法二：由（ⅰ）可知，然后构造函数，结合函数的单调性可证得结论. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 当时，，，     当时，，则在上单调递减，  无最值；  当时，由，解得；由，解得． 即在上单调递增，上单调递减， 则的最小值为，无最大值. 综上所述，当时，在上无最值； 当时，的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点． 令，即在上有变号零点． 当时，显然在区间上恒成立，无变号零点，不满足题意；     当时，在区间上恒成立， 所以在上单调递增.     令，解得， 则的取值范围为. （ⅱ）略 18. 某同学连续投篮次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立． （1）当，时，求该同学恰投中2次的概率； （2）已知． （ⅰ）若累计投中3次后停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求的最大值； （ⅱ）若投中1次或者10次均未投中时，停止投篮，设随机变量为停止投篮时投篮的总次数，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式，直接代入相应的参数计算. （2）（ⅰ）先根据题意得出的表达式，再通过分析其性质求出最大值. （ⅱ）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据数学期望的公式计算. 【小问1详解】 由题意可得，时该同学恰投中次的试验是4次独立重复试验，服从二项分布， 所以恰投中2次的概率为：. 【小问2详解】 （ⅰ）若（停止投篮时总次数为），说明第次必命中，前次恰好命中2次， ，因此：， 设，比较相邻项大小得：，​ 当时，，数列递增， 当时，，， 当时，，数列递减， 因此​的最大值为，即的最大值为. （ⅱ）由题意可得：的可能取值为， 对：表示前次都未命中，第次命中， 故， 表示前9次都未命中，无论第10次是否命中都停止， 故，所以期望， 设，则：， ，两式相减可得： ，利用等比数列求和可得： ， 化简可得：，又因为， 因此： . 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】（1）不是； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【小问1详解】 （1），，则不是中的元素. 【小问2详解】 法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 【小问3详解】 对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $