专题02三角形的内角与外角-2026年人教版数学七升八暑假预习讲义

专题02三角形的内角与外角 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 内角板块：三角形内角定义 → 三角形内角和定理 → 直角三角形锐角互余及逆定理→三角形内角特征规律 外角板块：三角形外角定义 → 外角与相邻内角关系 → 外角两大性质 → 三角形外角和定理 应用板块：利用内外角定理，进行三角形角度计算、角度大小比较、简单几何推理证明 ✅本节课在三角形基本概念、三角形三线基础上，重点学习三角形内角和、外角性质两大核心定理。整体知识结构清晰、层层对应：从内角定理到内角推论，再到外角定义、外角性质、外角和定理，最终用于三角形角度计算与简单推理，是初中几何入门推理的核心基础。 ✺学习目标： 知识要求：掌握三角形内角、外角的定义，能准确识别三角形内外角； 理解并熟记三角形内角和定理，能运用定理进行三角形内角计算； 掌握直角三角形两锐角互余性质及其逆判定定理； 掌握三角形外角性质、外角和定理，理解外角与内角的数量、大小关系。 能力要求：能熟练运用内角和定理、外角性质，求解三角形未知角度； 初步掌握几何推理方法，能完成简单的角度推导与说理，会用方程思想解决三角形角度比例、倍分关系的计算题型。 素养要求：建立几何图形直观认知，明确三角形内外角的位置与数量关系 养成“有据有理”的几何解题习惯，规范几何语言与推理步骤。 ✺题型归纳： 题型1.三角形内角和定理的证明 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4.三角形折叠中的角度问题 题型5.三角形内角和定理的应用 题型6.直角三角形的两个锐角互余 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 题型8.三角形的外角的定义及性质 题型9.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：三角形的内角及内角和定理 1.内角定义：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。任意三角形有且仅有三个内角，内角均在三角形内部。 2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 几何表达：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 3.三角形内角和定理的证明方法 ★利用两直线平行，内错角相等将三角形的三个内角转化为一个平角，如下图 4.直角三角形的性质与判定 直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余。 如下图：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90° 直角三角形的表示方法：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 如下图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。 知识点二、三角形的外角 1.外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 ∠ACD是△ABC的一个外角. ∠ACD=∠A+∠B ▶实际上，三角形的一个外角，就是三角形一个内角的邻补角。 2.外角的性质 ◆三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； ◆三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； ◆三个外角的和为360° 知识点三、三角形外角与内角的关系 位置关系：相邻和不相邻； 数量关系：外角与相邻内角互补，外角大于不相邻的任何一个内角 ✺题型◆精讲 题型1.三角形内角和定理的证明 1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 2．如图，，则___________． 【答案】100°/100度 【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键． 3．数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，由平行线的性质可得，再根据，通过等量代换可得． 【详解】解：过点A作． ， （两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， ． 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 2．已知如图，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 是的平分线， ， 在中，． 2．如图．在中，平分，平分，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 题型4.三角形折叠中的角度问题 1．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 2．如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 3．如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 题型5.三角形内角和定理的应用 1．规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果是“倍角三角形”，且，那么的度数不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“倍角三角形”的定义，结合三角形内角和为，逐个验证选项即可得出答案． 【详解】解：已知，由三角形内角和得，逐个验证选项： A、若，则，，符合倍角三角形定义，因此A可能，排除； B、若，则，，符合倍角三角形定义，因此B可能，排除； C、若，则，验证倍角关系：，三角形中不存在；，三角形中不存在，没有满足条件的倍角关系，因此不可能； D、若，则，，符合倍角三角形定义，因此D可能，排除． 2．如图，若，则________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 3．如图，P为内一点，若，，且，求的度数 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，再求出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型6.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，，于点D，交于点E，则图中的直角共有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据得是直角三角形，再根据，得，即可得是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点D， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 综上，直角三角形有，一共5个． 2．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 3．在中，于D，，．求和的度数 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．由与，根据两锐角互余，即可求得的度数，又由，，求得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 1．若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 2．在中，，则___________，___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴是直角三角形． 故答案为：，，直角． 3．如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 题型8.三角形的外角的定义及性质 1．下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴． 2．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 2．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 二、填空题 5．在中，，，则___________，是___________三角形． 【答案】 等腰直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：，等腰直角． 6．在中，，直线与直线和直线分别相交于点和点，若，则_______． 【答案】或 【分析】先利用三角形内角和定理求出中的度数，再根据直线相交的位置分两种情况讨论与中的关系，结合内角和定理和外角的性质计算的度数． 【详解】在中，根据三角形内角和定理可得： 设， 在中，根据三角形内角和定理可得：， 分两种情况讨论： 情况1：如图所示， ∵ ∴在中，解得 情况2：如图所示， ∴，则解得． 7．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则________；若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 三、解答题 8．如图，已知，垂足是． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． (2)和有什么关系？和呢？ 【答案】(1)解：图中有三个直角三角形，分别是、、； 的直角边是、，斜边是； 的直角边是、，斜边是； 的直角边是、，斜边是． (2)与互为余角，． 【分析】（1）依据，即可得到直角三角形及其直角边和斜边． （2）依据余角的定义以及同角的余角相等，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 与互为余角， ，， ． 9．如图，将沿直线向右平移个单位到的位置． (1)若，，求的度数． (2)已知的面积为，．当扫过的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据平移的性质可得，，利用三角形内角和即可解答； （2）连接，过点作于点，求得，根据扫过的面积即为梯形的面积，列方程求得的值即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， 由平移的性质可得， 扫过的面积即为梯形的面积，      解得 则当扫过的面积为时，的值为． 10．如图，在中，，是的角平分线，为线段延长线上的一点，交的延长线于点． (1)若比小，求的度数； (2)试猜想，，的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)； (2)解：．理由如下： ∵，又是的角平分线， ∴， ∵，又， ∴， 即． 【分析】（1）设，则，利用三角形内角和定理求得，利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）同（1）的方法求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，且， ∴； （2）略 11．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 12．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形的内角与外角 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 内角板块：三角形内角定义 → 三角形内角和定理 → 直角三角形锐角互余及逆定理→三角形内角特征规律 外角板块：三角形外角定义 → 外角与相邻内角关系 → 外角两大性质 → 三角形外角和定理 应用板块：利用内外角定理，进行三角形角度计算、角度大小比较、简单几何推理证明 ✅本节课在三角形基本概念、三角形三线基础上，重点学习三角形内角和、外角性质两大核心定理。整体知识结构清晰、层层对应：从内角定理到内角推论，再到外角定义、外角性质、外角和定理，最终用于三角形角度计算与简单推理，是初中几何入门推理的核心基础。 ✺学习目标： 知识要求：掌握三角形内角、外角的定义，能准确识别三角形内外角； 理解并熟记三角形内角和定理，能运用定理进行三角形内角计算； 掌握直角三角形两锐角互余性质及其逆判定定理； 掌握三角形外角性质、外角和定理，理解外角与内角的数量、大小关系。 能力要求：能熟练运用内角和定理、外角性质，求解三角形未知角度； 初步掌握几何推理方法，能完成简单的角度推导与说理，会用方程思想解决三角形角度比例、倍分关系的计算题型。 素养要求：建立几何图形直观认知，明确三角形内外角的位置与数量关系 养成“有据有理”的几何解题习惯，规范几何语言与推理步骤。 ✺题型归纳： 题型1.三角形内角和定理的证明 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4.三角形折叠中的角度问题 题型5.三角形内角和定理的应用 题型6.直角三角形的两个锐角互余 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 题型8.三角形的外角的定义及性质 题型9.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：三角形的内角及内角和定理 1.内角定义：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。任意三角形有且仅有三个内角，内角均在三角形内部。 2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 几何表达：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 3.三角形内角和定理的证明方法 ★利用两直线平行，内错角相等将三角形的三个内角转化为一个平角，如下图 4.直角三角形的性质与判定 直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余。 如下图：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90° 直角三角形的表示方法：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 如下图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。 知识点二、三角形的外角 1.外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 ∠ACD是△ABC的一个外角. ∠ACD=∠A+∠B ▶实际上，三角形的一个外角，就是三角形一个内角的邻补角。 2.外角的性质 ◆三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； ◆三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； ◆三个外角的和为360° 知识点三、三角形外角与内角的关系 位置关系：相邻和不相邻； 数量关系：外角与相邻内角互补，外角大于不相邻的任何一个内角 ✺题型◆精讲 题型1.三角形内角和定理的证明 1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 2．如图，，则___________． 3．数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知如图，，，，则的度数为_____． 3．如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 2．如图．在中，平分，平分，若，则的度数为________． 3．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 题型4.三角形折叠中的角度问题 1．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 3．如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 题型5.三角形内角和定理的应用 1．规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果是“倍角三角形”，且，那么的度数不可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若，则________． 3．如图，P为内一点，若，，且，求的度数 题型6.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，，于点D，交于点E，则图中的直角共有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 3．在中，于D，，．求和的度数 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 1．若中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．在中，，则___________，___________，是___________三角形． 3．如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 题型8.三角形的外角的定义及性质 1．下图中一定比的度数大的一个角是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 3．如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为，，求的长． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．在中，，，则___________，是___________三角形． 6．在中，，直线与直线和直线分别相交于点和点，若，则_______． 7．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则________；若，，则________． 三、解答题 8．如图，已知，垂足是． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． (2)和有什么关系？和呢？ 9．如图，将沿直线向右平移个单位到的位置． (1)若，，求的度数． (2)已知的面积为，．当扫过的面积为时，求的值． 10．如图，在中，，是的角平分线，为线段延长线上的一点，交的延长线于点． (1)若比小，求的度数； (2)试猜想，，的数量关系，并写出证明过程． 11．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 12．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 学科网（北京）股份有限公司 $