第03讲 三角形的内角和外角（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第03讲 三角形的内角和外角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用三角形内角和定理求角度 题型2 直角三角形两锐角互余的应用 题型3 三角形内角和定理的证明（辅助线作法） 题型4 利用外角性质求角度 题型5 结合角平分线求角度 题型6 结合高线求角度 题型7 三角形折叠中的角度问题 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题 题型9 内角外角综合推理证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 内角和 两个锐角互余 外角 1.理解并掌握三角形内角和定理，能通过多种方法验证 “三角形内角和为 180°”，并能运用定理进行角度计算。 2.掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能利用该性质解决直角三角形中的角度问题。 3.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个核心性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4.能区分三角形的内角、外角，会在复杂图形中识别外角，并利用外角性质进行角度计算与推理。 学习重点：掌握三角形内角和定理与外角性质，能运用它们进行角度计算与推理。 学习难点：理解三角形内角和定理的证明思路，并在复杂图形中准确识别外角，灵活运用内角和与外角性质进行综合推理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形内角和定理 1.定理内容：三角形三个内角的和等于180°。 2.常用证明思路（转化思想）;通过添加平行线，将三角形三个内角转化为一个平角180°或一组同旁内角，完成证明。 常见辅助线：过三角形一个顶点作对边的平行线。 3.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 4.基本应用 已知三角形其中两个内角，可直接求第三个内角；已知内角度数关系，可列方程求解角度。 即时即练如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 把三角形三个分散的内角，通过作辅助线拼接转化为平角180°或一组同旁内角（和为180°），利用平角定义、平行线性质完成证明。 知识点02 直角三角形的性质与判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 2.判定： （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则△ABC为直角三角形。 （2） 有一个角为90°三角形是直角三角形。 （3）两边垂直的三角形是直角三角形。 3.补充规律：任意三角形中，最多有1个直角、1个钝角；最少有2个锐角。 即时即练在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错提醒】 1.直角三角形有且只有一个直角，另外两个角都是锐角，且两个锐角互余。 避坑：任意三角形至少有两个锐角，不能仅凭 “有锐角” 判定三角形类型。 2.Rt△ABC特指直角三角形ABC，默认∠C为直角（常规写法）；描述角度时必须指明直角位置。 知识点03 三角形的外角 1.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 每个三角形有6个外角，同一顶点处的两个外角相等； 外角与相邻内角互为邻补角，和为180°。 2.外角两大性质 （1） 性质1（计算核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （2） 性质2（大小比较）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 几何语言 如图，∠ACD是△ABC的外角，则：∠ACD=∠A+∠B；∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。 即时即练如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】 1.三角形的外角是三角形一边与另一边的延长线组成的角；顶点必须是三角形的顶点，一条边为三角形原边，另一条边为原边的延长线。 避坑：单纯在三角形外部的角，不满足边与延长线组合的，不是外角；每个顶点有2个相等的外角，一个三角形共6个外角。 2.三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者和为180° 题型1 利用三角形内角和定理求角度 【例1】如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 直接套用∠A+∠B+∠C=180°，已知两角求第三角；遇角度比例、倍数关系，设未知数列方程求解。 【变式1-1】一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】一把直尺与含的直角三角板如图所示放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型2 直角三角形两锐角互余的应用 【例1】在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【例2】在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 直角三角形两锐角和为90°；两角互余⟺ 三角形为直角三角形。 【变式2-1】在直角中，为斜边，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 题型3 三角形内角和定理的证明（辅助线作法） 【例1】证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【例2】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【技巧归纳】 过顶点作对边平行线，利用平行线性质，将三个内角拼接成平角。 【变式3-1】为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【变式3-2】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 题型4 利用外角性质求角度 【例1】如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【例2】汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 【技巧归纳】 外角 = 两个不相邻内角之和，直接代入计算。 【变式4-1】将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【变式4-2】如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 题型5 结合角平分线求角度 【例1】如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【例2】如图，在中，，平分，求的度数． 【技巧归纳】 角平分线等分内角，先求半角，再结合内角和、外角性质计算。 【变式5-1】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【变式5-2】如图，在中，、分别平分、．若，则________． 题型6 结合高线求角度 【例1】如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 【例2】如图，在中，是上的高，平分，，，求与的度数． 【技巧归纳】 高线构造直角90°，结合直角三角形两锐角互余解题。 【变式6-1】如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【变式6-2】如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 题型7 三角形折叠中的角度问题 【例1】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【例2】如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.标角：把折叠产生的相等角，用相同字母/数字统一标注； 2.找平角：折叠处的折线在原三角形边上，形成平角180°，列出角度等式； 3.套定理：结合三角形内角和180°、直角三角形两锐角互余、外角性质列式； 4.计算求解：设未知角为x，列一元一次方程计算。 【变式7-1】如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式7-2】如图，在中，，把沿边上的高所在的直线翻折，点落在边的延长线上的点处，如果，则的度数为(    ) A． B． C． D． 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【例2】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.找平行线：确定图中互相平行的直线，标注平行关系； 2.转角度：借助同位角、内错角、同旁内角，把分散的角转移到同一个三角形中； 3.套定理：结合三角形内角和180°、直角互余、外角性质列等式； 4.计算/列方程：已知角度直接计算，未知角度设未知数求解。 【变式8-1】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【变式8-2】如图，已知，，，则等于_____． 题型9 内角外角综合推理证明 【例1】已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【例2】一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【技巧归纳】 梳理已知角关系，结合定理一步步推导，规范几何推理语言。 【变式9-1】【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【变式9-2】如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 1.如图，延长的边到点E，过点E作，平分，平分交的反向延长线于点F．已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．将一副直角三角板和（，）按照如图所示的方式摆放，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在与中，点B在上，点A在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么图中与相等的角有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 5．如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 6．如图，，分别是，上的点，与交于点，下列是的外角的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 8．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组直角边．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 10．如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 11．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角形的内角和外角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用三角形内角和定理求角度 题型2 直角三角形两锐角互余的应用 题型3 三角形内角和定理的证明（辅助线作法） 题型4 利用外角性质求角度 题型5 结合角平分线求角度 题型6 结合高线求角度 题型7 三角形折叠中的角度问题 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题 题型9 内角外角综合推理证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 内角和 两个锐角互余 外角 1.理解并掌握三角形内角和定理，能通过多种方法验证 “三角形内角和为 180°”，并能运用定理进行角度计算。 2.掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能利用该性质解决直角三角形中的角度问题。 3.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个核心性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4.能区分三角形的内角、外角，会在复杂图形中识别外角，并利用外角性质进行角度计算与推理。 学习重点：掌握三角形内角和定理与外角性质，能运用它们进行角度计算与推理。 学习难点：理解三角形内角和定理的证明思路，并在复杂图形中准确识别外角，灵活运用内角和与外角性质进行综合推理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形内角和定理 1.定理内容：三角形三个内角的和等于180°。 2.常用证明思路（转化思想）;通过添加平行线，将三角形三个内角转化为一个平角180°或一组同旁内角，完成证明。 常见辅助线：过三角形一个顶点作对边的平行线。 3.几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 4.基本应用 已知三角形其中两个内角，可直接求第三个内角；已知内角度数关系，可列方程求解角度。 即时即练如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 【方法总结】 把三角形三个分散的内角，通过作辅助线拼接转化为平角180°或一组同旁内角（和为180°），利用平角定义、平行线性质完成证明。 知识点02 直角三角形的性质与判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 2.判定： （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则△ABC为直角三角形。 （2） 有一个角为90°三角形是直角三角形。 （3）两边垂直的三角形是直角三角形。 3.补充规律：任意三角形中，最多有1个直角、1个钝角；最少有2个锐角。 即时即练在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用三角形内角和为，逐个判断条件能否推出三角形有一个内角为90°，即可得到符合要求的条件个数． 【详解】解：三角形内角和为，逐个推导如下， ① ， ， 代入内角和得，得， 是直角三角形； ② ， 设， 则，解得， ， 是直角三角形； ③ ， ， ， 是直角三角形； ④ ，， ， 是钝角三角形，不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件共3个． 【易错提醒】 1.直角三角形有且只有一个直角，另外两个角都是锐角，且两个锐角互余。 避坑：任意三角形至少有两个锐角，不能仅凭 “有锐角” 判定三角形类型。 2.Rt△ABC特指直角三角形ABC，默认∠C为直角（常规写法）；描述角度时必须指明直角位置。 知识点03 三角形的外角 1.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 每个三角形有6个外角，同一顶点处的两个外角相等； 外角与相邻内角互为邻补角，和为180°。 2.外角两大性质 （1） 性质1（计算核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （2） 性质2（大小比较）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 几何语言 如图，∠ACD是△ABC的外角，则：∠ACD=∠A+∠B；∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。 即时即练如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角相等可得，由平移的性质可得，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵直线a平移后得到直线b， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错提醒】 1.三角形的外角是三角形一边与另一边的延长线组成的角；顶点必须是三角形的顶点，一条边为三角形原边，另一条边为原边的延长线。 避坑：单纯在三角形外部的角，不满足边与延长线组合的，不是外角；每个顶点有2个相等的外角，一个三角形共6个外角。 2.三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，二者和为180° 题型1 利用三角形内角和定理求角度 【例1】如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向角的定义，即可求得，，的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：几何图形如下图所示： ∵，是正南正北方向， ∴， ∵处在处的南偏西方向， ∴， ∵处在处的南偏东方向， ∴， ∴， ∵处在处的北偏东方向， ∴， ∴， ∴． 【例2】如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【技巧归纳】 直接套用∠A+∠B+∠C=180°，已知两角求第三角；遇角度比例、倍数关系，设未知数列方程求解。 【变式1-1】一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、对顶角相等以及三角板的角度特征，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． 先根据三角板的角度确定三角形的两个内角，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ， ∴． 故选：D． 【变式1-2】一把直尺与含的直角三角板如图所示放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理的应用是解题的关键． 由得到，根据三角板可得，再由三角形内角和定理得到，据此即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴ ∴， 故选：A． 题型2 直角三角形两锐角互余的应用 【例1】在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，利用直角三角形两个锐角互余的性质计算的度数． 【详解】解：是直角三角形，是直角． （直角三角形的两个锐角互余）． 又． ． 故选：D． 【例2】在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，其中一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为， 故选：． 【技巧归纳】 直角三角形两锐角和为90°；两角互余⟺ 三角形为直角三角形。 【变式2-1】在直角中，为斜边，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边的对角是直角，故，再根据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在直角中，为斜边， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2-2】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 题型3 三角形内角和定理的证明（辅助线作法） 【例1】证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 【例2】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【技巧归纳】 过顶点作对边平行线，利用平行线性质，将三个内角拼接成平角。 【变式3-1】为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 【变式3-2】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，，（已知） ，．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 题型4 利用外角性质求角度 【例1】如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，再根据沿折叠得到，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：沿折叠得到， ， ， ； （2）解：，， ∴． 沿折叠得到， ， ∴， ∴． 【例2】汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 【答案】46或106或136 【分析】根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线的交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角求解即可． 【详解】解：①如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，或或． 【技巧归纳】 外角 = 两个不相邻内角之和，直接代入计算。 【变式4-1】将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：， ， ． 【变式4-2】如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由平移的性质得到，则由平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由平移的性质得到，，证明与周长的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得，， 与周长的和 ． 题型5 结合角平分线求角度 【例1】如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，垂直得到的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴，， ∴． 【例2】如图，在中，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴． 【技巧归纳】 角平分线等分内角，先求半角，再结合内角和、外角性质计算。 【变式5-1】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：如图，记，，． ， 又平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 【变式5-2】如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形的内角和定理求出的值，根据角平分线定义求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴． 题型6 结合高线求角度 【例1】如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高；直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理； （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可； （2）根据，分别表示出，计算即可． 【详解】（1）解： ，是边上的高， ， ，， ， 是的平分线， ， ； （2）解：∵是边上的高，，是的平分线． ∴， ∴ 【例2】如图，在中，是上的高，平分，，，求与的度数． 【答案】， 【分析】此题主要考查了三角形的内角，外角以及三角形性质的应用，熟练掌握三角形性质是解题的关键．由，，利用三角形内角和求出，又平分，求出、，再利用是上的高在中求出，此时就可以求出，最后利用三角形的外角和内角的关系可以求出． 【详解】解： ，，， ， 平分， ， 是上的高， ， ， ， 在中，； 答：，． 【技巧归纳】 高线构造直角90°，结合直角三角形两锐角互余解题。 【变式6-1】如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，直角三角形的两个锐角互余，三角形的角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而求得，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在直角中，， 【变式6-2】如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 【答案】 【分析】根据，得，根据为的角平分线得，根据为的高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴． 题型7 三角形折叠中的角度问题 【例1】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 【例2】如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 【技巧归纳】 1.标角：把折叠产生的相等角，用相同字母/数字统一标注； 2.找平角：折叠处的折线在原三角形边上，形成平角180°，列出角度等式； 3.套定理：结合三角形内角和180°、直角三角形两锐角互余、外角性质列式； 4.计算求解：设未知角为x，列一元一次方程计算。 【变式7-1】如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【变式7-2】如图，在中，，把沿边上的高所在的直线翻折，点落在边的延长线上的点处，如果，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，如图所示，由折叠可得，再由三角形内角和定理可得，从而根据求出答案． 【详解】解：把沿边上的高所在的直线翻折后如图所示， 由折叠可知， 则由三角形内角和定理可得， 又， ∴． 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【例2】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【技巧归纳】 1.找平行线：确定图中互相平行的直线，标注平行关系； 2.转角度：借助同位角、内错角、同旁内角，把分散的角转移到同一个三角形中； 3.套定理：结合三角形内角和180°、直角互余、外角性质列等式； 4.计算/列方程：已知角度直接计算，未知角度设未知数求解。 【变式8-1】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式8-2】如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 题型9 内角外角综合推理证明 【例1】已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． （2）解：，平分交直线于， ， ，， ． 【例2】一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可证明结论； （2）延长交于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：如图，延长交于E， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∵，， ∴． 【技巧归纳】 梳理已知角关系，结合定理一步步推导，规范几何推理语言。 【变式9-1】【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2），过程见解析；；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 【变式9-2】如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 1.如图，延长的边到点E，过点E作，平分，平分交的反向延长线于点F．已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理可得，结合得到，求解即可． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．将一副直角三角板和（，）按照如图所示的方式摆放，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过平行线的性质得到，再通过三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在与中，点B在上，点A在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么图中与相等的角有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】结合三角形内角和、平行线的性质、对顶角相等可得出图中共有7个角为，故可得出答案． 【详解】解：对图中顶点进行标注，如下图所示： ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 又∵，，， 综上，， 共有7个角为， ∴共有6个角与相等． 5．如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 6．如图，，分别是，上的点，与交于点，下列是的外角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义，掌握三角形的外角是解题的关键； 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，可知是的外角，即可解决． 【详解】解：∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， ∴是的外角， 故选：B． 7．如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】利用平行线的判定与性质、角平分线和垂直定义可判断①②③；结合三角形的内角和定理可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的是①②③④． 8．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组直角边．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 10．如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是通过角的关系证得，，利用平行线的性质推导角相等． 【详解】解：   理由如下：∵， ∴，   ∴， ∴． 11．探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； （2）证明：∵，， ， ， ， ； （3）解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $