第三章 代数式 02讲 代数式的值 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦“代数式的值”核心知识点，系统梳理求代数式值的基本步骤，从已知字母值直接代入，到已知式子值、程序流程图求值，再到整体思想（配系数、奇次项为相反数、赋值法）的应用，构建递进式学习支架。 资料亮点在于整体思想的深度渗透，通过配系数求代数式值（如已知3x+1=3求6x+5）培养推理意识，结合程序流程图问题发展应用意识。课中辅助教师分层教学，课后作业涵盖基础与综合题，助力学生巩固知识、查漏补缺。

第三章 代数式 02讲 代数式的值 目录 【知识点1. （求）代数式的值 1】 【考点1. 已知字母的值，求代数式的值 4】 【考点2. 已知式子的值，求代数式的值 6】 【考点3. 程序流程图与代数式求值 9】 【考点4. 整体思想之配系数 13】 【考点5. 整体思想之奇次项为相反数 14】 【考点6. 整体思想之赋值法 16】 【课后作业 19】 知识清单：（求）代数式的值 1、代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果． 整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。 巩固基础 1．已知，则代数式的值是（   ） A．31 B． C．41 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值， 由已知方程变形得到，再将原式整理为，然后整体代入求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．如果时，整式的值是9，那么时，整式的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，利用时的条件求出的值，再代入时的表达式计算，即可作答． 【详解】解：∵当时，整式的值是9， ∴， ∴， 当时，则， 故选：D． 3．一个数值转换机的示意图如图所示．当输入的值为时，输出的结果为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值．根据图示列出代数式，再代值计算． 【详解】解：由图可得，代数式， 当时， ， 故选：C． 4．已知，则代数式的值是______． 【答案】4 【分析】先将已知等式移项变形得到的值，再将所求代数式提公因式变形后，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 5．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，整体代入是解题的关键．根据得到，再将其整体代入中求值． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 6．已知代数式的值为5，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再整体代入代数式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7．当，时，求代数式的值． 【答案】16 【分析】本题考查代数式求值． 将，代入表达式计算即可． 【详解】解：当，时， 原式 ． 8．如图，在一长方形休闲广场的四角都设计了一块半径相同的四分之一圆的花坛，正中设计一个圆形喷水池，若四周圆形和中间圆形的半径均为，广场长为，宽为． (1)请列式表示广场空地的面积； (2)若休闲广场的长为，宽为，圆形花坛的半径为，求广场空地的面积．（计算结果保留） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了列代数式，关键是得到四个角的花坛的面积正好为一个圆的面积． （1）空地的面积=长方形的面积个半径为r的圆的面积； （2）把相应数值代入（1）中式子求值即可． 【详解】（1）解：∵广场长为a米，宽为b米， ∴广场的面积为：平方米； 四周圆形和中间圆形的面积的和为： ， ∴广场空地的面积为：平方米； （2）当，，时，代入， ， ∴广场空地的面积为：平方米． 直击考点 【考点1：已知字母的值，求代数式的值】 例1.已知，则代数式的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接将已知的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可． 【详解】解： 将代入代数式，得： 原式 ． 例2.当、时，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题考查了代数式求值．把直接代入代数式计算求值即可． 【详解】解：当时， ． 变式1.当，时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的值，熟练掌握相关计算是解题的关键；将，代入即可求解． 【详解】解：当，时， ． 故选：B． 变式2.当时，代数式的值为____________． 【答案】 【分析】将代入代数式，再按照含乘方有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解∶ 将代入 ，得 ． 变式3.已知，求下列代数式的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是： （1）把x、y的值代入计算即可； （2）把x、y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 变式4.已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、代数式求值等知识点，掌握含乘方的有理数混合运算法则是解题的关键． 直接将代入代数式运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：将代入代数式可得： ． 【考点2：已知式子的值，求代数式的值】 例1.已知，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，由已知式子变形得到的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：B． 例2.已知，则________． 【答案】10 【分析】本题考查整式的化简求值， 由已知条件得，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：由，得． ． 故答案为：． 例3.已知，，求的值． 【答案】10 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据已知式子的值，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 变式1.若，则的值为（    ） A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 变式2.如果a、b互为相反数，m、n互为倒数，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、相反数和倒数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据相反数和倒数的定义，得到，，再代入表达式计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴． 故答案为：． 变式3.若，则的值为_____． 【答案】 7 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值． 由得到，整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：7． 变式4.若，则代数式的值是_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．将变形为，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 变式5.求下列代数式的值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【答案】(1)65 (2) 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是准确地将给定的数值代入到代数式中，并熟练掌握有理数运算法则． （1）将，，的值代入到代数式中，然后根据有理数运算法则计算即可； （2）将整体代入代数式中，然后根据有理数运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当，，时， ； （2）解：当时， ． 【考点3：程序流程图与代数式求值】 例1.根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为（    ） A．-2 B．1 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，含乘方的有理数的混合运算，求代数式的值，弄清流程图的运算是解题的关键．根据流程图先写出所求的代数式，再将代入，根据代数式的运算法则进行运算即可． 【详解】解：将代入，得 ，， 将代入， ， 故选：D． 例2.按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是操作型题目，利用给定程序执行是解题的关键．按照程序执行运算即可． 【详解】解：当时，， ， ∴最后输出的结果是：． 故答案为：． 变式1.根据以下程序，当输入时，输出结果为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：当时，，此时，不满足， 不能输出，作为新值重新输入计算， 当时，，此时，不满足， 不能输出，作为新值重新输入计算， 当时，，此时，满足， 可以输出，输出的结果是， 故选：A． 变式2.如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，第一次输出结果为24，则第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．12 D．2 【答案】C 【分析】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键． 先根据运算程序，得出前几次输出的结果，得出从第二次开始，每3次按照12，6，3的顺序循环，即可解答． 【详解】解：当输入的x是48时，输出的结果为； 当输入的是24时，输出的结果为12； 当输入的是12时，输出的结果为6； 当输入的是6时，输出的结果为3； 当输入的是3时，输出的结果为12； 当输入的是12时，输出的结果为6； ……， 由此发现，从第二次开始，每3次按照12，6，3的顺序循环， ∵， ∴第2024次输出的结果是12． 故选：C 变式3.根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入，时，则输出y的值是_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了程序运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握程序规则． 根据程序规则进行选择运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 变式4.根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为_____． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，根据流程图，把代入，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，当时， ； 故答案为：8． 变式5.如图是一个计算程序图： (1)若输入的值为，求输出的结果的值； (2)若输出的结果的值为4，求输入的值； 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是程序框图与代数式求值； （1）由，再把代入进行计算即可； （2）由，再分两种情况分别代入解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：当时，， ∴． ∵， ∴； 当时，， ∴． ∵， ∴不符合题意． 综上所述，． 【考点4：整体思想之配系数】 例1．已知代数式的值为3，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】本题考查的是代数式求值．先把所求代数式化为的形式，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 例2．如果，那么代数式的值是 ． 【分析】本题考查了代数式求值．将代数式进行变形，再整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了代数式求值，由已知得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 变式2．已知，则的值是（   ） A．84 B．144 C．72 D．360 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，由得，将作为整体代入即可． 【详解】解：， ， ， 故选B． 变式3．若，则 ． 【分析】本题考查的是求解代数式的值，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 【考点5：整体思想之奇次项为相反数】 例1.当时，代数式的值是024，则当时，代数式的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 由题意可得，则，将代入中并变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值是， ∴， ∴， 把代入，得． 故选：D． 例2.当时，，当时， _______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可求出，当时，，据此计算求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 变式1.当时，整式的值为2024，则当时，整式的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的代入求值，熟练掌握整体带入是解题的关键． 先求出，再代入求值即可． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 故选：D． 变式2.当时，代数式的值为10，则当时，这个代数式的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式值的方法与技巧，理解整体思想的应用是解决问题的关键． 首先根据当时，代数式的值为10，得到，即，然后将及代入代数式中即可得出答案． 【详解】解：∵当时，代数式的值为， ∴， ∴，即， 当时，， 当时， 原式， 故答案为：． 变式3.当时，，则当时，的值为 _____． 【答案】0 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题关键．将代入代数式求出的值，再将代入代数式，变形后把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：将代入，得， ∴， 当时， ． 故答案为：0． 【考点6：整体思想之赋值法】 例1．若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=　　． 【答案】528 分析：可以令x=±1，再把得到的两个式子相减，即可求值． 【解析】∵（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f， 令x=﹣1，有﹣32=﹣a+b﹣c+d﹣e+f① 令x=1，有1024=a+b+c+d+e+f② 由②﹣①有：1056=2a+2c+2e，即：528=a+c+e． 点评：本题考查了代数式求值的知识，注意对于复杂的多项式可以给其特殊值，比如±1． 例2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 【分析】本题主要考查了代数式求值，令，可求出，令，可求出，两式相加即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴得， ∴． 变式1．若：． （1）当时， ；（2） ． 【分析】（1）将代入，即可计算出的值； （2）将代入，即可计算出的值． 【详解】解：（1）将代入得： ，即，故答案为：； （2）将代入得： 即，故答案为：1 变式2．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求：(1)的值； (2)的值； (3)的值． 【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键． （1）观察等式可发现只要令，即可求出的值； （2）观察等式可发现只要令即可求出的值． （3）令即可求出等式①，令即可求出等式②，两个式子相加即可求出来． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，可得； （3）解：当时，可得①， 由（2）得②； 得：， ， ． 课后作业 1．（2026·云南昆明·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ，，，，，， 第个代数式是， 故选：C． 2．（2026·重庆渝中·二模）瓦匠师傅常按图①的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙，如图②，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…，则第9个图需要用砖的块数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】先结合图形总结出规律，再计算第9个图需要用砖的块数即可． 【详解】解：由题意可得，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…， ∴第个图用砖（块）， ∴第9个图需要用砖的块数为（块）． 3．（2026·四川绵阳·二模）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是，则第2026次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】求出第次运算结果，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：由题意得：第1次运算结果输出的是， 第2次运算结果输出的是， 第3次运算结果输出的是， 第4次运算结果输出的是， 第5次运算结果输出的是， 第6次运算结果输出的是， 第7次运算结果输出的是， 归纳类推得：从第2次开始，运算结果按为一个周期循环， ∵， ∴第2026次输出的结果与第4次运算结果相同，即为1． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【答案】B 【分析】根据前面的规律，求解即可； 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写， 故 故． 5．（2026·云南·一模）按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察单项式的系数和指数可知，系数与项数相同，指数也与项数相同，据此可得答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ……， 以此类推可知第个单项式是． 6．（2026·云南保山·一模）按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题分别寻找代数式的系数和x的指数的变化规律，即可推导得到第n个代数式． 【详解】解：分别观察系数和x的指数两部分规律： ∵第1个代数式的系数为1，第2个系数为2，第3个系数为3，第4个系数为4，… ∴可得第n个代数式的系数为， ∵第1个代数式中的指数为，第2个中的指数为，第3个中的指数为，第4个中的指数为，… ∴可得第n个代数式中的指数为， 综上，第n个代数式为． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，那么代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据已知 ，得到 ， ，将所求代数式展开后，整体代入降次计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）实数a满足，则________． 【答案】 【分析】先根据得出，再把所求式子变形得出，再整体代入，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·山东济宁·期中）观察下列算式： ； ； ； …… 根据上面的规律计算：_________． 【答案】 【详解】解：； ； ； ……； ∴． 10．（25-26九年级下·四川广安·期中）有一列数，记第个数为，已知，当时，，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据前几个数字再根据除以周期的余数确定对应项的值． 【详解】解：，，，，…… 可见，这列数从开始，以2，为周期循环，周期为， 由于，余数为， 故． 11．（2026·北京顺义·一模）某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 【答案】 甲 89 【分析】先整理表格数据，分别计算出甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费；（1）总批数为，每条至少批，然后分三种情况计算总材料费S，然后比较即可解答；（2）总批数为，然后分别计算每种情况的总材料费，然后比较即可． 【详解】解：记分别为甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费，由表可得： ； ； ； (1)总批数为，每条至少批，分三种情况计算总材料费S： ①甲生产批：； ②乙生产批：； ③丙生产批：； 比较得，因此材料费最小时，应向甲分配批． (2)总批数为，分情况讨论： ①单条生产线生产5批： 甲：125万元； 乙：130万元； 丙：120万元； ②两条生产线分配： 甲3，乙2：； 甲3，丙2：； 乙3，甲2：； 乙3，丙2：； 丙3，甲2：； 丙3，乙2：； ③两条生产线分配： 甲4，乙1：； 甲4，丙1：； 乙4，甲1：； 乙4，丙1：； 丙4，甲1：； 丙4，乙1：； ④三条生产线分配： 甲3，乙1，丙1：； 乙3，甲1，丙1：； 丙3，甲1，乙1：； ⑤三条生产线分配： 甲2，乙2，丙1：； 甲2，丙2，乙1：； 乙2，丙2，甲1：； 对比所有方案，材料费的最小值为89万元． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合图形的特点可知阴影部分由长、宽的长方形和边长为的正方形两部分组成，依此列出代数式并化简； （2）将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ； （2）解：将，代入得， ． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ． （2）解：当，时， ． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 【答案】0或 【分析】根据，，，求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 当时，， 当时，． 则代数式的值为0或． 15．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）根据定义，代入求解即可； （2）根据定义，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据， 得 ； （2）解：根据， 得， ； 故； 16．（25-26七年级下·浙江台州·期中）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇数式的定义即可求解； （2）根据奇数式和偶数式的定义对各代数式进行分析判断即可； （3）是奇数式，当分别取，2024，，2025时，的和为，即可得的值． 【详解】（1）解：∵是奇数式，且当时，， ∴当时，． （2）解：∵， ∴是偶数式， ∵, ∴是偶数式， ∵, ∴是奇数式， ∵， ∴是偶数式． （3）解：∵， ∴是奇数式，∴当分别取，2024，，2025时，的和为， ∴． 17．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 18．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【答案】(1)3 (2)木地板总面积：平方米；地砖面积：平方米 (3)选方案A更省钱 【分析】（1）观察图形直接计算即可． （2）准确计算不同区域的面积即可． （3）根据面积和单价计算费用，再比较不同方案的费用高低． 【详解】（1）解：由得，解得． （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖：平方米． （3）解：因为卧室的面积为平方米，且卧室的长为米， ，解得， ∴铺设地面需要木地板：， 铺设地面需要地砖：， A种活动方案所需的费用：(元)， B种活动方案所需的费用：(元)， ， 所以小明家应选择A种活动方案，使铺设地面总费用(含材料费及安装费)更低． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）材料题 素材1 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 素材2 在不同时期，人的腰围（记作，单位：cm）和体重（记为，单位：kg）会有变化，则脂肪总量． 其中，（男），（女） 素材3 为响应号召，思齐同学为自己制定了每天跑步的计划，以下是思齐同学一周内的跑步记录，其中超过的记为“+”，不足的记为“”． 任务1 (1)八年级男生小明身高，体重，女生小勤身高，体重，通过上述材料说明小明和小勤的体重状况．（除不尽时，保留两位小数） 任务2 (2)脂肪过低或过高均可能引发健康风险，若晓慧同学的身高为，体重为，腰围为，她的脂肪总量为多少？ 任务3 (3)若思齐同学每跑步大约消耗的热量，求在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量是多少？ 【答案】(1)小明的体重状况为偏胖；小勤的体重状况为正常； (2)她的脂肪总量为6.07； (3)在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量 【分析】（1）根据计算，再根据数值标准解答即可； （2）根据素材2的公式代入计算即可； （3）用一周的跑步距离总和乘以60即可． 【详解】（1）解：小明：，小勤：， 小明的体重状况为偏胖；小勤的体重状况为正常； （2）解：把，代入，得， 把代入，得， ， 所以她的脂肪总量为6.07； （3）解：， ； 所以在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量． 20．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）解：如图所示， （答案不唯一） （4）解： ． 21．（2026·安徽·二模）综合探究 【提出问题】将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次．怎样分这5个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 【分析问题】 (1)简单情况：用三个不等的非零数字，，组成一个两位数和一个一位数，每个数字仅用一次，怎样分这3个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 下边是一个两位数与一个一位数相乘的竖式图，其中，，是互不相等的正整数． 若为已知数，要使得最大，则，乘积越大越好，故； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故①_____； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故②______．（以上用“>”“<”填空） 因此，若最大，则，，从大到小排列应为③________． （注：表示十位数为，个位数为的两位数，即．） (2)拾阶而上：用四个不等的非零数字，，，组成两个两位数，每个数字仅用一次，怎样分这4个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 类似上面的分析过程可以知道，若使最大，则必有，，， 据此可知，满足题意的两个两位数，十位上的数字必是，，，中较大的两个数，个位数字是较小的两个数． 不妨设，下面比较与的大小． =④…… 完成上面的比较过程，从而得出：用1，2，3，4组成两个两位数，每个数字仅用一次，若这两个数乘积最大，则这两个数分别是⑤__________，__________； (3)得到结果：不妨将图中的，分别看作，，同时考虑到最大，根据上面的分析过程，我们有：若图中的最大，则五个不同的非零数字，，，，按由小到大排列应该为⑥__________． 【解决问题】 (4)根据以上分析，将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次，组成的两个数乘积的最大值为⑦__________． 【迁移应用】 (5)请利用下表所给5个不同的数字，按上面的要求，组成一个三位数和一个两位数，使这两个数的乘积最小． 五个数字 三位数 两位数 3 4 5 6 7 ⑧_____ ⑨_____ 【答案】(1)①<，②<，③． (2)④见解析，⑤41，32 (3)⑥ (4)22412 (5)⑧467，⑨35 【分析】（1）要使得最大，则最大，其次是，最小是，据此解答即可； （2）原式去括号，合并后再进行整理可得结论； （3）把最大的数放在两位数的十位上，第二大的放在三位数的百位上，第三大的数放在三位数的十位上，第四大的放在两位数的个位上，最小的放在三位数的个位上，故可得； （4）由（3）可得三位数和两位数，计算出乘积即可； （5）最小的两个数是3和4，分别作为三位数的百位、两位数的十位，剩下的最小的数中最小的两个数5和6 作为三位数的十位、两位数的个位，最大的数放在三位数的个位上即可． 【详解】（1）解：要使得最大，则最大，其次是，最小是， 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故 ； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故 ． 因此，若最大，则，，从大到小排列应为． （2）解： ； ∵， ∴， ∴， 即， 故可得“两个数和一定时，差越小乘积越大”； 把最大的两个数4和3放在十位，让两个数的差尽可能小，把剩下的1和2按大配小，小配大分配，即4配1，3配2，得到41和32； （3）解：若最大，则把最大的数放在两位数的十位上，第二大的放在三位数的百位上，第三大的数放在三位数的十位上，第四大的放在两位数的个位上，最小的放在三位数的个位上，故可得； （4）解：由（3）得：乘积最大的三位数和两位数为431和52， ； （5）解：最小的两个数是4和3，分别作为三位数的百位、两位数的十位，剩下的最小的数中最小的两个数5和6 作为三位数的十位、两位数的个位，最大的数放在三位数的个位上即467和35． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 02讲 代数式的值 目录 【知识点1. （求）代数式的值 1】 【考点1. 已知字母的值，求代数式的值 3】 【考点2. 已知式子的值，求代数式的值 3】 【考点3. 程序流程图与代数式求值 4】 【考点4. 整体思想之配系数 6】 【考点5. 整体思想之奇次项为相反数 6】 【考点6. 整体思想之赋值法 6】 【课后作业 7】 知识清单：（求）代数式的值 1、代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果． 整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。 巩固基础 1．已知，则代数式的值是（   ） A．31 B． C．41 D． 2．如果时，整式的值是9，那么时，整式的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．一个数值转换机的示意图如图所示．当输入的值为时，输出的结果为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 4．已知，则代数式的值是______． 5．若，则的值为__________． 6．已知代数式的值为5，求的值． 7．当，时，求代数式的值． 8．如图，在一长方形休闲广场的四角都设计了一块半径相同的四分之一圆的花坛，正中设计一个圆形喷水池，若四周圆形和中间圆形的半径均为，广场长为，宽为． (1)请列式表示广场空地的面积； (2)若休闲广场的长为，宽为，圆形花坛的半径为，求广场空地的面积．（计算结果保留） 直击考点 【考点1：已知字母的值，求代数式的值】 例1.已知，则代数式的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2.当、时，求代数式的值． 变式1.当，时，的值是（    ） A． B． C． D． 变式2.当时，代数式的值为____________． 变式3.已知，求下列代数式的值 (1) (2) 变式4.已知，求代数式的值． 【考点2：已知式子的值，求代数式的值】 例1.已知，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 例2.已知，则________． 例3.已知，，求的值． 变式1.若，则的值为（    ） A． B． C． D．17 变式2.如果a、b互为相反数，m、n互为倒数，那么_____． 变式3.若，则的值为_____． 变式4.若，则代数式的值是_________ ． 变式5.求下列代数式的值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【考点3：程序流程图与代数式求值】 例1.根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为（    ） A．-2 B．1 C．1 D．4 例2.按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是____________． 变式1.根据以下程序，当输入时，输出结果为（　　） A． B．0 C．1 D．2 变式2.如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，第一次输出结果为24，则第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．12 D．2 变式3.根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入，时，则输出y的值是_______． 变式4.根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为_____． 变式5.如图是一个计算程序图： (1)若输入的值为，求输出的结果的值； (2)若输出的结果的值为4，求输入的值； 【考点4：整体思想之配系数】 例1．已知代数式的值为3，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．如果，那么代数式的值是 ． 变式1．已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 变式2．已知，则的值是（   ） A．84 B．144 C．72 D．360 变式3．若，则 ． 【考点5：整体思想之奇次项为相反数】 例1.当时，代数式的值是024，则当时，代数式的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 例2.当时，，当时， _______ ． 变式1.当时，整式的值为2024，则当时，整式的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 变式2.当时，代数式的值为10，则当时，这个代数式的值为________． 变式3.当时，，则当时，的值为 _____． 【考点6：整体思想之赋值法】 例1．若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=　　． 例2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 变式1．若：． （1）当时， ；（2） ． 变式2．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求：(1)的值； (2)的值； (3)的值． 课后作业 1．（2026·云南昆明·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（  ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆渝中·二模）瓦匠师傅常按图①的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙，如图②，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…，则第9个图需要用砖的块数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 3．（2026·四川绵阳·二模）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是，则第2026次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 5．（2026·云南·一模）按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（  ） A． B． C． D． 6．（2026·云南保山·一模）按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，那么代数式的值是______． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）实数a满足，则________． 9．（25-26八年级下·山东济宁·期中）观察下列算式： ； ； ； …… 根据上面的规律计算：_________． 10．（25-26九年级下·四川广安·期中）有一列数，记第个数为，已知，当时，，则的值为___________． 11．（2026·北京顺义·一模）某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 15．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 16．（25-26七年级下·浙江台州·期中）关于的代数式，当任取一组相反数与时，若的值互为相反数，则称为“奇数式”；若的值相等，则称为“偶数式”．例如，是“奇数式”，是“偶数式”． (1)若是奇数式，且当时，，则当时，的值为_________； (2)以下代数式中，是“偶数式”的有___________；（填正确选项的序号） ①；②；③；④． (3)对于整式，当分别取，2024，，2025时，整式的值分别为，，，，请你根据上述性质，求的值． 17．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 18．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）材料题 素材1 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 素材2 在不同时期，人的腰围（记作，单位：cm）和体重（记为，单位：kg）会有变化，则脂肪总量． 其中，（男），（女） 素材3 为响应号召，思齐同学为自己制定了每天跑步的计划，以下是思齐同学一周内的跑步记录，其中超过的记为“+”，不足的记为“”． 任务1 (1)八年级男生小明身高，体重，女生小勤身高，体重，通过上述材料说明小明和小勤的体重状况．（除不尽时，保留两位小数） 任务2 (2)脂肪过低或过高均可能引发健康风险，若晓慧同学的身高为，体重为，腰围为，她的脂肪总量为多少？ 任务3 (3)若思齐同学每跑步大约消耗的热量，求在这一周的跑步过程中，思齐同学共计消耗的热量是多少？ 20．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 21．（2026·安徽·二模）综合探究 【提出问题】将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次．怎样分这5个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 【分析问题】 (1)简单情况：用三个不等的非零数字，，组成一个两位数和一个一位数，每个数字仅用一次，怎样分这3个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 下边是一个两位数与一个一位数相乘的竖式图，其中，，是互不相等的正整数． 若为已知数，要使得最大，则，乘积越大越好，故； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故①_____； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故②______．（以上用“>”“<”填空） 因此，若最大，则，，从大到小排列应为③________． （注：表示十位数为，个位数为的两位数，即．） (2)拾阶而上：用四个不等的非零数字，，，组成两个两位数，每个数字仅用一次，怎样分这4个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 类似上面的分析过程可以知道，若使最大，则必有，，， 据此可知，满足题意的两个两位数，十位上的数字必是，，，中较大的两个数，个位数字是较小的两个数． 不妨设，下面比较与的大小． =④…… 完成上面的比较过程，从而得出：用1，2，3，4组成两个两位数，每个数字仅用一次，若这两个数乘积最大，则这两个数分别是⑤__________，__________； (3)得到结果：不妨将图中的，分别看作，，同时考虑到最大，根据上面的分析过程，我们有：若图中的最大，则五个不同的非零数字，，，，按由小到大排列应该为⑥__________． 【解决问题】 (4)根据以上分析，将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次，组成的两个数乘积的最大值为⑦__________． 【迁移应用】 (5)请利用下表所给5个不同的数字，按上面的要求，组成一个三位数和一个两位数，使这两个数的乘积最小． 五个数字 三位数 两位数 3 4 5 6 7 ⑧_____ ⑨_____ 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $