精品解析：贵州遵义清华中学2025-2026学年第二学期第一次素养测试高二数学试题

遵义清华中学2025-2026学年第二学期第一次素养测试 高二数学 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得. 【详解】因为，因此，. 故选：B. 3. 若向量，，且，则（ ） A. B. 7 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据平面向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】由，，则， 因为，所以，所以. 故选：A 4. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 56 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，确定的项数，得系数． 【详解】由已知，令，， 所以的系数是． 故选：A． 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】因为，，则， 则. 故选：B. 6. 已知随机变量，下列表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的性质进行逐一判断即可. 【详解】因为，所以，， 因此， ， 因此选项B、D不正确，选项C正确； 又因为，所以选项A不正确， 故选：C． 7. 举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往、、三个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ） A. 114 B. 150 C. 108 D. 54 【答案】A 【解析】 【分析】先将5位大学生分成3组，分法有1，1，3或1，2，2，然后分配到三个场馆，再减去甲同学和乙同学去同一场馆的情况即可 【详解】将5位大学生分成3组，分法有1，1，3或1，2，2，然后分配到三个场馆，则不同的安排方法有 ， 当甲同学和乙同学去同一场馆的情况有，只有甲同学和乙同学两人在同一场馆，或甲同学和乙同学还有另一位同学三人在同一场馆， 所以甲同学和乙同学去同一场馆不同的安排方法有种， 所以甲同学和乙同学不去同一场馆的安排方法有， 故选：A 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得，，，在中根据余弦定理建立关于的方程，求解可得，可以判断为等边三角形，再结合余弦定理求解离心率. 【详解】如图，因为，故设， 则，，． 在中，， 由余弦定理得， 化简得，即， 可得，所以为等边三角形， 所以，在中， 由余弦定理得， 所以离心率为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 可由函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用余弦型函数的最小正周期、对称性、单调性，结合余弦型函数图象的变换性质逐一判断即可. 【详解】A：因为的最小正周期是，所以本选项说法正确； B：为最值， 所以本选项说法正确； C：当时，， 所以在区间上单调递增，因此本选项说法正确； D：函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 ，显然不是函数的表达式， 所以本选项说法不正确. 故选：ABC 10. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. 为互斥事件 C. D. 相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析. 【详解】正确； 可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误； 在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确； 不独立， D错误； 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】补形为长方体求出外接球的表面积判断A；利用勾股定理得并确定轨迹判断B；作出点关于平面的对称点计算判断C；建立空间直角坐标系，求出点的坐标满足的关系，再利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，由两两垂直，得三棱锥与以为棱的长方体有相同的外接球， 则该球的直径为，该球的表面积为，A正确； 对于B，由平面，得，则， 因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，B错误； 对于C，延长到，使得，则点关于平面对称， 因此， 当且仅当为与平面的交点时取等号，C正确； 对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，而平面的法向量， 由直线与平面所成的角为，得， 整理得，因此， 当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法. 【答案】 【解析】 【分析】先安排甲在排头，再利用全排列数计算其余四人即可. 【详解】因为甲已经站在排头，所以其余4人进行全排列，有种排法， 所以甲必须站在排头，有种24不同的排法. 故答案为：24. 13. 若，则____________. 【答案】80 【解析】 【分析】利用赋值法令及计算可得； 【详解】解：令，则，令，则，于是. 故答案为： 14. 某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 【答案】##0.375 【解析】 【分析】利用全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式计算得解. 【详解】用表示号小球内有获奖信息，用表示主持人打开号小球， 依题意，， 又， 则， 所以所求概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系由向量方法证明线线垂直即可； （2）求出两个平面的法向量，由面面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，四边形为矩形， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 所以，所以，所以． 【小问2详解】 因为，． 设平面的法向量为， 则，令，得，，取． 又平面的一个法向量， 所以， 因此，平面与平面所成角的余弦值为． 17. 第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？ （2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率； ②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】 【分析】 （1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由已知住校生中男生占，则女生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人. （2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥， =，=，故， 所以，事件A发生的概率为. ②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， .随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 随机变量X的数学期望. 18. 已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，证明：以为直径的圆必经过原点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦距与短轴长即可得，将点代入椭圆方程计算，即可求出椭圆的标准方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和椭圆方程并由向量数量积即可求出得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，即可得， 把点的坐标代入椭圆方程得， 解得， 即椭圆方程为. 【小问2详解】 证明：如下图所示： ①当直线的斜率不存在时， 直线与圆相切，直线方程为或. （I）联立与，可得， 以为直径的圆的方程为； （II）联立与，可得， 以为直径的圆的方程为. 综合（I），（II）可知，两圆过定点. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立与， 消去得， 设， 由韦达定理知 ， 由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，即， 从而，显然以为直径的圆经过原点. 综合①②可知，以为直径的圆必经过原点. 19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． （2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 【答案】（1）① 0 1 2 3 ； ② （2） ； 当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，利用二项分布可得分布列进而可求得期望，②根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率； （2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论. 【小问1详解】 ①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3； 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为， 所以， 所以， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， ②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件 则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为， 【小问2详解】 因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件， 则设备正常运行有三种情况， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为； 所以 ， 即； 则， 所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义清华中学2025-2026学年第二学期第一次素养测试 高二数学 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，且，则（ ） A. B. 7 C. 3 D. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 56 D. 84 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，下列表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往、、三个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ） A. 114 B. 150 C. 108 D. 54 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 可由函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 10. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. 为互斥事件 C. D. 相互独立 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法. 13. 若，则____________. 14. 某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？ （2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率； ②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望. 18. 已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，证明：以为直径的圆必经过原点. 19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． （2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $