山西晋城市部分校联考2025-2026学年高一下学期7月期末自测数学试题

高一数学期末自测 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 如 1.已知1，之2是复数，若必1=2十3i,名1十2=1十i,则2= 斟 封 A.-1-2i B.-1+2i 长 C.1-2i D.1+2i K 2.已知向量a=(1,x),b=(3,4x十2)，若a∥b,则实数x= 怒 A.2 B.1 C.-1 D.-2 闻 3.某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级 靼 中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为 A.36 B.42 C.48 D.54 4某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为 A晋 B c弩 D.元 5.已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若m⊥a,mLn,则n∥a B.若a⊥B,m∥a,n⊥3，则m∥z C.若m⊥n,m⊥a,n∥β，则a⊥ D.若m∥n,m⊥a,则n⊥a 6.从不超过20的质数中，任选两个不同的质数p,9,记n=|p一g,则事件“n<4”的概率为 A司 &是 c品 D是 【高一数学期末自测第1页（共4页）】 26-L-731A ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 7在△ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,6c,若A=a2=46c,则sinB+sinC A含 B.⑤ c n号 8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=2DC=2,E为AC上 D 一点，且满足AE=BE,则AE·BD= A.1 B居 c D.2 A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量 (单位：t)的折线图，则 个年污水净化量y/t A.这组数据的众数是56 56 55 B.这组数据的极差是4 C.这组数据的60%分位数是55 53 D.去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 52 10.在复平面内，复数1,2对应的点分别为Z1,Z2,O为坐 1234567年份代码 标原点，则下列结论正确的是 A.若3十3=0，则之1=2=0 B.若名12=|1|2，且12≠0，则Z,Z2关于x轴对称 C.若OZ⊥022，则|z之1十z2|=|1-2 2026 D.若名=1十i,且1,2是关于x的方程x2十px十q=0的两个根(p,g∈R),则( 2 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P,Q分别是棱BB1,DD1上 D 的点（不包括端点），且BP=DQ,则下列说法正确的是 A.正方体ABCD-A1B1CD1的外接球的表面积为8π B.若平面APQ与平面ABCD的交线为l,则PQ∥L C.若平面APQ与平面ABCD所成的二面角为0，△APQ的面积为S,则 A 1cos91=号 D.若BP=2PB1,则平面APQ截正方体ABCD-A1BCD1所得截面的面积为√17 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.有一个专养草鱼的池塘，为了估计池塘内草鱼的数量，养殖人员从池塘内捞出60条草鱼，做 上标记后放回池塘，10天后，他又从池塘内捞出50条草鱼，发现其中有2条草鱼有标记，则 可估计该池塘内共有 条草鱼， 13.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=6,A1B1=2,高为1，则直线A1B与AC所成角的 余弦值为 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且2S=a2-(b-c)2,则 仔十C的取值范围为 bc 【高一数学期末自测第2页（共4页）】 26-L-731A 。夸克扫描王 ▣ 极速扫描，就是高效 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a与b的夹角为，a=1,b1=2. (1)若(2a+b)⊥(a一tb),求实数t的值； (2)求向量a与3a十2b的夹角的余弦值. 16.(本小题满分15分) 甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜 对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛，已知每局比赛甲 猜对的概率为，乙猜对的概率为号，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也 互不影响， (1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； (2)求此次比赛进行3局就结束的概率. 17.(本小题满分15分)》 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并 将评分（满分100分）按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，绘制成如 图所示的频率分布直方图. A频率 组距 a------ 0.025 0.020 0.015 0.010 O 5060708090100分数 (1)求图中α的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间 的中点值作代表)； (2)已知样本中在[60,70)内的评分的平均数为64.5，方差为14，在[70,80)内的评分的平 均数是74.5，方差是9，求落在[60,80)内的评分的平均数与方差， 【高一数学期末自测第3页（共4页）】 26-L-731A ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣a6 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b-a)(b十a)=c(b-c). (1)求A; (2)若△ABC为锐角三角形，求6的取值范围； (3)已知点D是边BC上的-点，且部-影名+2=1，求AD的长. 19.(本小题满分17分) 最 如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=否，平面MAB 知 ⊥平面ABCD,MA⊥MB,点E,F分别是CD,BD的中点. 酃 (1)求证：平面MAB⊥平面MBE; 长 (2)求三棱锥M-ABD外接球的表面积； (3)设MF与平面ABCD所成角为A,求1 cos的取值范围 【高一数学期末自测第4页（共4页）】 26-L-731A ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 高一数学期末自测·参考答案、提示及评分细则 1.A2=1十i-(2+3i)=一1-2i.故选A. 2.D由a∥b,得4x十2=3x,解得x=一2.故选D. 3.C设应抽取的男同学人数为，由分层随机抽样可得号一40十30，解得m=48.故选C .440 4D设圆锥的高为k,则号h=停，解得A-3,母线长为VP+W3了-2，所以圆维的侧面展开图所对应 的扇形的圆心角为牙=元故选D 5.D若mLa,m⊥n,则n∥a或nCa,故A错误；若a⊥B,m∥a,n⊥B,则m与n可能平行，可能相交，可能异 面，故B错误；若mLn,mLa,n∥B,则α与B可能平行，可能相交，故C错误；两条平行直线，其中一条与一个 平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确.故选D 6.B不超过20的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，共8个，从中任选两个不同的质数，共有28个样本点，事件“n <4包含(2,3，(2,5).(3,5，(5,70.11,13,17,19)共6个样本点，则所求概率为号=是故选B 7.B由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=b+c2+bc=4bc,所以(b+c)2-bc=4bc,所以(b+c)2=5bc=5× 等-是，故6十(-号4由正弦定理品A品BC将n合午nC故s血B叶血C-告 b b+c sinA=53= 22 4 2.故选B. &A过点E作G1AB于G,令∠BAB=A由AB=BE,得AG号AB-1,应-店-g得- 1A=2,∠ACB=0,所以A花.励-范.c+CD)=A葩.B心-号A2·Ai=。·2·cos0合· cos0·2·cos0=1.故选A 9.BC将数据从小到大排列为52,52,53,54,55,56,56，众数是52和56，A错误；极差是56一52=4，B正确；7 ×0.6=4.2,所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确；该组数据的平均数为54，第5年 的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，D错误.故选BC. 10.BC取名=1,2=i,则1十经=1一1=0，A错误；若12=|名|2,12≠0，则之12=|1|2=21，可得 2=,所以Z,Z2关于x轴对称，B正确；设1=a十bi,2=c十di,则O乙=(a,b),O=(c,d),因为O ⊥OZ2,所以OZ·OZ2=ac+bd=0,所以|x1+2|=√/(a+c)2+(b+d)2=√a2+c2+6+, |之1-2|=√/(a-c)2+(b-d)z=√a2+c2十b2+d,所以|1十x2|=|-2|,C正确；因为1=1+i 是关于：的方程x++g=0的根，易得=1一i所以()-（吉） =i2026=i4X506+2=-1,D 错误.故选BC. 【高一数学期末自测·参考答案第1页（共6页）】 26-L-731A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 11.BC由AB=2,得正方体ABCD-AB,CD,的外接球的半径R=√2+2+2 D 2 √3，所以正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为4πX(W3)2=12π，A错误； 如图1，在平面ABCD内过点A作BD的平行线，由BP=DQ,BP∥DQ,知四边形 BDQP是平行四边形，所以BD∥PQ.又因为BD∥L,所以PQ∥BD∥L,所以L是平面 APQ与平面ABCD的交线，B正确；如图1，分别取PQ,BD的中点M,N,连接AN, (图1) MN,AM,则AP=AQ,AB=AD,PM=QM,BN=DN,所以AM⊥PQ,AN⊥BD.又PQ∥L∥BD,所以AM ⊥L,ANLL,所以∠MAN是平面APQ和平面ABCD所成的二面角的平面角，则Icos01=AN- AM ANx号PQVE×3×2wE S 2 AMX PQ ,C正确； 如图2，延长CC使得CT=BP,连接PT交B1C于点E,连接QT交C1D于点F, 则CT=B,P-号，BP-DQ-专，且AQ∥PT,AP∥Qr,所以平面APQ裁正方体A Q ABCD-A1B,CD,所得截面为五边形APEFQ.又AT⊥PQ,PQ=2√2，AT= √22+(2+号)-2@，所以△AQ的面积为2×2×-2 3 3 3 ,五 (图2) 边形APEFQ的面积为2+2平×-7，D错.误散选C 3 12.1500 设该池培内共有x条草鱼，则品-”，解得x=150,估计该池塘内有1500条草鱼， 13. 21 在正四棱台ABCD-A1BCD1中，AB=6,AB1=2,所以AC=6√2，A1C=2√2，又高为1，所以 AA= (62,2E)°+12=3，过点A作AB的垂线，垂足为E,易得AE=2,EB=4,所以AE= 2 √AA?-AE2=√5，A1B=√EB2+A1E=√2I,同理可得BC1=√2I.因为AC∥AC,所以∠CA1B为 直线AB与AC所成角或补角，在△C1A1B中，BC=√2I,A1B=√2I,A1C=22,由余弦定理得 1AB=CA+A1B2-CB(22)+(√21二√21）=4丝，即直线A,B与AC所 2C1A1·A1B 2X2W2X√2I 余张值为票。 14[2,) 在△ABC中，由余弦定理得a2=+C-26cosA,且△ABC的面积为S=名csnA,由2S=d -(b-c)2,得besin A-=2bc-2 becos A,化简得sinA+2cosA=2,又A∈(0，)，sin2A十cos2A=1,联立得 5sirA-4sinA-0,解得sinA=号或sinA=0(舍去)，所以名=m8= sin(A+C)= sin C sin C 血AosC结As血C-5C十号，因为△ABC为能角三角形，所以0<C<受，B=元-A-C<登，所 sin C 【高一数学期末自测·参考答案第2页（共6页）】 26-L-731A ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 以受-A<C<登，所以tan Ct(号-A)=aA=,所以acc(o,告)，所以2∈（号，号）.设名 =,其中：（停，号），所以“=名+后=+日，由对勾函数单调性知y=+}在（号，）上单调选 减，在(1，号)上单调递增，当=1时y=2:当t=时y-酷当=号时，=酷，所以y[2,酷)，即 的取值范围是[2，普) bc 15.解：(1)因为(2a十b)⊥(a-tb),所以(2a十b)·(a-b)=0, 2分 所以2a2+(1-2t)a·b-b2=0,即2×12+(1-2t)×2×1×cos 2x-tX22=0, …4分 解得4=之 …6分 (2)a·(3a+2b)=3a2+2a·b=3X12+2X1X2×(-号）=1， …8分 13a+2bl=√91a2+121a1b1cos5+4b12=√9+12×1×2X(-合)+4X2=V3,…11分 设向量a与3a+2b的夹角为0，则cos0=0,3a+2h 1 13 a3a+2b-√/13 13 …13分 16.解：(1)设每局比赛中，甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,甲、乙平局为事件C, 则P(A)-合×(1-号)-日，P(B)=(1-)×号=3， …4分 P(C)=1-P(A)-P(B)=1--= …6分 (2)设比赛进行3局就结束为事件D,第i局比赛中甲获胜为事件A;,第i局比赛中乙获胜为事件B:,i=1, 2,3, 则D=A1A2A3十A1A2A3+B1B2B3十B1B2B3, …9分 P(D)=P(AIA2A3)+P(AI A2A3)+P(B B2 B)+P(B]B2B3) …12分 =(1-若)×合×合+合×(1-日)×日+(1-号)×号×3+3×(1-吉)×日-a …15分 17.解：(1)根据题意，(0.015+0.020十a十0.025+0.010)×10=1，解得a=0.030. …3分 0.15×55+0.20×65+0.30×75+0.25×85+0.10×95=74.5, 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5.… 7分 (2)由频率分布直方图可知评分在[60,70)，[70,80)的频率比为2：3， 则样本中在[60,80)内的评分的平均数为号×64.5计号×74.5=70.5，.1分 样本中在[60,80)内的评分的方差为号×[14+(64.5-70.5)2]+号×[9+(74.5-70.5)2]=35， …15分 【高一数学期未自测·参考答案第3页（共6页）】 26-L-731A ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.解：(1)因为(b-a)(b十a)=c(b-c),所以bc=b2+c2-a2, 1分 由余孩定理得cosA公十城-会-名…3分 2bc 又A∈(0，π)，所以A= 3 …4分 (2)法一：由(1)知A=于，所以B+C=三， 3, 四为方-密 sm(-B） 3 sin B sin B …6分 [0<B<受， 又△ABC为锐角三角形，则 所以石<B<,…8分 0<-B< 所以mB所以<号十2B<2,即后的原值范周是（分2.…10分 法二：设6=t(>0), 由(1)知bc=b十c2-a2,代人c=tb,得a2=(t2-t十1)b2,…6分 osB=4+-E>0, 2ac a2+c2-b2>0, 因为△ABC为锐角三角形，所以 即 osC=2+C>0, a2+62-c2>0, 2ab (t2-t+1)b2+tb2-b2>0, 2t2-t>0, 所以了 即 8分 (t2-t+1)b+b2-t262>0, -t+2>0, 解得2<<2，即6的取值范围是（分，2）. … …10分 (3)法-：设∠BAD=0,则∠CAD-号-0,0<0号， 在AABD中，部nDB在△ACD中， CD b n()sinADC' -3c 区知BaC乙C所盟号 …12分 所以2sin0=3sn(管-0)，即2sn0=3(停as0-合sn),解得m0-=39 7 所以m02亮m(子)-得 …14分 2√19 因为SAABC=SAABD十SAMD,所以之besin∠BAC= F2 ABXADXsin∠BAD+2 ACXADXsin∠CAD, 【高一数学期末自测·参考答案第4页（共6页）】 26-L-731A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 即时Xex号-号XeXADX渠+号XbXADX 2 ,解得AD= V19bc √1 3c+2b1 …16分 又+2-1，所以年26=1，所以AD=西。 …17分 法二：i设B市=1记，E0,1D,则励=产D心， c b= .3 因为咒-影所以产一器联立 解得 13分 c2 c=1-1 因为AD=AB+BD=AB+λBC-AB+λ(AC-AB)=(1-X)AB+AC, 所以AD=(1-)2AB+2(1-λ)AB.AC+2AC=(1-)2c2+1(1-入)bc+2, =1-(吕)》°+1-0是×名+（保）》广-10， …16分 所以AD=√19. …17分 19.(I)证明：因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=号，所以△BCD是等边三角形，AB∥CD, 因为点E是CD的中点，所以BE⊥CD,BE⊥AB.… …1分 因为平面MAB⊥平面ABCD,平面MAB∩平面ABCD=AB,BEC平面ABCD,BE⊥AB,所以BE⊥平面 MAB, …3分 又BEC平面MBE,所以平面MAB⊥平面MBE.… …4分 (2)解：因为△MAB为直角三角形，平面MAB⊥平面ABCD,所以三棱锥M-ABD的外接球球心一定在平 面ABD内，且为△ABD的外心 。。。。。。。。。。。。。。 6分 因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=否，所以△ABD是等边三角形，BD=AB=2,由正弦定 BD 理，得2R=sin∠BAD3 =4y5(R为△ABD的外接圆半径)，解得R=2,即三棱锥M-ABD的外接球半径 3 为的 …8分 所以三校锥M-ABD外接球的表面积为红(2)”-1 9分 (3)解：取AB的中点G,作MN⊥AB,垂足为N,连接MG,FG,FN. 因为平面MAB⊥平面ABCD,平面MAB∩平面ABCD=AB,MNC平面MAB,MN⊥AB,所以MN⊥平面 ABCD,∠MFN为MF与平面ABCD所成的角，∠MFN=A. …11分 ①若N在线段GB(不含端点)上，如图1，设∠MGN=a,a∈(0，)， 因为MALMB,.G为AB的中点，所以MG=2AB=1,MN=sina,GN=cosa, 【高一数学期末自测·参考答案第5页（共6页）】 26-L-731A ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 因为F,G分别是BD,AB的中点，所以FG/AD,FG=AD=1,又∠BAD=吾，所以∠FGN=哥，由余 弦定理，得NF2=1+cos2a-cosa, 所以dgt0+1-g+1=1+owos。 sin a 2-cos a +1-1+cos a-cos a 令2-cosa=t,由a∈(0，受)，得∈(1,2)， 0-3-82…-3 1 所以一 1一=25+3，当且仅当t=3,即c0sa=2-√3时取“=” 3 又1,2)，所以的取值范围为(1,2+3] …14分 3 图1 图2 ②若V在线段GA上（不含端点），如图2，设∠MGN=B,8∈(O,受)， 因为MG=1,所以MN=sinB,GN=cosB, 又FG/AD,∠BAD=号，所以∠FGN=,由余弦定理，得NF=1十cos9叶cosB, sin2B 2+cos B 所以co0ta9叶1击os s日+I7 +sos 令2+os=s,由c(0,交)，得s∈(2,3)，所以1 1 39g-3s+3s+3-3 令y=s+-3,e(23),任取1∈2,3)<， 则n一为=十号-一是=一g+3》=8=3》, S1 S2 S1S2 因为51，∈(2,3)，<2，所以1-2<0，>4，故1一2=（1-）Cs19-3)<0,即1<， S1S2 所以y=+-3在(2,3)上单调递增，且y(分，1)，所以的取值粒围为1,2.…16分 ③若N与G重合，则MN=MG=1,NF=FG=1, 00+1-份+1=2 1 综上所述，3的取值范围为(1,2+3] …17分 【高一数学期末未自测·参考答案第6页（共6页）】 26-L-731A 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣