精品解析：陕西省西安中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

西安中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则的虚部是 A. B. C. D. 3. 下面是不同成对数据的散点图（如图），从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 5. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 7. 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 在区间上值域为 C. 函数是奇函数 D. 其图象关于直线对称 8. 将1，2，3…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中第5项的二项式系数最大 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中项的系数为448 10. 下列说法正确的是（ ） A. 3个不同的邮件投入到4个不同的邮箱，有种投法 B. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次 C. 若把英文“sorry”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法 11. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ） A. B. 一等奖与三等奖的作品数之比为 C. D. 12. 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（ ） A. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且 C. 若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D. 若，，，，则 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 13. 样本数据8，6，2，7，8，9，10的极差为______． 14. 已知，则______． 15. 正的三个顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表面积为______ ． 16. 害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各：城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在省的发展情况，省某调查机构从该省抽取了个城市，分别收集和分析了网约车的两项指标数，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标数 指标数 经计算得： （1）试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； （2）建立关于的回归方程，并预测当指标数为时，指标数的估计值. 附：相关公式：， 参考数据： 18. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 19. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 20. 某公司为了解员工对人工智能模型的了解程度，组织了相关的知识答题竞赛，若规定成绩在80分（满分为100分）及以上为“比较了解”，80分以下为“不太了解”，随机抽取200名员工的成绩，得到如下表的数据： 了解程度 性别 合计 男性 女性 比较了解 90 10 100 不太了解 70 30 100 合计 160 40 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断该公司员工对人工智能模型的了解程度是否与员工性别有关联； （2）设员工甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若该知识竞赛设置（且）道题，甲仅答对其中8道题的概率最大，求的值； （ii）若该知识竞赛设置5道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到5道题答完，用表示员工甲本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21. 2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； （1）若，求4次后停在初始点的概率； （2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； （3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分为，求的数学期望.（结果用与表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与指数函数单调性解不等式，结合集合运算求解 【详解】， ．故选C． 2. 已知复数，其中为虚数单位，则的虚部是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【详解】复数i，则z的虚部是-． 故选B． 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则及虚部的概念，考查了计算能力，属于基础题． 3. 下面是不同成对数据的散点图（如图），从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由散点图的趋势可知且接近1，且接近于， 因与对应的散点图非常分散，相关性较差，故与的绝对值较小，接近于0， 综上，最小. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得，可求出的值，继而根据，即可求得答案. 【详解】由题意知向量满足，且, 故，，即，即， 则， 故选：D 5. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知是奇函数，则，则， 因， 故． 6. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 7. 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上是减函数 B. 在区间上值域为 C. 函数是奇函数 D. 其图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】 先通过平移得到，再一一对照选项进行验证，即可得到答案. 【详解】对A，因为，所以，所以的递减区间为，不是递减区间的子区间，故A错误； 对B，因为，所以，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为，故B错误； 对C，因为，所以函数为偶函数，故C错误； 对D，当时，，故D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用，求解时注意左右平移是针对自变量而言的. 8. 将1，2，3…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出符合条件的排法数，再由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】先排四个角上的偶数，可以排2,4,6,8，有种结果，再排其他四个空位，有种结果， 所以基本事件总数为. 若每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15， 则先排左上角的数字，有种结果， 假设左上角的数字排2，右下角只能排8，右上角可排4或者6， 当右上角排4时，左下角只能是6； 当右上角排6时，左下角只能是4， 当四个角确定，其余位置的数字就确定， 所以共有种结果， 所以每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为. 故选：C. 二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中第5项的二项式系数最大 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中项的系数为448 【答案】BC 【解析】 【分析】选项，由二项式展开式共有项，即可判断；选项，根据二项式系数的性质，二项式系数先增后减中间项最大，可判断第5项的二项式系数最大；选项，令，对应的值即为展开式各项系数之和；选项，利用二项式定理的通项公式，令的次数为，代入计算即可. 【详解】选项，由二项式展开式共有项，可知展开式共有项，错误； 选项，根据二项式系数的性质，二项式系数先增后减中间项最大， 因为展开式共有项， 所以第5项的二项式系数最大，正确； 选项，令，则，即展开式各项的系数之和为1，正确； 选项，设第项为， 令，则， 所以展开式中项的系数为，错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 3个不同的邮件投入到4个不同的邮箱，有种投法 B. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次 C. 若把英文“sorry”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用分步计数原理，可判定A错误，利用组合定义和组合数的计算公式，可判定B正确；根据排列定义和排列数公式，可判定C正确；根据先分组，后分配的方法，可判定D错误. 【详解】对于A，把 3个不同的邮件投入到4个不同的邮箱， 根据分步计数原理，可得有种不同投法，所以A错误； 对于B，由6个朋友聚会，见面后每两人握手一次， 根据组合数的公式，可得共握手次，所以B正确； 对于C，先对字母进行全排列，有种不同的排法， 再在4个空隙中插入两个字母，可分为插入1个空隙或插入2个空隙，有种， 所以sorry的字母排列共有种排法， 其中正确的排法只有1种，所以把英文“sorry”的字母顺序写错有种，所以C正确； 对于D， 先将4名医护人员分为两组，若一组1人另一组3人，有种分法， 若一组2人另一组2人，有种分法， 再将4人安排到呼吸、感染两个科室，共有种不同的安排方法，所以D错误. 11. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ） A. B. 一等奖与三等奖的作品数之比为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，即可表示男、女生获一、二、三等奖的作品数，再根据求出与的关系，从而一一判断即可. 【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件， 则男生获一、二、三等奖的作品数为、、， 女生获一、二、三等奖的作品数为、、， 因为，所以， 所以，故A正确； ，故C错误； 一等奖与三等奖的作品数之比为，故B正确； ，故D正确； 故选：ABD 12. 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（ ） A. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且 C. 若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D. 若，，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用古典概型计算可判断A；利用二项分布的方差公式计算可判断B；根据题意可得，计算可判断C；由二项分布的概率公式求得，进而可求得判断D. 【详解】对于A项，第一次抽到红色小球且第二次抽到黄色小球的概率为，故A项正确； 对于B项，有放回地抽取抽取6次小球，变量， 所以， 则，故B项错误； 对于C项，依题意得，得，所以黑色小球的个数为，故C项正确； 对于D项，因为，， 所以有，解得，则， 因此，故D项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 13. 样本数据8，6，2，7，8，9，10的极差为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据极差的概念直接求解即可. 【详解】样本数据8，6，2，7，8，9，10的最大值与最小值分别为10，2，则所求极差为． 故答案为：8 14. 已知，则______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】解：由题意得： ∵， ∴． 故答案为： 15. 正的三个顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表面积为______ ． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知截面小圆的半径,又,所以 16. 害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将非线性模型两边同时取对数可得，再将样本中心点代入回归方程可得，即可计算出. 【详解】对两边同时取对数可得； 即，可得 由可得， 代入可得，即，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各：城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在省的发展情况，省某调查机构从该省抽取了个城市，分别收集和分析了网约车的两项指标数，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标数 指标数 经计算得： （1）试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； （2）建立关于的回归方程，并预测当指标数为时，指标数的估计值. 附：相关公式：， 参考数据： 【答案】（1）0.95，与具有较强的线性相关关系（2）估计值为 【解析】 【分析】 （1）直接利用公式计算得到，得到答案. （2）计算得到回归方程为，代入数据计算得到答案. 【详解】，，， 相关系数， 因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）由可知，，， 所以与之间线性回归方程为，当时，. 当指标数为时，指标数的估计值为. 【点睛】本题考查了相关系数，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】（1）62； （2）71； （3）455. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. 【小问3详解】 由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 19. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 20. 某公司为了解员工对人工智能模型的了解程度，组织了相关的知识答题竞赛，若规定成绩在80分（满分为100分）及以上为“比较了解”，80分以下为“不太了解”，随机抽取200名员工的成绩，得到如下表的数据： 了解程度 性别 合计 男性 女性 比较了解 90 10 100 不太了解 70 30 100 合计 160 40 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断该公司员工对人工智能模型的了解程度是否与员工性别有关联； （2）设员工甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若该知识竞赛设置（且）道题，甲仅答对其中8道题的概率最大，求的值； （ii）若该知识竞赛设置5道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到5道题答完，用表示员工甲本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关联 （2）（i） （ii） 1 2 3 4 5 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解； （ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 零假设为：该公司员工对人工智能模型的了解程度与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即公司员工对人工智能模型的了解程度与性别有关联. 【小问2详解】 （i）设随机变量为甲答对题目的个数，则， 则，， 因为甲仅答对其中8道题的概率最大， 所以， 即：， 解得，又，则. （ii）的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 故. 21. 2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； （1）若，求4次后停在初始点的概率； （2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； （3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分为，求的数学期望.（结果用与表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验得到概率计算公式，即可求解； （2）设事件：机器人移动3次后停在初始点前方，结合 ，即可求解； （3）根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件：机器人移动4次后停在初始点，机器人移动4次后停在初始点， 可得4次中有两次移动向前，有两次移动向后，可得. 【小问2详解】 设事件：机器人移动3次后停在初始点前方， 可得若机器人移动3次后停在初始点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次， 所以. 【小问3详解】 第一轮测试结束进入第二轮测试的情况有2种，分别是3次向前；2次向前、1次向后， 则其概率为， 所以，随机变量的所有可能取值为， 可得， ， 所以， 则 ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $