精品解析：陕西西安市庆安高级中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校要选取名同学参加全市的作文比赛，高一年级推荐了人，高二年级推荐了人，高三年级推荐了人，则可选择的方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 下列散点图中，两个变量正相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，，，，且密度曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 由数字组成的没有重复数字的四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，2，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 给图中A，B，C三个区域涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻区域不用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 24种 B. 20种 C. 18种 D. 16种 7. 件不同的商品中含有1件次品，随机抽取4件，抽到的次品数的均值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某足球队共有名球员，其中主力球员名，替补球员6名．假设主力球员定点射门的命中率为，替补球员定点射门的命中率为，现从该球队球员中随机抽取1名球员进行定点射门，其命中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中所有项的二项式系数的和为 10. 袋中有（）个白球和4个黑球，从中任取1个球，记事件为取到白球．设p：；q：，则（ ） A. 当时， B. 是的充分不必要条件 C. 当时，为假命题 D. 是的充分不必要条件 11. 某地区流行一种传染病，人群中感染率为5%.现有两种检测试剂： 试剂A：对感染者的检测阳性率为95%，对未感染者误检测阳性率为10%. 试剂B：对感染者的检测阳性率为90%，对未感染者误检测阳性率为5%. 已知医生对甲仅使用试剂A检测，对乙仅使用试剂B检测，对丙使用试剂A检测，试剂B复检，四次检测结果独立.下列说法正确的有（ ） A. 若甲的检测为阳性，则甲实际感染的概率约为33% B. 若乙的检测为阳性，则乙实际感染的概率低于甲的检测为阳性时甲实际感染的概率 C. 若丙的两次检测均为阳性，则丙实际感染的概率不低于90% D. 若乙的检测为阴性，则乙实际感染的概率高于0.6% 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 某学校组织安全知识竞赛，有A，B两类问题，每人选6道A类问题和4道B类问题回答，已知甲同学能正确回答A，B两类问题中每道题的概率分别为0.8，0.6，每道题答对与否相互独立，记甲同学共正确回答了X道题，则________． 注：设X，Y为两个随机变量，则． 14. 将编号为1，2，3，4，5的5个小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子放1个小球，要求只有编号为1，2的盒子中放入的小球的编号比盒子编号大，则不同的放法有_________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某科研团队为了研究睡眠不足与腹部肥胖之间的关联，邀请了200名志愿者参与研究，这些志愿者都处于久坐环境且食物不限量供应.将志愿者随机分成两组，缺觉组每天只能睡4小时，饱睡组睡饱睡足，每天不超过9小时，持续2周后，得到如下数据. 受试者 腹部脂肪面积 合计 无明显变化 显著增加 缺觉组 20 80 100 饱睡组 80 20 100 合计 100 100 200 （1）缺觉组、饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率分别是多少？ （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联？ 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 某农业科学院培育了西瓜新品种，从该新品种西瓜中随机抽取100个，测量它们的重量（单位：克），根据测量结果得到如下频率分布直方图. （1）求这100个西瓜重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，该新品种西瓜的重量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，求． 附：取． 若，则，． 17. 近年来，我国在大力发展清洁能源来替代化石能源.天然气、水电、核电、风电等清洁能源消费量占能源消费总量的比重逐年增长.以下是2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重数据：19.5%，20.3%，22.1%，23.3%，24.3%，25.5%，26.0%，26.4%，28.6%. （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这9个数据中任选3个，求恰有2个数据在25.0%以上的概率； （3）若2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重y关于年份x的经验回归方程为，年份x的平均数为2020，预测2028年该地清洁能源消费量占能源消费总量的比重. 18. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． （2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 19. 某精密零件制造厂的自动化生产线有三种运行状态：正常生产（状态1），小幅故障（状态2），严重故障停机（状态3）．状态转移符合马尔可夫性，相邻1小时的转移概率矩阵为，其中表示当前处于状态i时，下一小时转移到状态j的概率，如表示当前处于状态1时，下一小时转移到状态2的概率为0．3．初始时（第1小时）生产线处于正常生产状态.不同状态下的利润如下：状态1下每小时的利润为5000元，状态2下每小时的利润为2000元，状态3下每小时亏损3000元． 设为第n小时处于状态1的概率，为第n小时处于状态2的概率，为第n小时处于状态3的概率． （1）求第2小时生产线出现严重故障停机的概率，以及第2小时的期望利润． （2）求数列的通项公式． （3）若生产线长期不间断运行，求单小时期望利润的极限值（平稳分布下的期望利润）． 平稳分布是马尔可夫链长期运行后的稳定概率分布，简单来说：当状态转移过程运行足够长时间后，各状态的发生概率不再随时间变化，达到“动态稳定”，这个不随时间改变的概率分布就是平稳分布． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校要选取名同学参加全市的作文比赛，高一年级推荐了人，高二年级推荐了人，高三年级推荐了人，则可选择的方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，若选中的同学来自高一年级，则有3种选择方案； 若选中的同学来自高二年级，则有4种选择方案； 若选中的同学来自高三年级，则有5种选择方案． 根据分类加法计数原理，则总共可选择的方案有种. 2. 下列散点图中，两个变量正相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布趋势判断变量间的相关性即得. 【详解】对于A，散点图中的点大致分布在从左上角到右下角的带状区域内， 故两个变量负相关，即A不合题意； 对于B，散点图中的点分布在一条曲线附近，随着的增加，先增加后减少， 故两个变量非线性相关，故B不合题意； 对于C，散点图中的点分布杂乱无章，无明显规律， 故两个变量不相关，即C不合题意； 对于D，散点图中的点大致分布在从左下角到右上角的带状区域内， 故两个变量正相关，故 D符合题意. 3. 已知随机变量，，，，且密度曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的性质结合条件即可求解. 【详解】由正态密度曲线的性质可知： ，的正态密度曲线分别关于对称， 越小密度曲线越“高瘦”， 由图可得：， 4. 由数字组成的没有重复数字的四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据排列数计算公式可得：，  即满足条件的四位数共有个. 5. 已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，2，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为 6. 给图中A，B，C三个区域涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻区域不用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 24种 B. 20种 C. 18种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先从4种颜色中选3种颜色，再涂A，B，C三个区域，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【详解】图中A，B，C三个区域涂色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻区域不用同一种颜色， 可先从4种颜色中选3种颜色，再涂A，B，C三个区域， 则不同的涂色方法有种不同的涂法. 7. 件不同的商品中含有1件次品，随机抽取4件，抽到的次品数的均值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设次品数为，则的可能取值为， 则， ， 故期望为． 8. 已知某足球队共有名球员，其中主力球员名，替补球员6名．假设主力球员定点射门的命中率为，替补球员定点射门的命中率为，现从该球队球员中随机抽取1名球员进行定点射门，其命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设事件为抽到主力球员，则，命中率， 事件为抽到替补球员，则，命中率， 由全概率公式得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法，结合二项展开式的通项、二项式系数和的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：令，可得，即，A正确； 对于B：展开式通项为，令，得，B正确； 对于C：令，可得，代入，可得，C错误； 对于D：二项展开式所有项的二项式系数和为，即，D正确. 10. 袋中有（）个白球和4个黑球，从中任取1个球，记事件为取到白球．设p：；q：，则（ ） A. 当时， B. 是的充分不必要条件 C. 当时，为假命题 D. 是的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用概率公式解出命题和成立时的取值集合，再通过比较这两个集合的包含关系来判断充分必要条件并验证各选项. 【详解】由题意得，解得， 结合，命题成立的条件是， 命题成立的条件是， 即集合，集合， 对于A，代入得，故A正确； 对于B， 因为集合不是集合的子集，所以不是的充分条件，故B错误； 对于C，因为满足，所以为真命题，故C错误； 对于D，集合是集合的真子集，则是的充分不必要条件，故D正确. 11. 某地区流行一种传染病，人群中感染率为5%.现有两种检测试剂： 试剂A：对感染者的检测阳性率为95%，对未感染者误检测阳性率为10%. 试剂B：对感染者的检测阳性率为90%，对未感染者误检测阳性率为5%. 已知医生对甲仅使用试剂A检测，对乙仅使用试剂B检测，对丙使用试剂A检测，试剂B复检，四次检测结果独立.下列说法正确的有（ ） A. 若甲的检测为阳性，则甲实际感染的概率约为33% B. 若乙的检测为阳性，则乙实际感染的概率低于甲的检测为阳性时甲实际感染的概率 C. 若丙的两次检测均为阳性，则丙实际感染的概率不低于90% D. 若乙的检测为阴性，则乙实际感染的概率高于0.6% 【答案】AC 【解析】 【分析】利用贝叶斯公式依次分析求解即可. 【详解】设：实际感染，：未感染,则，， 记表示试剂A检测阳性，表示试剂A检测阴性，表示试剂B检测阳性，表示试剂B检测阴性， 则试剂A：， 试剂B：, 对于A项，根据贝叶斯公式 ，故A正确； 对于B项，根据贝叶斯公式 ， 因为，所以若乙的检测为阳性，则乙实际感染的概率高于甲的检测为阳性时甲实际感染的概率，故B错误； 对于C项，丙使用试剂A检测，试剂B复检，两次检测结果独立， 则丙两次检测均为阳性的概率为, 两次检测均为阳性的概率为 ， 由贝叶斯公式，故C正确； 对于D项，， 根据贝叶斯公式，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的相等性质列出方程，分析求解即可. 【详解】由，根据组合数性质可得：或， 当时，解得：，不满足， 当时，解得：，此时有：成立，也满足. 13. 某学校组织安全知识竞赛，有A，B两类问题，每人选6道A类问题和4道B类问题回答，已知甲同学能正确回答A，B两类问题中每道题的概率分别为0.8，0.6，每道题答对与否相互独立，记甲同学共正确回答了X道题，则________． 注：设X，Y为两个随机变量，则． 【答案】7.2（或） 【解析】 【分析】将总答对题数拆分为A类、B类答对题数之和，分别计算两类答对题数的期望，再利用期望的可加性求和得到结果. 【详解】设甲同学正确回答A类问题的题数为随机变量，正确回答B类问题的题数为随机变量，则， 由题意可知，，得：， 同理，因此：， 根据题目给出的期望线性性质，可得：. 14. 将编号为1，2，3，4，5的5个小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子放1个小球，要求只有编号为1，2的盒子中放入的小球的编号比盒子编号大，则不同的放法有_________种． 【答案】 【解析】 【分析】对1号盒子所选小球分类讨论，依次计算每类下满足2号盒子要求、剩余盒子都不满足“球编号大于盒子编号”的放法数，求和得到最终结果. 【详解】根据1号盒子内放入小球的编号分四类情况讨论： （1）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号盒子放号球，号盒子分别放号球，则不同的放法只有1种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时号盒子只能放号球，号球分别放入号盒子，不同的放法有种； ③若号盒子放号球，则剩余小球编号为，其中号球可放入号或号盒子，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； 即此时共有不同的方法种； （2）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号盒子放号球，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时号球可放入号盒子中任意一个，号球可分别放入号盒子中的一个，不同的放法有种； 即此时不同的放法共有种； （3）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号盒子放号球，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； 则不同的放法共有种； （4）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号球可放入号或号盒子，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； 即此时不同的放法共有种； 综上，不同的放法有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某科研团队为了研究睡眠不足与腹部肥胖之间的关联，邀请了200名志愿者参与研究，这些志愿者都处于久坐环境且食物不限量供应.将志愿者随机分成两组，缺觉组每天只能睡4小时，饱睡组睡饱睡足，每天不超过9小时，持续2周后，得到如下数据. 受试者 腹部脂肪面积 合计 无明显变化 显著增加 缺觉组 20 80 100 饱睡组 80 20 100 合计 100 100 200 （1）缺觉组、饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率分别是多少？ （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联？ 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）； （2）有的把握推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解； （2）根据表格中的数据，求得，结合附表中参考数值，即可求解. 【小问1详解】 解：由表格中的数据知，缺觉组志愿者共100人，其中腹部脂肪面积显著增加的有80人， 所以缺觉组志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率为， 饱睡组的志愿者共100人，其中腹部脂肪面积显著增加的有20人， 所以饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率为. 【小问2详解】 解：根据列联表中的数据，可得， 因为，根据小概率值的独立性检验， 所以有的把握推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联. 16. 某农业科学院培育了西瓜新品种，从该新品种西瓜中随机抽取100个，测量它们的重量（单位：克），根据测量结果得到如下频率分布直方图. （1）求这100个西瓜重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，该新品种西瓜的重量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，求． 附：取． 若，则，． 【答案】（1）样本平均数，样本方差 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组中点值乘以对应频率求和可得平均数，再利用方差公式计算可得样本方差； （2） 根据正态分布的  原则，结合计算出的均值和标准差，确定区间端点与  的关系，从而求解概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为 100， 各组的中点值依次为：； 各组的频率依次为：， 故样本平均数 ， 样本方差 为： . 【小问2详解】 由（1）可知，, 所以, 因为 取，所以, 故， 。 所以。 根据正态分布的性质，知， 对于连续型随机变量，开区间与闭区间的概率相等， 故. 17. 近年来，我国在大力发展清洁能源来替代化石能源.天然气、水电、核电、风电等清洁能源消费量占能源消费总量的比重逐年增长.以下是2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重数据：19.5%，20.3%，22.1%，23.3%，24.3%，25.5%，26.0%，26.4%，28.6%. （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这9个数据中任选3个，求恰有2个数据在25.0%以上的概率； （3）若2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重y关于年份x的经验回归方程为，年份x的平均数为2020，预测2028年该地清洁能源消费量占能源消费总量的比重. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用极差、中位数的定义求解即可； （2）利用古典概型直接求解即可 （3）根据经验回归方程必过样本中心点，代入可求出，得到回归直线方程即可求解. 【小问1详解】 将数据从小到大排序得到：19.5%，20.3%，22.1%，23.3%，24.3%，25.5%，26.0%，26.4%，28.6% 所以极差为. 中位数为. 【小问2详解】 以上的数据共有4个， 故恰有2个数据在以上的概率为. 【小问3详解】 这组数据的平均数为. 由直线过点， 则， 所以经验回归方程为. 当时，. 18. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． （2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 【答案】（1） （2）应该选择方案一 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【小问1详解】 每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. 【小问2详解】 由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 19. 某精密零件制造厂的自动化生产线有三种运行状态：正常生产（状态1），小幅故障（状态2），严重故障停机（状态3）．状态转移符合马尔可夫性，相邻1小时的转移概率矩阵为，其中表示当前处于状态i时，下一小时转移到状态j的概率，如表示当前处于状态1时，下一小时转移到状态2的概率为0．3．初始时（第1小时）生产线处于正常生产状态.不同状态下的利润如下：状态1下每小时的利润为5000元，状态2下每小时的利润为2000元，状态3下每小时亏损3000元． 设为第n小时处于状态1的概率，为第n小时处于状态2的概率，为第n小时处于状态3的概率． （1）求第2小时生产线出现严重故障停机的概率，以及第2小时的期望利润． （2）求数列的通项公式． （3）若生产线长期不间断运行，求单小时期望利润的极限值（平稳分布下的期望利润）． 平稳分布是马尔可夫链长期运行后的稳定概率分布，简单来说：当状态转移过程运行足够长时间后，各状态的发生概率不再随时间变化，达到“动态稳定”，这个不随时间改变的概率分布就是平稳分布． 【答案】（1）第2小时严重故障概率为，期望利润为元； （2）； （3）单小时期望利润的极限值为元. 【解析】 【分析】（1）根据初始时生产线处于正常生产状态的条件，利用转移概率计算得到第2小时各状态的概率，进而得到严重故障停机的概率，再结合不同状态的每小时利润计算得到第2小时的期望利润； （2）根据马尔可夫状态转移规则写出​的递推关系，结合消去​得到​的一阶线性递推公式，再结合初始条件求解得到数列的通项公式； （3）利用平稳分布概率不随状态转移改变的性质，建立关于各状态平稳概率的线性方程组，求解得到平稳分布后，结合各状态的单位利润计算得到单小时期望利润的极限值. 【小问1详解】 初始时第1小时生产线处于状态1，即 ， 根据转移概率，第2小时处于状态3（严重故障）的概率： ； 同理得第2小时各状态概率：， 期望利润为：（元）， 即第小时的期望利润为元. 【小问2详解】 由全概率公式得递推关系：，又， 所以，所以， 同理得，所以，所以， 所以当时，， 初始条件，构造等比数列，设，解得， 因此是公比为的等比数列，首项， 因此：， 所以 综上，的通项为. 【小问3详解】 平稳分布下，， 满足： ， 解得， 因此期望利润的极限为： （元）， 即单小时期望利润的极限值为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $