精品解析：天津市咸水沽第一中学2025-2026学年第二学期第二次月考高二数学试题

2025~2026学年度第二学期第二次月考 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先解出或，或，再由集合的并集运算即可． 【详解】由，得或，即或， 所以或， 由，得，解得或， 所以或， 所以或． 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合幂函数的单调性和奇偶性，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 因此等价于， 当成立时，不一定成立，所以充分性不成立； 当成立时，不一定成立，所以必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 3. 已知函数，，则图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项AB，利用奇偶函数的定义得解；选项C，利用奇偶函数的定义得到是奇函数，利用导数法得到在上单调递增，从而得解；根据排除法可判断ABC不符题意. 【详解】选项A：设，定义域为， ， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项A错误. 选项B：设， 奇偶性：， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项B错误. 选项C：设， ， 则是奇函数，符合对称性. ， 在上恒成立，函数在上单调递增， 与图像先增后减不符，选项C错误. 因此排除ABC，只有D符合题意. 4. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：若与满足一元线性回归模型，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） 时间（个月） 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 当时，残差为0.2 D. 可以预测当时房屋交易量约为2.05万套 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由表格数据交易量变化情况可判断选项正误；对于B，由回归方程过可判断选项正误；对于CD，由回归方程及残差定义可判断选项正误. 【详解】对于A，由表格数据可得随着时间变化，交易量随之增加，则变量与正相关，故A正确； 对于B，由题可得，将代入回归方程可得：，故B正确； 对于C，由回归方程可得当时，估计值为，则残差为：，故C错误； 对于D，当时房屋交易量约为万套，故D正确． 5. 现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中选2个景点进行游览，则这两位选的景点恰有1个景点相同的选法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理，先确定两人共同选择的景点，再为两人分别选择不同的剩余景点即可计算总选法． 【详解】先选取两位游客相同的景点，从6个景点中任选1个，共有6种选法， 再确定两人剩余的不同景点，第一位游客从剩下5的个景点中任选1个，有5种选法， 第二位游客从剩余的4个景点中任选1个，有4种选法， 综上，共有种选法． 6. 已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 7. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义分析可知函数的一个周期为2，且，，结合函数单调性比较大小即可. 【详解】因为函数为偶函数，则， 又因为函数为偶函数，则， 可得，可知函数的一个周期为2， 则，且， 当时，是减函数， 因为，则，所以. 8. 若函数存在极大值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点与的解的关系求解. 【详解】，函数定义域是， 存在极大值点，则存在正数解，且在此解右侧，在此解左侧，， 所以有两个不等的正数解， 所以，解得. 9. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出的范围. 【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点， 则当时，直线与射线有一个交点， 当时，直线与函数有2个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图， 令直线与图象相切的切点为，由求导得：， 则，解得，即直线与图象相切时，， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 由，解得， 由，得，即， 因此，函数在上递减， 当时，，所以的取值范围是. 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. 若随机变量，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正态分布的对称性得到答案． 【详解】因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 故答案为：0.26． 11. 的二项展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为. 故答案为： 12. 现从某市市民中随机抽取300人对是否使用互联网购物进行调查，得到下列的列联表.根据表中数据，我们得到的统计学的结论是：在犯错误不超过______的情况下认为“使用互联网购物与年龄有关”. 年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 160 200 不常使用互联网购物 合计 70 300 附： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.272 2.706 3.841 5.024 6.635 其中， 【答案】0.10 【解析】 【分析】先补全列联表，代入卡方公式，计算的观测值，对照临界值表确定对应的犯错误概率上限. 【详解】由总样本量为300，非年轻人合计70，所以年轻人合计30070230； 经常使用互联网购物的合计200，其中年轻人160，所以经常使用互联网购物的非年轻人为20016040；不常使用互联网购物的合计300200100，其中不常使用互联网购物的年轻人为23016070，不常使用互联网购物的非年轻人为704030. 补全后列联表如下： 年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 160 40 200 不常使用互联网购物 70 30 100 合计 230 70 300 所以， 因为，对应. 因此在犯错误的概率不超过0.10的情况下认为“使用互联网购物与年龄有关”. 13. 正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先把等式变形，再结合基本不等式计算最小值即可得出参数范围. 【详解】因为正实数，满足，则， 所以， 当且仅当时取等号， 存在这样的，使不等式有解，则， 则，所以实数的取值范围是 14. 甲、乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球，同学从乙箱子中随机摸出2个球，则2个球颜色不全相同的概率是______.同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为3或6，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为1，2，4，5，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么同学摸到红球的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知2个球颜色不全相同，则有1红1白，根据古典概型分析求解；设相应事件，根据题意可知相应的概率，利用全概率公式运算求解. 【详解】乙箱中有6个红球，2个白球，从乙箱中摸2个球的总基本事件数为， 2个球颜色不全相同等价于1红1白，对应事件数为，由古典概型概率公式，得. 记“一枚质地均匀的骰子，点数为3或6”为事件，“B同学摸到红球”为事件， 则， 所以. 15. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解. 【详解】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 所以不等式的解集是. 三、解答题（共5题，满分75分.） 16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek培训.培训结束之后，公司举行了一次DeepSeek专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. （1）若这8道题中甲能答对其中6道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为元，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下： 数学期望为元 【解析】 【分析】（1）由题知的取值为，而甲进入决赛需答对3或4道题，利用组合数计算概率即可. （2）由题可知的取值为，再利用二项分布计算概率，写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 记为甲在预赛答对的题数，则的取值为， ，， 记甲进入决赛为事件， 则甲进入决赛的概率为． 【小问2详解】 由题可知的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下： （元）， 即甲获得奖金的数学期望为元． 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出； （3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则：  整理得：，又，解得. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. （1）求椭圆的方程； （2）直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）因为、，所以、， 又因为在椭圆上，所以，， 所以，， 则. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求得椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）由点差法计算可求得为定值；（ⅱ）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消去，由韦达定理结合弦长公式可得，求解即可求得直线的方程. 【小问1详解】 由椭圆：，可得，右焦点， 所以，所以， 又，所以， 又椭圆的离心率为，所以，所以， 解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略. （ⅱ）显然直线与轴不重合，设直线的方程为，, 由,得， 所以，解得. 由根与系数的关系可得， 所以， ， 由，得， 所以，即， 解得或（舍去），所以， 所以直线的方程为.. 19. 已知正项等比数列的前项和为，且，等差数列前项和为，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，若，对任意的正整数都有恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1），， （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由条件根据等比数列通项公式列方程求公比，可得的通项公式，利用等差数列的前项和公式列方程求的首项和公差，由此可求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和，利用裂项相消法求数列的前项和，结合分组求和法求数列的前项和； （3）由（1）求，由条件可得，判断数列的单调性求其最值，由此可得，结合基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，故， 因为，所以，又， 所以，故或（舍去）， 当时，，， 设数列的公差为， 由，，得，， 解得，，所以； 【小问2详解】 令为的前项和，则， ， 所以， 所以， 所以； 令为的前项和，则 所以. 故 ， ， 即； 【小问3详解】 因为，， 故恒成立 设 时，； 时，， ， 恒成立，即恒成立， ，当且仅当时等号成立， ，故的最大值为. 20. 已知函数，. （1）若，求的取值范围； （2）求证：存在唯一极大值点，且知； （3）求证：. 【答案】（1） （2）证明：由，则， 再令， 因为在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为当时，，， 于是存在，使得，即，① 并且当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 于是存在唯一极大值点，且. （3）证明：由（1）知，当时，， 又，所以， 于是当时，， 由（2）并结合①得： 易知在时单调递减， 所以， 设，其中， 因为在时恒成立， 所以在时单调递增，于是， 从而有， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）将，转化为恒成立，利用导数法求解； （2）求导，再令，再利用导数法结合零点存在定理证明； （3）由（1）知，得到，由（2）知，易得，再令，利用导数法证明即可. 【小问1详解】 由，可得恒成立， 令， 则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以， 故的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期第二次月考 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，，则图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：若与满足一元线性回归模型，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） 时间（个月） 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 当时，残差为0.2 D. 可以预测当时房屋交易量约为2.05万套 5. 现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中选2个景点进行游览，则这两位选的景点恰有1个景点相同的选法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 300种 6. 已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在极大值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. 若随机变量，且，则____________． 11. 的二项展开式中的系数为______． 12. 现从某市市民中随机抽取300人对是否使用互联网购物进行调查，得到下列的列联表.根据表中数据，我们得到的统计学的结论是：在犯错误不超过______的情况下认为“使用互联网购物与年龄有关”. 年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 160 200 不常使用互联网购物 合计 70 300 附： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.272 2.706 3.841 5.024 6.635 其中， 13. 正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 14. 甲、乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球，同学从乙箱子中随机摸出2个球，则2个球颜色不全相同的概率是______.同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为3或6，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为1，2，4，5，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么同学摸到红球的概率为______. 15. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 三、解答题（共5题，满分75分.） 16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek培训.培训结束之后，公司举行了一次DeepSeek专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. （1）若这8道题中甲能答对其中6道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为元，求的分布列及数学期望. 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. （1）求椭圆的方程； （2）直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 19. 已知正项等比数列的前项和为，且，等差数列前项和为，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，若，对任意的正整数都有恒成立，求实数的最大值. 20. 已知函数，. （1）若，求的取值范围； （2）求证：存在唯一极大值点，且知； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $