天津市咸水沽第一中学2025-2026学年第二学期第二次月考高二数学试题

2025~2026学年度第二学期第二次月考 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，，则图象如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：若与满足一元线性回归模型，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） 时间（个月） 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 当时，残差为0.2 D. 可以预测当时房屋交易量约为2.05万套 5. 现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中选2个景点进行游览，则这两位选的景点恰有1个景点相同的选法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 300种 6. 已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在极大值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. 若随机变量，且，则____________． 11. 的二项展开式中的系数为______． 12. 现从某市市民中随机抽取300人对是否使用互联网购物进行调查，得到下列的列联表.根据表中数据，我们得到的统计学的结论是：在犯错误不超过______的情况下认为“使用互联网购物与年龄有关”. 年轻人 非年轻人 总计 经常使用互联网购物 160 200 不常使用互联网购物 合计 70 300 附： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.272 2.706 3.841 5.024 6.635 其中， 13. 正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 14. 甲、乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球，同学从乙箱子中随机摸出2个球，则2个球颜色不全相同的概率是______.同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为3或6，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为1，2，4，5，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么同学摸到红球的概率为______. 15. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______ 三、解答题（共5题，满分75分.） 16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek培训.培训结束之后，公司举行了一次DeepSeek专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. （1）若这8道题中甲能答对其中6道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为元，求的分布列及数学期望. 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. （1）求椭圆的方程； （2）直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 19. 已知正项等比数列的前项和为，且，等差数列前项和为，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，若，对任意的正整数都有恒成立，求实数的最大值. 20. 已知函数，. （1）若，求的取值范围； （2）求证：存在唯一极大值点，且知； （3）求证：. 2025~2026学年度第二学期第二次月考 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】0.10 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共5题，满分75分.） 【16题答案】 【答案】（1） （2）的分布列如下： 数学期望为元 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）因为、，所以、， 又因为在椭圆上，所以，， 所以，， 则. （ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1），， （2）； （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：由，则， 再令， 因为在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为当时，，， 于是存在，使得，即，① 并且当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 于是存在唯一极大值点，且. （3）证明：由（1）知，当时，， 又，所以， 于是当时，， 由（2）并结合①得： 易知在时单调递减， 所以， 设，其中， 因为在时恒成立， 所以在时单调递增，于是， 从而有， 所以原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $