精品解析：贵州遵义市第二十一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷

遵义市第二十一中学第一次阶段性测试 高二年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】． 故选：A. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 3. 已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 【答案】D 【解析】 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 5. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合同角三角函数的商数关系计算即可. 【详解】由二倍角公式知， 所以，故A正确. 7. 在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过作辅助线找到两个平面的交线，再利用平行关系将异面直线所成角转化为平面内两条相交直线所成的角，最后在直角三角形中计算正切值. 【详解】如图， 连接并延长交的延长线于点，则点为平面与平面的公共点， 所以即为直线，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 取的中点，连接，则， 设，则，，， 所以，所以异面直线与所成角的正切值为. 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据条件得，利用互斥事件的定义，即可求解；对于B，利用相互独立事件的判断方法，即可求解；对于C，直接求出，即可求解；对D，结合条件，利用条件概率公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，又， 则，所以与相互独立，故B正确， 对于C，因为，则，又， 所以，故C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解. 【详解】因为， A选项，的最小正周期为，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，因为，则， 所以函数在区间内单调递增，故C选项正确； D选项，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得，的图象，故D选项正确； 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】抛物线的焦点在直线上，则，解得， 对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确； 对于B，由，解得或，， ，为正三角形，B正确； 对于C，由选项B得，，，C错误； 对于D，点到直线的距离，，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】先将两名教师看成一组，再将平均分为两组，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】将六位教师分配到3所学校，每所学校分配2人，且分配到同一所学校， 先将两名教师看成一组，再将平均分为两组，有种分法， 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：. 13. 如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用内接圆柱结合勾股定理可得，再由基本不等式可得最大值时，从而可得表面积. 【详解】设内接圆柱的半径为，高为， 则由题意可得：， 该圆柱的侧面积为， 当时，上式等号成立， 则当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于， 故答案为：. 14. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在该椭圆上，且轴，直线与轴交于点.若，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由得出，再由离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点 在第二象限,则 ，设 ,. ,. 由 得 比较 坐标:，即 . 化简得，得 ，故离心率 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，进而得； （2）根据正弦定理得，再结合余弦定理得，最后计算面积即可. 【小问1详解】 解：设外接圆的半径为，则， 因为， 所以，即， 因为，， 所以， 因为，， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 解：因为外接圆的半径为，， 所以， 因为，， 所以，解得， 所以的面积为 16. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型结合组合数计算即可求解； （2）依题意求出随机变量的所有可能取值并求出每个取值相应的概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解数学期望； （3）先求出从袋中任取3个球为一种颜色的事件的概率、从袋中任取3个球都为黑色的事件的概率，再由条件概率定义即可计算求解. 【小问1详解】 设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件， 则； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 设从袋中任取3个球为一种颜色为事件，则， 设从袋中任取3个球都为黑色为事件，则， 则所求概率． 17. 已知点，点关于直线的对称点为. （1）求的外接圆的方程； （2）直线过抛物线的焦点，且与的外接圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用对称性质，由垂直与平分建立方程组得，结合图形可得为直角三角形，由几何法求出外接圆方程即可； （2）分斜率是否存在两种情况讨论，利用点到直线的距离可求得直线的方程. 【小问1详解】 设点由题意，解得，即， 的外接圆是以线段AB为直径的圆， 的中点为， 的外接圆方程是； 【小问2详解】 由抛物线，可得焦点， 由（1）可知与的外接圆方程为，所以圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆不相切； 当直线的斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，所以，解得， 所以直线的方程为或或. 18. 如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接，可得出平面，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 又因为平面，则平面， 因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、，、、、， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】（1）的方程为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列关于的不等式组求出即可求解； （2）由点差法求出直线斜率即可由点斜式求解； （3）联立直线方程与双曲线方程求出韦达定理，由韦达定理结合弦长公式求出弦长，再由点到直线距离和面积求出参数k即可由数量积坐标运算分析计算求解. 【小问1详解】 由题可得，所以的方程为； 【小问2详解】 设，则， 所以， 所以直线的方程为即； 【小问3详解】 由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二十一中学第一次阶段性测试 高二年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ）． A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 5. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有______种． 13. 如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 14. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在该椭圆上，且轴，直线与轴交于点.若，则该椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径为，且，求的面积. 16. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 17. 已知点，点关于直线的对称点为. （1）求的外接圆的方程； （2）直线过抛物线的焦点，且与的外接圆相切，求直线的方程. 18. 如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $