1.3 矩形的性质与判定 课时2（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，核心知识点为基于平行四边形的“有一个角是直角”“对角线相等”及基于任意四边形的“三个角是直角”三种判定方法。课堂导入通过类比菱形判定思路，引导学生从矩形定义和性质定理逆命题出发，构建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以数学思维中的推理能力为核心，通过验证“三个角是直角的四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”等猜想，让学生经历完整证明过程，同时规范几何语言表达。分层练习题覆盖基础填空、选择及综合证明，帮助学生夯实判定定理应用，教师可借此有效检测教学效果，提升学生逻辑推理与几何直观能力。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 1.3 矩形的性质与判定 课时2 第一章 特殊平行四边形 北师大版八年级数学1.3矩形的性质与判定（课时2：矩形的判定）同步练习题 本课时在矩形性质的基础上，重点学习矩形的三种判定方法，是几何证明的核心考点。矩形判定分为两类：一是基于平行四边形判定，包含“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”；二是基于任意四边形判定，即“三个角是直角的四边形是矩形”。本套习题针对性训练判定定理的辨析与运用，规避性质与判定混淆、缺少前提条件等常见易错点，夯实几何解题基础。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 有一个角是________的平行四边形是矩形。 2. 对角线________的平行四边形是矩形。 3. 有________个角是直角的四边形是矩形。 4. 在平行四边形ABCD中，添加条件________（写一种即可），可判定该四边形为矩形。 5. 任意四边形中，若四个内角中有三个角为90°，则这个四边形一定是________。 6. 对角线互相平分且________的四边形是矩形。 7. 平行四边形的对角线相等，则该平行四边形的每个内角都是________°。 8. 判定矩形时，若题干图形为普通四边形，不能直接使用________相等的判定定理。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，能判定平行四边形为矩形的是（ ） A. 邻边相等 B. 对角线相等 C. 对角线垂直 D. 对角相等 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 3. 四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AB=BC D. AC⊥BD 4. 不能判定四边形ABCD为矩形的条件是（ ） A. ∠A=∠B=∠C=90° B. 平行四边形ABCD且AC=BD C. 平行四边形ABCD且∠A=90° D. AB=BC，AD=CD 5. 矩形区别于一般平行四边形的判定核心是（ ） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线相等或有直角 D. 对角线平分 三、解答证明题（共50分） 1.（16分）已知四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°。求证：四边形ABCD是矩形。 2.（16分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC=BD。求证：平行四边形ABCD是矩形。 3.（18分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°。求证：平行四边形ABCD是矩形，并简述矩形的核心性质。 参考答案与简要解析 一、填空题 1. 直角 2. 相等 3. 三 4. ∠A=90°（或AC=BD，答案不唯一） 5. 矩形 6. 相等 7. 90 8. 对角线 二、选择题 1.B 解析：邻边相等、对角线垂直是菱形判定，对角相等是平行四边形基本性质，对角线相等的平行四边形是矩形。 2.C 解析：A、B缺少平行四边形前提，无法判定；D是菱形判定定理。 3.B 解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，叠加对角线相等可判定为矩形。 4.D 解析：D选项仅能判定四边形邻边相等，无法推出直角或对角线相等，不能判定矩形。 5.C 解析：普通平行四边形均具备对边平行、对角相等、对角线平分的性质，对角线相等或有直角是矩形专属判定条件。 三、解答证明题 1. 证明：∵四边形内角和为360°，∠A=∠B=∠C=90°，∴∠D=360°-90°×3=90°。四边形四个角均为直角，根据判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，故四边形ABCD是矩形。 2. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。又AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，可推出∠DAB=90°。根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得证平行四边形ABCD是矩形。 3. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形。矩形核心性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分。 课时小结：矩形判定分两类，第一类（任意四边形）：三角为直角→矩形；第二类（平行四边形）：有一个直角 或 对角线相等→矩形。解题关键：先判断图形是普通四边形还是平行四边形，再对应套用判定定理，切记“对角线相等的四边形不一定是矩形”，必须满足平行四边形前提。 1.探索并证明矩形的判定定理。 2.能运用矩形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线的性质进行有关的计算和证明，进一步发展几何直观和推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗? 你能用类似的方法发现矩形的判定条件吗? 我们是从菱形的定义出发，并结合菱形的性质定理的逆命题，得到菱形的判定条件。 类似地，可以从矩形的定义出发，并结合矩形的性质定理的逆命题，得到矩形的判定条件。 3 类比菱形，矩形的定义也是判定矩形的一种方法。 知识点 矩形的判定 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形? A B C D 矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 知识点 矩形的判定 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 验证猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 A B C D 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）。 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 ∠A=∠B=∠C=90° A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化? 知识点 矩形的判定 当∠α 逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 α α 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 知识点 矩形的判定 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 验证猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在□ABCD中，AC，DB是两条对角线，AC=DB。 求证：□ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 知识点 矩形的判定 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC。 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB 。 ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴ ∠ABC =∠DCB = × 180°= 90°。 ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）。 矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求□ABCD的面积。 例1 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4。 ∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC=BD=2OA=2×4=8。 ∴□ABCD是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。 知识点 矩形的判定 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∴BC=。 ∴□ABCD的面积=AB·BC=4×=16 下列说法正确的是(　　) (1)对角线相等的四边形是矩形； (2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形； (3)有一个角是直角的四边形是矩形； (4)有三个角是直角的四边形是矩形； (5)四个角都相等的四边形是矩形； (6)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5) C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(6) 跟踪训练 知识点 矩形的判定 B 矩形的判定： 有三个角是 . 对角线 . 有一个角是 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点 矩形的判定 1.已知：如图，在□ABCD中，M是边AD的中点，且MB=MC。 求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD。 ∵M是边AD的中点， ∴ AM=DM。 又∵MB=MC， ∴ △ABM≌△DCM， ∴∠A=∠D。 A B C D M ∵ AB//CD， ∴ ∠A+ ∠D=180°， ∴∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 随堂练习 2.如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA， ∠ ACN，∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q P A B C C 随堂练习 3. 如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN。 求证：四边形NDMB为矩形。 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB。 ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴□NDMB为矩形。 随堂练习 4.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F。 (1)求证：四边形AOBE是矩形。 (2)若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积。 (1)证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴平行四边形AOBE是矩形。 随堂练习 4.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F。 (1)求证：四边形AOBE是矩形。 (2)若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积。 (2) ∵四边形AOBE是矩形， ∴BO＝AE＝8，∠EAO＝90°， ∴AO＝ ＝ ＝6。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝12，BD＝2BO＝16， ∴菱形ABCD的面积为 AC·BD＝ ×12×16＝96。 随堂练习 知识点1 由矩形的定义判定矩形 1.如图，有下列3个条件：， ， ，从中选取1个作为补充条件，能使 为矩形的有______（填序号）. ②③ 返回 考试考法 23 2.如图，在中，连接，为线段 的中点，延长 与的延长线交于点，连接， .求证： 四边形 是矩形. 考试考法 24 【证明】 四边形 是平行四边 形， . 点是的中点， . 又 ， . 又 ， 考试考法 25 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形. 返回 考试考法 知识点2 由直角的个数判定矩形 （第3题） 3. 如图，在平面直角坐标系中， ，内一个动点 到这 个角两边的距离之和为5，则图中四边 形 的周长是( ) B A. 5 B. 10 C. 20 D. 无法确定 返回 考试考法 27 4. 如图，在矩形中，为边的中点， 为上一点，于，于，当， 满足 条件_ __________时，四边形 为矩形. （第4题） 返回 考试考法 28 知识点3 由对角线的关系判定矩形 5. 在数学活动课上，同学们要检验一个四边形门框是否为矩 形.可行的测量方案是( ) C A. 测量对角线是否平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量对角线是否相等 返回 考试考法 29 矩形的判定 定义法 角：有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 定理 课堂小结 $