1.3 矩形的性质与判定课时2课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，课堂导入通过类比菱形判定方法，从定义及性质逆命题出发，搭建旧知（菱形判定）到新知的学习支架，引导学生迁移探究思路。 其亮点在于以问题链驱动猜想（如“四个角是直角的四边形是否为矩形”），结合严格证明（如三个角直角的四边形证矩形）培养推理能力，例题与跟踪训练（如辨析对角线相等的四边形是否为矩形）强化应用意识。帮助学生发展几何直观，教师可直接用于课堂探究与巩固。

第一章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 课时2 1.探索并证明矩形的判定定理。 2.能运用矩形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线的性质进行有关的计算和证明，进一步发展几何直观和推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗? 你能用类似的方法发现矩形的判定条件吗? 我们是从菱形的定义出发，并结合菱形的性质定理的逆命题，得到菱形的判定条件。 类似地，可以从矩形的定义出发，并结合矩形的性质定理的逆命题，得到矩形的判定条件。 课堂导入 3 类比菱形，矩形的定义也是判定矩形的一种方法。 知识点 矩形的判定 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形? A B C D 矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 新知讲解 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 新知讲解 知识点 矩形的判定 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 新知讲解 验证猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 A B C D 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）。 新知讲解 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 ∠A=∠B=∠C=90° A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 新知讲解 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 新知讲解 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化? 知识点 矩形的判定 当∠α 逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 α α 新知讲解 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 知识点 矩形的判定 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 新知讲解 验证猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在□ABCD中，AC，DB是两条对角线，AC=DB。 求证：□ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 新知讲解 知识点 矩形的判定 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC。 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB 。 ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴ ∠ABC =∠DCB = × 180°= 90°。 ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）。 新知讲解 矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 新知讲解 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求□ABCD的面积。 例1 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4。 ∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC=BD=2OA=2×4=8。 ∴□ABCD是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。 知识点 矩形的判定 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∴BC=。 ∴□ABCD的面积=AB·BC=4×=16 新知讲解 下列说法正确的是(　　) (1)对角线相等的四边形是矩形； (2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形； (3)有一个角是直角的四边形是矩形； (4)有三个角是直角的四边形是矩形； (5)四个角都相等的四边形是矩形； (6)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5) C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(6) 跟踪训练 知识点 矩形的判定 B 新知讲解 矩形的判定： 有三个角是 . 对角线 . 有一个角是 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点 矩形的判定 新知讲解 1.已知：如图，在□ABCD中，M是边AD的中点，且MB=MC。 求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD。 ∵M是边AD的中点， ∴ AM=DM。 又∵MB=MC， ∴ △ABM≌△DCM， ∴∠A=∠D。 A B C D M ∵ AB//CD， ∴ ∠A+ ∠D=180°， ∴∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 随堂练习 2.如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA， ∠ ACN，∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q P A B C C 随堂练习 3. 如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN。 求证：四边形NDMB为矩形。 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB。 ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴□NDMB为矩形。 随堂练习 4.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F。 (1)求证：四边形AOBE是矩形。 (2)若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积。 (1)证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴平行四边形AOBE是矩形。 随堂练习 4.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F。 (1)求证：四边形AOBE是矩形。 (2)若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积。 (2) ∵四边形AOBE是矩形， ∴BO＝AE＝8，∠EAO＝90°， ∴AO＝ ＝ ＝6。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝12，BD＝2BO＝16， ∴菱形ABCD的面积为 AC·BD＝ ×12×16＝96。 随堂练习 5.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF。 (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由。 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由。 解： (1)BD＝CD。理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE。 ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE。 在△AEF和△DEC中， ∵∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC。 ∵AF＝BD， ∴BD＝DC。 随堂练习 5.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF。 (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由。 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由。 解： (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形。理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形。 ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AFBD是矩形。 随堂练习 矩形的判定 定义法 角：有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 定理 课堂小结 $