1.4 正方形的性质与判定 课时1（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的定义与性质，通过活动菱形框架变直角、矩形纸片折叠等操作导入，衔接平行四边形、矩形、菱形知识，构建从一般到特殊的学习支架。 其亮点是融合动手操作与逻辑证明，以折叠、框架活动培养几何直观，通过性质证明发展推理能力，例题习题结合勾股定理区分性质差异，小结口诀强化模型意识。助力学生夯实基础，教师提升教学效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 1.4 正方形的性质与判定 课时1 第一章 特殊平行四边形 北师大版八年级数学1.4正方形的性质与判定（课时1：正方形的性质）同步练习题 本课时重点学习正方形的定义与核心性质，正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，属于最特殊的平行四边形。它兼具平行四边形、矩形、菱形的全部性质，本节课核心掌握：正方形四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，同时掌握其轴对称与中心对称的图形特征。本套习题聚焦性质辨析、基础计算和简单应用，帮助区分正方形与矩形、菱形的性质异同，夯实基础考点。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的________是正方形。 2. 正方形的四条边________，四个角都是________。 3. 正方形的对角线________、________且互相平分，每条对角线平分一组对角。 4. 正方形既是中心对称图形，又是________图形，共有________条对称轴。 5. 若正方形的边长为4cm，则该正方形的周长为________cm，面积为________cm²。 6. 正方形的对角线与边的夹角为________°。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对边平行 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线垂直 D. 对角相等 3. 下列关于正方形的说法错误的是（ ） A. 正方形是特殊的平行四边形 B. 正方形是特殊的矩形 C. 正方形是特殊的菱形 D. 正方形只有一条对称轴 4. 正方形对角线长为$$4\sqrt{2}$$，则正方形的边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 正方形对角线相交形成的四个三角形是（ ） A. 普通直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 三、解答计算题（共50分） 1.（16分）已知正方形ABCD的边长为6，求该正方形的周长、面积和对角线的长度。 2.（16分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，对角线AC=8，求OA的长度和正方形的边长。 3.（18分）已知正方形ABCD，对角线相交于点O，求∠OAB的度数，并说明理由。 参考答案与简要解析 一、填空题 1. 平行四边形 2. 相等；直角 3. 相等；互相垂直 4. 轴对称；4 5. 16；16 6. 45 二、选择题 1.C 解析：矩形对边相等、邻边不一定相等，正方形四条边全部相等，是正方形独有性质。 2.B 解析：菱形对角线互相垂直但不相等，正方形对角线既垂直又相等。 3.D 解析：正方形有4条对称轴，分别为对边中点连线和两条对角线所在直线。 4.B 解析：设边长为a，正方形对角线$$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$，解得a=4。 5.B 解析：正方形对角线垂直、平分且相等，分割出的四个三角形均为等腰直角三角形。 三、解答计算题 1. 解：正方形周长=$$4\times6=24$$，面积=$$6\times6=36$$。由勾股定理，对角线长=$$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$。 2. 解：正方形对角线互相平分，$$OA=\dfrac{1}{2}AC=4$$。正方形对角线相等且垂直，由勾股定理得边长=$$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$$。 3. 解：∠OAB=45°。理由：正方形对角线平分内角，正方形内角为90°，AC平分∠DAB，因此$$\angle OAB=\dfrac{1}{2}\times90^\circ=45^\circ$$。 课时小结：正方形集平行四边形、矩形、菱形所有性质于一体。核心口诀：四边相等四角直，对角线垂直、相等、平分且分角。解题关键：熟练区分三者性质差异，矩形看直角、菱形看边等、正方形边角对角线全特殊，计算常结合勾股定理、45°特殊角求解。 1. 探索并证明正方形的性质定理，了解它与菱形、矩形之间的关系。 2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题，进一步发展几何直观和推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 菱形 正方形 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状。 3 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形。 矩形 展开 正方形 4 知识点 正方形的性质 问题1 正方形是菱形吗?正方形是矩形吗? 由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质? 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 你能证明这两个结论吗? 知识点 正方形的性质 A D C B O 证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。 A D C B 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°， ∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°， ∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°， ∴ ∠A= ∠C=90°， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC， ∴ AB =BC=CD=DA。 知识点 正方形的性质 证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB=BC，∠ABC=90°。 求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC， OB=OD。 A B C D O 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°， ∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。 ∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°， ∴∠OBA=∠BAC， ∴OA=OB， ∵AC=2AO，BD=2BO， ∴ AC=BD。 知识点 正方形的性质 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。 A B C D O 知识点 正方形的性质 A B C D 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 A B C D O 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 例1 解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC，∠BCE =90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。 ∴∠BCE=∠DCF。 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF。 ∴BE=DF。 A B D C F E 知识点 正方形的性质 例1 （2）延长BE，交DF于点M（如图）。 ∵△BCE≌△DCF ， ∴∠CBE =∠CDF。 ∵∠DCF =90°， ∴∠CDF +∠F =90°。 ∴∠CBE+∠F=90°。 ∴∠BMF=180°-（∠CBE+∠F）=180°-90°=90°。 ∴BE⊥DF。 A B D C F E M 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 问题3 如图，四边形ABCD是正方形。 (1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合。 画图如图所示。 菱形的另外两个顶点需要在正方形的对角线BD所在的直线上，且到正方形ABCD两条对角线交点的距离相等。 A D C B 知识点 正方形的性质 A D C B (2)若在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形 ABCD的边AB，BC，CD，AD上。 矩形EFGH的四个顶点需满足AE=AH=CF=CG。 A D C B E F G H 知识点 正方形的性质 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 D 2.如图，在正方形ABCD中，F为对角线AC上的一点，连接BF， DF。请找出图中的全等三角形，并选择其中一对进行证明。 解：△ABD≌△CBD，△ADF≌△CDF，△ABF≌△CBF。 选△ADF≌△CDF进行证明。 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD =AB，DC//AB，AD = CD， ∴∠ADB= ∠ABD=∠CDB 。 又∵DF =DF， ∴ △ADF≌△CDF(SAS)。 A D C B F 3.如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF=4，DE=9，则EF的长为 。 5 4.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D。已知菱形ABCD的面积为120cm²，正方形A'BC'D的面积为50cm²，求AC的长。 解：连接BD。 ∵正方形A'BC'D中， A'C'=BD， ∴正方形A'BC'D的面积为BD²=50， ∴ BD=10 cm。 ∵菱形ABCD的面积为BD·AC=120cm²， ∴×10×AC=120， ∴AC=24 cm。 A D C B A' C' 知识点1 正方形的边角性质 （第1题） 1. 如图，四边形 是正方 形，平行于轴，， 两点的坐标分别为 ，，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 19 2.如图，在正方形中，以对角线为边作菱形 ， 连接，则 的度数为______. （第2题） 返回 考试考法 20 知识点2 正方形的对角线的性质 （第3题） 3. 如图，在正方形中，对角线 与 相交于点，以点为圆心， 长为半径 作弧，交于点，连接，则 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 （第4题） 4. 如图，正方形 的边长为2，连接 ，，平分交于点，则 的长是( ) D A. B. C. D. 考试考法 22 （第6题） 5. 如图，正方形和正方形 中，点 在上，，，是 的中点， 那么 的长是( ) B A. B. C. D. 2 考试考法 23 正方形的特殊性质 角：正方形的四个角都是直角； 边：正方形的四条边相等； 对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长的乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3. 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 A B C D O 课堂小结 $