第1章 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定及内嵌正八边形作图，通过正多边形性质复习导入，衔接正方形性质与判定的逻辑关系，以判定口诀、择优技巧和公式推导为支架，构建从基础到综合的知识体系。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过建筑图案观察培养几何直观，借助正八边形边长公式推导发展推理能力，以尺规作图步骤强化模型意识。实例丰富如矩形证正方形、正八边形截取计算，助力学生提升几何能力，教师可高效开展培优教学。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 第一章 特殊平行四边形 1.4 第2课时 正方形的判定（精讲讲义） 上一课时我们学习了正方形的全部性质，本节课反向掌握正方形的判定方法。正方形是矩形和菱形的结合体，因此正方形的判定 = 矩形条件 + 菱形条件。本节是特殊四边形综合证明题的终极考点，常作为几何大题压轴考查，需熟练掌握各类判定思路，灵活择优解题。 一、判定核心逻辑（总口诀） 想要证正方形，只需满足：既是矩形，又是菱形。 通俗理解： 1. 矩形（直角、对角线相等）+ 邻边相等 / 对角线垂直 = 正方形； 2. 菱形（四边相等、对角线垂直）+ 一个直角 / 对角线相等 = 正方形。 二、正方形四大判定方法（必考、全覆盖） 判定1：定义法（基础万能法） 内容：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 解题三步： ① 先证四边形是平行四边形；② 证一组邻边相等（菱形特征）；③ 证一个内角为直角（矩形特征）。 适用场景：题干有平行、边长相等、垂直、直角条件时优先使用。 判定2：矩形基础上证正方形 内容： 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形； 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形。 核心逻辑：矩形已有直角、对角线相等，只需补充菱形独有条件，即可升级为正方形。 判定3：菱形基础上证正方形 内容： 1. 有一个角是直角的菱形是正方形； 2. 对角线相等的菱形是正方形。 核心逻辑：菱形已有四边相等、对角线垂直，只需补充矩形独有条件，即可升级为正方形。 判定4：直接四边形判定（无需证平行） 内容：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 适用场景：简单判断题、基础填空题，大题极少使用，步骤繁琐。 三、判定方法择优技巧（做题提速） 1. 题干已知是平行四边形：补「邻边相等+一个直角」； 2. 题干已知是矩形：优先补「邻边相等」或「对角线垂直」； 3. 题干已知是菱形：优先补「一个直角」或「对角线相等」； 4. 对角线条件充足：对角线相等且垂直且平分的四边形是正方形。 四、经典例题精讲（考试满分步骤） 例1 矩形变正方形（高频大题） 已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC。求证：ABCD是正方形。 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四个角为直角，对边相等， 又∵ AB=BC（一组邻边相等）， ∴ 矩形ABCD是正方形。（邻边相等的矩形是正方形） 例2 菱形变正方形 已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：ABCD是正方形。 证明： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ 四边相等，对边平行， 又∵ ∠A=90°， ∴ 菱形ABCD是正方形。（有一个直角的菱形是正方形） 例3 对角线综合判定 已知：平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD。求证：ABCD是正方形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 又∵ AC⊥BD， ∴ 矩形ABCD是正方形（对角线垂直的矩形是正方形）。 五、特殊四边形判定终极汇总（考前必背） 1. 平行四边形：对边平行/相等、对角相等、对角线互相平分； 2. 矩形：平行四边形+直角 / 平行四边形+对角线相等 / 三角为直角； 3. 菱形：平行四边形+邻边相等 / 平行四边形+对角线垂直 / 四边相等； 4. 正方形：矩形+菱形任意一组专属条件叠加。 六、本节高频易错扣分点 1. 误区：对角线垂直且相等的四边形是正方形（❌ 缺少「互相平分」，不是平行四边形不成立）； 2. 步骤缺失：大题未先证矩形/菱形，直接判定正方形，步骤不完整扣分； 3. 条件混淆：误将“对角线相等的菱形是矩形”等错误结论混用； 4. 忽略前提：所有叠加判定，必须依托平行四边形、矩形、菱形的基础图形。 七、同步专项习题（含答案） 1. 矩形ABCD添加条件____，可判定为正方形。 答案：AB=AD（或AC⊥BD，答案不唯一） 2. 菱形ABCD添加条件____，可判定为正方形。 答案：∠A=90°（或AC=BD，答案不唯一） 3. 下列能直接判定四边形是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线垂直 C. 对角线相等且垂直平分 D. 对角线相等 答案：C 4. 平行四边形对角线互相垂直且相等，则该四边形是____。 答案：正方形 八、问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 本次活动是正方形性质的拓展探究重点，结合图形对称、等腰直角三角形性质，掌握正方形内接正八边形的作图方法、边长计算、判定原理，是单元探究题、几何计算题高频考点。 一、探究目标 在正方形四条边上取八个顶点，作出边长全部相等、内角全部相等的内接正八边形，理解作图原理，掌握边长运算规律。 二、作图原理 1. 正方形四边相等、四角为直角、中心对称+轴对称，具备内嵌正八边形的条件； 2. 在正方形四个角落各截去一个全等的等腰直角三角形，原正方形四条边剩余部分、截角产生的新斜边，共同构成八边形的八条边； 3. 当且仅当正方形边上剩余线段长 = 截角等腰直角三角形斜边长时，八条边全部相等，八个内角全部相等，即为正八边形。 三、标准作图步骤（考试满分版） 已知：正方形ABCD，边长为$$a$$，求作：正方形内嵌正八边形。 1. 取值截段：根据正八边形边长相等条件，计算得正方形各角截取等腰直角三角形的直角边长 $$x=\dfrac{2-\sqrt2}{2}a$$；在正方形每条边的两个端点向内截取长度为$$x$$的线段，得到8个等分顶点。 2. 顺次连线：按顺序连接四条边上的8个顶点。 3. 成型：截去正方形四个角落的等腰直角三角形，剩余图形即为内嵌于正方形的正八边形。 四、核心公式推导（必考计算） 设正方形边长为$$a$$，截取的等腰直角三角形直角边长为$$x$$。 ① 截角斜边（正八边形边长）：$$l=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x$$ ② 正方形单边剩余线段长：$$a-2x$$ ③ 正八边形边长相等条件：$$a-2x=\sqrt2x$$ 整理得：$$a=(2+\sqrt2)x$$，化简直角边长：$$x=\dfrac{a}{2+\sqrt2}=\dfrac{2-\sqrt2}{2}a$$ ④ 正八边形最终边长：$$l=\sqrt2x=(\sqrt2-1)a$$ 五、实例计算 例：正方形边长为4，求内嵌正八边形的相关边长。 解：截取直角边长 $$x=\dfrac{2-\sqrt2}{2}\times4=4-2\sqrt2$$ 正八边形边长 $$l=(\sqrt2-1)\times4=4\sqrt2-4$$ 答：截取直角边长为$$4-2\sqrt2$$，正八边形边长为$$4\sqrt2-4$$。 六、核心结论与易错点 核心结论：正方形内嵌正八边形，本质是截去四个全等的等腰直角三角形，满足剩余边长与斜边长度相等，图形各边、各角完全相等。 易错警示：任意截取四个全等等腰直角三角形，只能得到普通八边形；只有满足剩余边长=斜边长，才能构成正八边形。 本活动为课本探究实操题型，核心考查正方形性质、等腰直角三角形特征、等分边长，是几何作图与计算的经典拓展考点，常出现在单元探究题、压轴填空题型中。 一、活动问题背景 在一个正方形内部作一个内接正八边形（正八边形八个顶点都在正方形的四条边上），使正八边形每条边长都相等，整体图形对称规整。 二、作图原理 1. 正方形四条边、四个角完全对称，适合内嵌正八边形； 2. 在正方形四个角各截去一个全等的等腰直角三角形； 3. 截去后剩余的八条边长度全部相等，即可形成正八边形。 三、标准作图步骤（可直接默写） 已知：正方形ABCD，求作：正方形内的正八边形。 步骤1：等分边长 设正方形边长为$$a$$，在正方形每条边上，从两个端点向内截取等长线段，设截取线段长为$$x$$。 步骤2：确定截点 在正方形四条边上各取两个等分点，四条边共8个点，作为正八边形的八个顶点。 步骤3：截角连线 依次连接八个顶点，截去正方形四个角落的等腰直角三角形，所得八边形即为正方形内嵌正八边形。 四、核心等量关系（计算必考） 截去的三角形为等腰直角三角形，斜边就是正八边形的边长； 要使八边形为正八边形，必须满足：剩余边长 = 截得斜边长。 设正方形边长为$$a$$，角落截取直角边长为$$x$$： 1. 等腰直角三角形斜边（八边形边长）：$$\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x$$ 2. 正方形单条边剩余线段长：$$a-2x$$ 3. 正八边形边长相等列式：$$a-2x=\sqrt2x$$ 整理求解：$$a=(2+\sqrt2)x$$ $$\boldsymbol{x=\dfrac{a}{2+\sqrt2}=\dfrac{2-\sqrt2}{2}a}$$ 结论：只要在正方形每个角截取直角边长为$$\dfrac{2-\sqrt2}{2}a$$的等腰直角三角形，剩余图形一定是正八边形。 五、数值例题计算 已知正方形边长为4，内嵌正八边形，求截取的直角边长和正八边形边长。 解：由公式 $$x=\dfrac{2-\sqrt2}{2}\times4=4-2\sqrt2$$ 正八边形边长：$$\sqrt2x=\sqrt2(4-2\sqrt2)=4\sqrt2-4$$ 答：截取直角边长为$$4-2\sqrt2$$，正八边形边长为$$4\sqrt2-4$$。 六、活动总结与结论 1. 正方形内嵌正八边形的本质：四角截去全等等腰直角三角形； 2. 正八边形判定关键：直边剩余长度 = 截角斜边长度； 3. 依托正方形对称性，可保证八边相等、八角相等，构成正八边形。 七、拓展判断题 将正方形四个角截去四个全等的等腰直角三角形，所得八边形一定是正八边形？（❌） 解析：必须满足「剩余边长=斜边长」才是正八边形，任意截取只能得到等边八边形，不一定是正八边形。 1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征. (重点) 2.经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力。 (难点) 3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识. 学习目标 问题1：正多边形的特点是什么？ 每条边相等，每个内角相等. 问题2：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个 内角是多少度吗？每个外角呢？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 问题：(1) 观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？ 正方形、正八边形 (2) 它们的位置关系有什么特点？ 正八边形在正方形内部，且部分顶点落在正方形的边上.  引入概念：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形. 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 【理解问题】(1) 正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图. ②正八边形有 4 个顶点在正方形的边中点 ①正八边形的 8 个顶点都在正方形的边上，每条边 2 个顶点 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 (2) 正八边形有哪些具体特征？ 8 条边相等，8 个内角相等，每个内角为 135°，中心到各顶点距离相等. A B C D F E G H O 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 例1 如图，正八边形 ABCDEFGH 内嵌于正方形 MNPQ，正方形边长为 a。 (1) 设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为 x，请用含 x 的式子表示正八边形的边长. (2) 求 x 的值和正八边形的边长. A B C D F E G H M N P Q 解：(1) 等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长， 如图，在Rt△MHA 中，根据勾股定理，AH = = x. 正八边形的边长为x. 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 (2) 求 x 的值和正八边形的边长. A B C D F E G H M N P Q (2) 由 (1) 得，AH = HG = x， 正方形的一条边由两段直角边和段正八边形的边长组成，因此 MP = MH + HG + GP = a， x + x + x = a. 化简得 x( 2 + ) = a 正八边形的边长为 . 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 例2 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤. (至少两种方法). 方法一：对角线交点法 1.作正方形 ABCD 的两条对角线 AC、BD，交于中心 O. 2.以 A、B、C、D 为圆心，以OA 为半径画弧，分别与正方形的四条边交于两个点. 3.顺次连接这 8 个交点，得到正八边形 EFGHIJKL. A B C D O E F G H H I K L 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 方法二：截取等长线段法 1.设正方形边长为 a，计算得角上等腰直角三角形的直角边长 ； 2. 以 A、B、C、D 为圆心，x 为半径，在每条边上截取两个点. 3. 顺次连接这 8 个点，得到正八边形. A B C D O E F G H H I K L 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 A B C D 【练一练】1. 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个有 4 个顶点在正方形的边中点的正八边形，保留作图痕迹. O 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 1.图①是一个正方形. 【观察判断】 （1）图②中可以称为正八边形内嵌于正方形的是__； 考试考法 13 【操作探究】 通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图③.#3.1 考试考法 14 （2）请按照折纸的思路在图①中作内嵌正八边形. （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【解】如图，正八边形 即为所求作. 返回 考试考法 15 2.阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读， 并完成相应的任务.#1 作矩形的最大内接菱形的方法： 顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形.在实践活动课 上，数学老师提出一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出 一个最大的内接菱形”.实践小组成员经过思考后，给了3种 不同的方法. 考试考法 16 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角 线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形 （如图①），则四边形是矩形 的内接菱形. 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形 的长两两相交，重叠的部分形成四边形 ，则四边形 也是矩形 的内接菱形.（如图②） 续表 考试考法 17 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线 的垂直平 分线，与边交于点，与边交于，连接， ， 则四边形是矩形 的内接菱形. 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计 算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形. _______________________________________________________________________ 续表 考试考法 18 任务： （1）图①菱形的面积与矩形 的面积之比为_____； 考试考法 19 （2）尺规作图：请你在图③中完成日记中的“方法三”的作图 过程.（保留作图痕迹，不要求写作法） 【解】如图，四边形 即为所求. 考试考法 20 （3）若在矩形中，， ，请你根据日记 中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形面积的最大值. 考试考法 21 方法一：在矩形中，， ， ， 由（1）可知，菱形的面积与矩形 的面积之比为 ， 菱形的面积为 ； 考试考法 22 方法二：设菱形的边长为，即 . ，， ， 在中， ， 即，解得 ， 菱形 的边长为10， 菱形的面积为 ； 方法三：由方法二同理可得菱形 的边长为10， 菱形的面积为 . ， 此矩形的内接菱形面积的最大值为60. 返回 考试考法 23 问题解决：作内嵌于正方形的正八边形 几何特征 ：轴对称、中心对称；顶点在正方形边上 数量关系 ：设正方形边长为 a， 正八边形边长为  3. 作图步骤 考试考法 $