1.4 正方形的性质与判定 课时2（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定方法及中点四边形，通过回顾矩形、菱形性质，构建从平行四边形、矩形、菱形到正方形的判定支架，形成“基础图形+特殊条件”的知识脉络。 其亮点在于以猜想-证明过程（如矩形添加邻边相等判定正方形的推导）培养推理能力，中点四边形结合对角线关系分类探究提升几何直观。习题分层且解析详尽，小结明确判定思路，助力学生系统掌握知识，教师可直接用于教学以提高效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 1.4 正方形的性质与判定 课时2 第一章 特殊平行四边形 北师大版八年级数学1.4正方形的性质与判定（课时2：正方形的判定）同步练习题 本课时聚焦正方形的判定方法，是本章特殊平行四边形的总结性内容。正方形的判定核心思路：在平行四边形、矩形、菱形的基础上补充专属条件，即可判定为正方形。本节课重点掌握三类判定思路：矩形+邻边相等=正方形、菱形+一个直角=正方形、平行四边形+邻边相等+一个直角=正方形。本套习题针对性训练判定定理辨析、条件补充与几何证明，解决学生混淆矩形、菱形、正方形判定的常见问题。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的________是正方形。 2. 有一组邻边相等的________是正方形。 3. 有一个角是直角的________是正方形。 4. 对角线互相垂直且相等的________是正方形。 5. 对角线________、________且互相平分的四边形是正方形。 6. 矩形ABCD中，添加条件________可判定为正方形。 7. 菱形ABCD中，添加条件________可判定为正方形。 8. 四条边相等且四个角都是直角的四边形是________。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件能判定四边形为正方形的是（ ） A. 四边相等 B. 四角为直角 C. 邻边相等且有一个直角的平行四边形 D. 对角线相等 2. 已知四边形是矩形，补充哪个条件可判定为正方形（ ） A. 对边平行 B. 邻边相等 C. 对角线相等 D. 四个角相等 3. 已知四边形是菱形，补充哪个条件可判定为正方形（ ） A. 四边相等 B. 对角线垂直 C. 有一个内角为90° D. 对边相等 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 D. 有直角的平行四边形是正方形 5. 平行四边形ABCD对角线AC⊥BD且AC=BD，则四边形ABCD是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 普通平行四边形 三、解答证明题（共50分） 1.（16分）如图，在矩形ABCD中，AB=BC。求证：矩形ABCD是正方形。 2.（16分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=90°。求证：菱形ABCD是正方形。 3.（18分）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD且AC=BD。求证：四边形ABCD是正方形。 参考答案与简要解析 一、填空题 1. 平行四边形 2. 矩形 3. 菱形 4. 平行四边形 5. 垂直；相等 6. AB=BC（邻边相等即可） 7. ∠A=90°（有一个直角即可） 8. 正方形 二、选择题 1.C 解析：四边相等是菱形，四角为直角是矩形，只有同时满足邻边相等、有一个直角的平行四边形是正方形。 2.B 解析：矩形基础上添加邻边相等，满足正方形判定条件。 3.C 解析：菱形基础上添加直角，即可判定为正方形。 4.C 解析：A、B缺少平行四边形前提，D只能判定为矩形。 5.C 解析：对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，兼具两者即为正方形。 三、解答证明题 1. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个角均为直角。又∵AB=BC（矩形邻边相等），根据“邻边相等的矩形是正方形”，可得矩形ABCD是正方形。 2. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四条边相等。又∵∠ABC=90°（菱形有一个内角为直角），根据“有一个直角的菱形是正方形”，可得菱形ABCD是正方形。 3. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形。又∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是菱形。既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故四边形ABCD是正方形。 课时小结：正方形判定三大万能思路：1. 矩形+邻边相等=正方形；2. 菱形+一个直角=正方形；3. 平行四边形+对角线垂直且相等=正方形。解题核心：先判定基础图形（平行四边形/矩形/菱形），再补一个特殊条件，严禁直接用任意四边形判定正方形，规避定理误用。 1.探索并证明正方形的判定定理，会进行相关的证明与计算，进一步发展推理能力。 2.了解中点四边形。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 正方形的定义： 有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形。 类比平行四边形、矩形和菱形，正方形的定义也是判定正方形的一种方法。 邻边 直角 平行 3 正方形的判定： 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 知识点1 正方形的判定 A B C D ∟ 问题1 满足什么条件的矩形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A D B C O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四个角为90° 对角线相等 邻边相等（利用正方形的定义猜想） 对角线垂直（利用正方形的性质猜想） 猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 A D B C O 求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。 ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 A B C D ∟ 知识点1 正方形的判定 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，且AC⊥BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，OB=OD。 ∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD。 ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 正方形的判定定理 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 问题2 满足什么条件的菱形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A C B D O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四边相等 对角线互相垂直 有一个角是直角（利用正方形的定义猜想） 对角线相等（利用正方形的性质猜想） A D B C O 猜想：有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形。 求证:有一个角是直角的菱形是正方形。 如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。 求证:四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。 ∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 求证：对角线相等的菱形是正方形。 如图，已知菱形ABCD的对角线为AC，BD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=AB，AD∥BC。 ∵AB=BA，BD=AC， ∴△ABD≌△BAC， ∴∠DAB=∠CBA。 ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°， ∴∠DAB=∠CBA=90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AB， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 正方形的判定定理 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。 例1 证明:∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，∠DCB=90°。 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°。 ∴∠EBC=∠ECB。∴EB=EC。 ∴□ BECF是菱形(菱形的定义)。 在△EBC中， ∵∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=180°- ∠EBC- ∠ECB= 180°- 45°- 45°=90°。 ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。 知识点1 正方形的判定 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。 你能证明这个猜想吗? 证明：连接AC ，BD交于点 O，AC交 A1D1于点M，BD交 A1B1于点N 。 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC。 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC， 在△ABD中， A1D1 ∥BD，且 A1D1 =BD。 ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD。 ∴ A1B1=A1D1 ，∠AOB=90°。 ∵A1B1 ∥AC， A1D1 ∥BD， 知识点2 中点四边形 M N ∴四边形A1MON是平行四边形， ∴∠MA1N=∠AOB=90°。 ∴四边形A1B1C1D1是正方形（正方形的定义）。 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个矩形，以四边的中点为顶点组成的图形是菱形。 思考 (2)类比上述问题，你还能提出什么问题? 菱形 平行四边形 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ 知识点2 中点四边形 中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。 知识点2 中点四边形 思考 (3)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系? 知识点2 中点四边形 对角线垂直 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形。 对角线相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 对角线不垂直也不相等 以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。 矩形 菱形 平行四边形 对角线垂直且相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 正方形 知识点2 中点四边形 中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，具体如下表所示。 20 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( ) A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC 跟踪训练 C 知识点2 中点四边形 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 D A B C D 2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学依据是（　　） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 A 3.如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论。 解：这个新的四边形是平行四边形。证明如下: 连接AC，BD， ∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴ EF//AC。 同理可证HG//AC，EH//BD，FG//BD， ∴EF//HG，EH//FG， ∴四边形EFGH是平行四边形。 知识点1 在菱形或矩形的基础上判定正方形 （第1题） 1. 如图，在菱形 中，对角线 ，交于点 ，添加下列一个条 件，能使菱形 成为正方形的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 25 2.如图,在中, ，与 的平分线交 于点，于点,于点,则四边形 的形 状为________. 正方形 （第2题） 返回 考试考法 26 3. 已知：如图，在中， ， ，垂足为点，是外角 的平分线， ，垂足为点 . 考试考法 27 （1）证明：四边形 为矩形； 【证明】 在中，， ， . 考试考法 28 是的平分线， . 又， ， . 四边形 为矩形. 考试考法 （2）当 满足____________________ _______________时（添加一个条件），四 边形 是正方形，并证明. （答案不唯一） 证明如下：， , . ， . . 四边形为矩形， 矩形 是正方形. 返回 考试考法 30 知识点2 在四边形或平行四边形的基础上判定正方形 4. 如图，已知的对角线，交于点 ，添加条件 后， 不一定是正方形的选项为( ) B （第4题） A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 考试考法 31 正方形的判定 定义法 对角线：对角线相等的菱形是正方形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 定理 边：有一组邻边相等的矩形是正方形 角：有一个角是直角的菱形是正方形 对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形 课堂小结 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形（中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系） 课堂小结 $