1.4 第1课时 正方形的性质（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质及与平行四边形、矩形、菱形的关系，通过观察思考问题引导学生探究，结合图形逻辑关系和韦恩图，搭建从平行四边形到正方形的知识支架，梳理特殊四边形的演化脉络。 其亮点是以探究活动为主线，通过“证一证”培养推理能力，对比表格强化抽象能力，经典例题和变式题（如等边三角形与正方形综合题）发展模型意识。易错点和错题笔记帮助学生规范步骤，教师可直接使用系统资源提升教学效果。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 1.4 第1课时 正方形的性质 第一章 特殊平行四边形 1.4 第1课时 正方形的性质（精讲讲义） 正方形是最特殊的平行四边形，同时兼具矩形和菱形的所有性质。本节课系统梳理正方形的定义、边角、对角线、对称性专属性质，掌握正方形可以直接秒杀绝大多数特殊四边形综合计算题、证明题，是本章几何综合性最强、使用率最高的图形。 一、正方形的定义（必背） 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 两层特殊关系： 1. 正方形是特殊的矩形：邻边相等的矩形即为正方形； 2. 正方形是特殊的菱形：有一个角是直角的菱形即为正方形。 总结：正方形集平行四边形、矩形、菱形所有性质于一身。 二、正方形完整性质（全覆盖考点） 1. 边的性质 对边平行，四条边全部相等。（继承菱形性质） 2. 角的性质 四个角都是90°直角，邻角互补，对角相等。（继承矩形性质） 3. 对角线性质（重难点、考试核心） 正方形对角线同时满足矩形、菱形对角线所有特征： ① 对角线互相平分（平行四边形共有）； ② 对角线相等（矩形独有）； ③ 对角线互相垂直（菱形独有）； ④ 对角线平分每一组对角（菱形独有）。 终极结论：正方形对角线 → 平分、相等、垂直、平分内角四合一。 4. 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形； 共有4条对称轴：两条对角线、两组对边中点连线。 三、正方形重要几何推论（做题秒杀） 1. 正方形对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 2. 正方形对角线与边的夹角为45°； 3. 已知正方形边长可直接求对角线：$$\text{对角线}=\text{边长}\times\sqrt2$$； 4. 正方形兼具斜边中线定理、垂直平分、等线段等所有特殊四边形结论。 四、正方形面积与周长公式 1. 周长：$$C=4a$$（$$a$$为边长） 2. 面积法一（通用）：$$S=a^2$$ 3. 面积法二（对角线法）：$$S=\dfrac12\cdot AC^2$$（对角线相等，套用菱形面积公式） 五、经典例题精讲（标准满分步骤） 例1 边长、对角线计算 已知正方形边长为4，求对角线长和面积。 解：由正方形性质， 对角线长：$$4\sqrt2$$， 面积：$$S=4^2=16$$。 例2 角度计算（高频） 正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，求∠OAB的度数。 解： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC平分∠BAD，∠BAD=90°， ∴ $$\angle OAB=\dfrac12\times90^\circ=45^\circ$$。 例3 综合证明 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD，AC⊥BD，互相平分， ∴ OA=OB=OC=OD，四个三角形均为直角三角形， ∴ 四个三角形全等且为等腰直角三角形。 六、平行四边形、矩形、菱形、正方形性质终极对比 1. 平行四边形：对边平行相等、对角相等、对角线平分； 2. 矩形：四角直角、对角线相等； 3. 菱形：四边相等、对角线垂直、平分内角； 4. 正方形：集齐以上所有性质。 七、本节高频易错点 1. 混淆对称轴：正方形4条对称轴，矩形、菱形只有2条； 2. 误认为正方形对角线不垂直或不相等（实则全都满足）； 3. 忘记正方形可以用「对角线平方的一半」求面积； 4. 角度计算忽略45°特殊角，不会构造等腰直角三角形。 八、同步专项习题（含答案） 1. 正方形边长为5，对角线长为____。 答案：$$5\sqrt2$$ 2. 正方形对角线长为$$2\sqrt2$$，面积为____。 答案：4 3. 正方形的对称轴条数为____。 答案：4 4. 正方形对角线相交形成的角为____。 答案：90° 1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力 和数学表达能力.(重点、 难点) 2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.（难点） 学习目标 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 四个角都是直角 对角线相等 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 正方形定义： （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 观察·思考 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 总结 探究点：正方形的性质 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 韦恩图： 探究点：正方形的性质 探究：从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。 A B C D O 探究点：正方形的性质 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质 A B C D O 探究点：正方形的性质 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 【证一证】(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 探究点：正方形的性质 (2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 探究点：正方形的性质 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行且相等 四边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相互平分 对角线相互垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对角 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 探究点：正方形的性质 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ①∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的 四条边相等，四个角都是直角)。 ∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵ CE = CF， A B D C F E ∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF. 探究点：正方形的性质 A B D F E ② 延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°， ∴ BE⊥DF. 综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF. C M 探究点：正方形的性质 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°. 探究点：正方形的性质 【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 探究点：正方形的性质 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 探究点：正方形的性质 【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC， ∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB， 即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． 探究点：正方形的性质 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD， 即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 探究点：正方形的性质 【尝试·交流】 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1) 在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 条件：另外两个顶点在正方形对角线 BD 上，且关于AC 对称(或到 AC 与 BD 交点的距离相等)。 理由：菱形对角线互相垂直平分，正方形中 BD⊥AC 且互相平分，满足菱形性质。 A B C D O E F 探究点：正方形的性质 (2) 在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 A B C D O 条件：AE＝CG、AH＝CF (或邻边互相垂直)。 理由：可证 EFGH 是平行四边形且有直角，符合矩形定义。 E F G H 探究点：正方形的性质 知识点1 正方形的边角性质 （第1题） 1. 如图，四边形 是正方 形，平行于轴，， 两点的坐标分别为 ，，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 21 2.如图，在正方形中，以对角线为边作菱形 ， 连接，则 的度数为______. （第2题） 返回 考试考法 22 知识点2 正方形的对角线的性质 （第3题） 3. 如图，在正方形中，对角线 与 相交于点，以点为圆心， 长为半径 作弧，交于点，连接，则 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 23 （第4题） 4. 如图，正方形 的边长为2，连接 ，，平分交于点，则 的长是( ) D A. B. C. D. 考试考法 24 【点拨】如图，过点作于点 ，设 交于点 四边形 是正方形， ， .平分 交 于点，， 正 方形的边长为2，， 由勾股定理得 ， .在和 中， 考试考法 25 ， . ， ， 为等腰直角三角形， ， .故选D. 返回 考试考法 5.如图，在正方形中，对角线，相交于点 ， 的平分线交于点，交于点 . （1）求证： ； 考试考法 27 【证明】，是正方形 的对角 线， . 平分 ， ， ， ， ， . 考试考法 28 （2）若，求 的长度. 【解】如图，作交于点 . 四边形 是正方形， ， . ， 考试考法 29 ， ， . 又， ， 考试考法 ， . ， ， ， ， . 返回 考试考法 （第6题） 6. 如图，正方形和正方形 中，点 在上，，，是 的中点， 那么 的长是( ) B A. B. C. D. 2 考试考法 32 【点拨】如图，连接, ，由正方形的性质可得 ， . 是 的中点， .由正方形的性质可得 ， ， ，同理可 得， ， ，故选B. （第6题） 返回 考试考法 33 （第7题） 7. 如图，在正方形 中， 为边上一点，为 延长线上一点， 且，连接，， .给出下 列几个结论：①；② ； ③；④ ；⑤ .其中正确结论的个数是( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 考试考法 34 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 课堂小结 $