1.2 第2课时 菱形的判定（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，核心内容为三种判定定理，在菱形性质基础上通过逆向思维，以问题链（如“菱形性质的逆命题是否成立”）和动手操作搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于注重数学思维与几何直观，通过“问题-探究-证明-应用”流程，结合折纸、尺规作图（如作对角线为a的菱形）及实际情境题（等宽纸条交叉证菱形），培养学生推理能力与应用意识。小结用表格归纳判定方法，学生易系统掌握，教师可直接用于课堂提升效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 1.2 第2课时 菱形的判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版八年级数学1.2菱形的性质与判定（第2课时：菱形的判定）同步练习题 本课时核心学习内容为菱形的判定方法，是在菱形性质基础上的逆向运用。本节课重点掌握三种菱形判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。本套习题精准贴合课时考点，侧重判定定理的辨析、运用与简单证明，规避性质与判定混淆问题，夯实核心解题能力。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 一组________相等的平行四边形是菱形。 2. ________条边都相等的四边形是菱形。 3. 对角线互相________的平行四边形是菱形。 4. 在平行四边形的基础上，添加两个条件可判定为菱形：一是邻边相等，二是________。 5. 若四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是________。 6. 平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则该平行四边形是________。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 8. 对角线互相垂直且平分的四边形是________。 1. 下列条件中，能直接判定四边形是菱形的是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 四条边相等 D. 四个角相等 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有一边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 3. 平行四边形ABCD中，不能判定为菱形的条件是（ ） A. AB=BC B. AC⊥BD C. ∠ABC=90° D. AB=AD 4. 已知四边形对角线互相平分且垂直，则该四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 普通平行四边形 5. 菱形判定的核心前提是（ ） A. 任意四边形均可直接判定 B. 多数判定需先满足平行四边形 C. 必须有直角 D. 对角线必须相等 三、解答证明题（共50分） 1.（16分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD。求证：平行四边形ABCD是菱形。 2.（16分）已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：四边形ABCD是菱形。 3.（18分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD。求证：平行四边形ABCD是菱形。 参考答案与简要解析 一、填空题 1. 邻边 2. 四 3. 垂直 4. 对角线互相垂直 5. 菱形 6. 菱形 7. 菱形 8. 菱形 二、选择题 1.C 解析：四条边相等的四边形是菱形，为直接判定定理；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，需先为平行四边形。 2.C 解析：A需邻边相等，B缺少平行四边形前提，D是矩形判定条件。 3.C 解析：∠ABC=90°是矩形的判定条件，无法判定菱形。 4.B 解析：对角线互相平分是平行四边形，叠加对角线垂直，可判定为菱形。 5.B 解析：菱形多数判定定理依托平行四边形，仅四边相等可直接判定任意四边形为菱形。 三、解答证明题 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD（一组邻边相等），根据菱形判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD是菱形。 2. 证明：∵AB=BC=CD=DA，四边形ABCD四条边全部相等，根据菱形判定定理，四条边相等的四边形是菱形，∴四边形ABCD是菱形。 3. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC。又∵AC⊥BD，∴BD垂直平分AC，∴AB=BC。根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD是菱形。 课时小结：菱形判定分两类，1. 任意四边形：四条边相等→菱形；2. 平行四边形：邻边相等 或 对角线互相垂直→菱形。解题关键是区分判定前提，优先判断图形是否为平行四边形，再对应套用判定定理，杜绝定理混用、漏前提的错误。 1.探索并证明菱形的判定定理. 2.会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算. 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想. 学习目标 2 根据菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 矩形的判定： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形。 除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形? A D C B 3 知识点 菱形的判定 问题1 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形?为什么？ 一定是，因为四边相等意味着两组对边分别相等、邻边相等， 可先判定该四边形为平行四边形，然后根据菱形的定义判定该四边形为菱形. 你能证明一下吗？ 已知:如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. A D C B 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB = CD，AD = BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). ∵ AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 知识点 菱形的判定 菱形的对角线互相垂直. 逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形. 这个逆命题成立. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 你能说明其中的道理吗？ 知识点 菱形的判定 因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分， 可得对角线互相垂直平分， 进而得到一组邻边相等， 根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 知识点 菱形的判定 已知:如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD. 求证:□ ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC， ∴□ ABCD是菱形(菱形的定义). 知识点 菱形的判定 定理：四边相等的四边形是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 知识点 菱形的判定 判定方法 图示 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形 是菱形. ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形. B A D C 知识点 菱形的判定 知识点1 菱形的判定 四条边都 . 对角线互相 . 有一组邻边 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 问题1 (1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a. (1) 如图，作线段AC=a，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接AB，BC，CD，DA. 四边形 ABCD即为所求作的菱形. B D a A C 知识点 菱形的判定 问题1 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗?如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的? (2)不唯一， 给出菱形的边长且菱形的边长大于对角线AC的长度的一半即可作出唯一的菱形. B D A C a 知识点 菱形的判定 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. 例1 A B C D O 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 知识点 菱形的判定 1.你能用折纸的方法得到一个菱形吗?动手试一试，并说明你的方法的正确性. 解：通过折纸和裁剪可知四边形ABCD的四条边相等，所以四边形ABCD是菱形. A B C D O 随堂练习 2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗?为什么? 解：四边形ABCD是菱形. 设这两张等宽的纸条的宽均为h. ∵纸条的对边平行， ∴AD//BC，AB//DC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴S四边形ABCD= BC·h=AB·h， ∴ BC=AB， ∴平行四边形ABCD是菱形. A C D B 随堂练习 3.如图，下列条件能使□ABCD是菱形的是(　  ) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°； ③AB＝BC；④BD平分∠ABC. A.①③　　   B.②③　   　C.③④   　　D.①③④ D B A D C 随堂练习 4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形.  证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC， ∴ ∠EAC＝∠FCA. ∵ EF垂直平分AC， ∴ AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF（ASA）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 又∵ EF⊥AC， ∴ 平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. A E D B F C O 随堂练习 5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，又EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. A B C D E F 随堂练习 5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． (2)解：∵四边形BCFE是菱形， ∴BE∥CF，BE=BC， ∴∠EBC＝180°-∠BCF=180°-120°=60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴BC＝CE＝4， 易知等边三角形EBC的高为， ∴菱形的面积为4×=. A B C D E F 随堂练习 知识点1 由菱形的定义判定菱形 1. 依据所标识的数据判断，下列平行四边形一定为菱形的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 21 （第2题） 2. 如图，在中，平分 ， 交于点，交于点 ， 若，则四边形 的周长是( ) C A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 返回 考试考法 22 知识点2 由边的关系判定菱形 （第3题） 3. 如图，在 的两边上 分别截取，，使 ；分 别以点，为圆心， 长为半径作 弧，两弧交于点；连接， ， ，.若，四边形 的面积为.则的长为___ . 4 返回 考试考法 23 4.如图所示，，分别在和 上， ，则____ . 80 （第4题） 考试考法 24 知识点3 由对角线的关系判定菱形 （第5题） 5. [2026济南期中] 如图， 的 对角线，交于点 ，以下条件不 能证明 是菱形的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 25 菱形的判定 定义法 定理 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 边：四边相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 课堂小结 $