第一章勾股定理单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷全面覆盖勾股定理核心知识，通过生活情境、数学文化及分层问题设计，考查学生几何直观、运算能力与模型意识，适配初中数学勾股定理单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股定理应用（旗杆折断）、勾股数、折叠问题|基础巩固，结合图形直观| |填空题|6题|《九章算术》古题、圆柱中最短路径|文化传承，渗透空间观念| |解答题|8题|实际测量（池塘距离）、赵爽弦图证明、长方体表面最短路径|综合应用，考查推理能力与模型意识|

第一章勾股定理单元测试卷 一、单选题 1.如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前 的高为(). 9m 12m A.8米 B.10米 C.15米 D.24米 S S2 2.如图，分别以R1△1BC的直角边4B,BC为边向外作正方形，其面积分别为， 以斜边1C为直径向外画半圆，其面积为3.若=5,8=3，只 ,则等于() S S2 A.π B.2π C.4π D.8π 3,手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边.下列 四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是() A.72,242,25B.7,24,26C.0.7,2.4,2.5D.14,48,50 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AD平分∠CAB交BC于点D, 则线段CD的长度为() D 试卷第1页，共3页 B.2 15 C.8 D.5 5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,沿DE折叠，使点A与点B重合，则 DE的长为() D 11 A.3 B.4 c 5 D.4 6.如图，村庄C在新修的村道B端北偏西35°方向100米处，同时在新修的村道A端南偏 西55°方向240米处，村道AB长为260米.现需在村道AB上修建一个公交车停靠站D, 要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是() 1200 1300 A.88米 B.90米 C.13米 D.12米 7,已知直角三角形的两条直角边长分别为“，6，斜边为1-。 且a+b+c=0.则 ab+ac+bc的值为() A,3 1 B.2 c.3 8.如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形(Rt△ADE,Rt△DCH,Rt△CBG, Rt△BAF)与一个小正方形EFGH组成的一个大正方形ABCD,连接DF交CH于点M, 已知正方形ABCD的面积为25，DE=2AE,下列结论正确的是() 试卷第2页，共3页 E A.正方形EFGH的面积为4 B.DF2=20 C.M是DF的中点 D.BG·CG=15 9.如图，长方体的长BE=20cm,宽AB=10Cm,高AD=15cm,点M在CH上，且 CM=5cm.如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点M,那么它爬行的最短路程 是() G H M D E A B A.152cm B.10v5cm C.30cm D.(5+5/13)cm 10.两个边长分别为a,b，c的直角三角形和一个两条直角边都是C的直角三角形拼成如 图所示的图形，可得等式为() C b a A.a2+b2=c2 B.(a-b)=c2 C.(a+b)=c2 D.a2-b2=c2 二、填空题 11.若6，a,10是勾股数，则a的值是 12.《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译 文：有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺， 试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折 断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度OA长为x 试卷第3页，共3页 尺，方程为 13.如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径9cm,内壁高12cm,高出笔 筒部分为4cm,则这支铅笔的长度可能是cm 14.在△ABC中，AB=14,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是 15.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别在边AB,AC 上，若BE=2,CF=3,DE⊥DF,则EF的长度为 E 16.如图，AC=3,BC=4,AB=5,点D是直线BC右侧一动点，且满足△BCD的面积是 3,则BD+CD的最小值为 B D 三、解答题 17.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD=90°，以AD边向外作正方形ADEF,若 试卷第4页，共3页 AB=万，BC=3.CD=4,求正方形4DEF 的面积. 18.校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A,B之间的 距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C,使 BC=6米；②在AC的一侧选点D,恰好使BD=8米，CD=10米；③测得AD=17米.请 根据他们的操作过程，回答以下问题： (I)求∠ABD的度数： (2)求出A,B两点间的距离。 19.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方 案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为I5m;根据手中余线长度，计算出AC的长度为 17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为l.5m.己知点A,B,C,D在同一平面内. ◇ O (I)求风筝离地面的垂直高度CD: (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,请问能否成功？请 说明理由 20.如图，四边形ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90° 试卷第5页，共3页 B (1)求∠ADC的度数. (2)求四边形ABCD的面积 21.如图，点E是长方形ABCD边上的一点，将边AD沿直线AE折叠，使点D落在BC边 上的F点处，若AB=4cm,BC=5cm,求EC的长. A D E 22.阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形.如图1，弦图中包含了一大 一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,斜边长C,用面积法 得到直角三角形三边长a,b,c之间的一个重要结论：a2+b2=c2. G H A b b B 图1 图2 图3 (L)如图1，已知：∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证a2+b2=c2 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且BC=a,AC=b ∴正方形CFGH的边长为 :AB=C,且 E方eD=4S,4c+S方带CrGH(等面积法)， 试卷第6页，共3页 .c2=4× =a2+b2 a2+b2=c2 (2)如图2，四边形ACED是直角梯形，∠C=∠E=90,BC=a,AC=b,AB=c,其中 AB=BD,∠ABD=90° △ABC≌ABDE 求证： (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的 “数学风车”，若a=6,b=5,外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车 图案的面积. 23.如图，△ABC中，AB=3,AC=5,BC边上的中线AD=2,延长AD到点E,使得 DE=AD,连接CE A (I)求证：△DEC≌aDAB: (2)求BC的长： (3)求△ABC的面积. 24.如图，在三角形支架ABC中，AD⊥BC,垂足为D,E为AB的中点， AB=2,AC=1.5,F为BD上一点，DF=DC=0.9. E B (I)求BD的长： (2)若点M为线段AD上一动点，则EM+FM的最小值为. 试卷第7页，共3页 第一章勾股定理单元测试卷 一、单选题 1．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 【答案】D 【分析】根据旗杆与地面垂直，可知是直角三角形，且直角边的长度分别为和，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即为旗杆折断之前的高． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 2．如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 3．手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数是指满足（为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，故A不满足勾股数的定义； 对于选项B：，故B不满足勾股数的定义； 对于选项C：，，都不是正整数，故C不满足勾股数的定义； 对于选项D：，且，，都是正整数，满足勾股数的定义，故D正确． 4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，利用勾股定理求出，再证明，即可求出，，再在中利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，如图， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴． 5．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 6．如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 7．已知直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，且．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形性质得到a，b，c的关系，再利用勾股定理和完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：该三角形是直角三角形，两直角边分别为，，斜边为， 由勾股定理得：， 整理得， 又， 对等式两边平方得：， 展开得：， ， 解得：． 8．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 9．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 10．两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 【详解】解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 二、填空题 11．若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 12．《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为_______． 【答案】 【分析】设折断处离地面的高度是x尺，则尺，在利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，则尺， 在中，利用勾股定理可得：． 13．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径，内壁高，高出笔筒部分为，则这支铅笔的长度可能是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据题意画出图形， 利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：根据题意可得图形： ，， 在中：， 这支铅笔的长度可能是 14．在中，，，高，则的周长是______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，分别为高在内部和高在外部，利用勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，即可计算出的周长． 【详解】解：分两种情况讨论：当高在的内部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 当高在的外部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 综上所述，的周长是或． 15．如图，在中，，点为的中点，点，分别在边，上，若，，，则的长度为________． 【答案】 【分析】延长到点G；使，连接．证明，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长到点G；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ， ． 16．如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，且 ；然后根据三角形面积公式求出点 到直线 的距离，确定点 的轨迹是一条平行于 的直线；最后利用轴对称性质（将军饮马模型），作点 关于该直线的对称点，发现对称点即为点 ，从而将 的最小值转化为线段 的长度 ． 【详解】解： 是直角三角形，且 ， ， 设点 到直线 的距离为 解得 点 在平行于 且到 距离为 的直线 上 ， 如图所示， 作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ， 直线 ， 直线 点 在直线 上 点 与点 关于直线 对称，且直线 到 的距离为 ， ， ，且点 在直线 右侧， 点 与点 重合， 的最小值 ． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，以边向外作正方形，若，，，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 先利用勾股定理计算，再求解即可得答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 正方形的面积为． 18．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 19．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点，，，在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由如下： 设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 不能上升． 【分析】（1）过点作于点，可得，，在中，由勾股定理得出的长即可得出结果； （2）设能上升，如图，延长至点，使，连接，根据勾股定理求出的长，可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则，，， 在中，由勾股定理得： ， ． （2）解：略 20．如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由等腰直角三角形的性质确定，即可求解； （2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接，   ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ （2）四边形的面积为：． 21．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 22．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 23．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）利用即可证明； （2）可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵是的中线， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 24．如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． (1)求的长； (2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】(1)1.6 (2) 【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线定理以及轴对称求最短路径的核心知识点． （1）先在中用勾股定理求出，再在中用勾股定理求出． （2）利用是的垂直平分线，将转化为，其最小值为线段 的长，再通过构造直角三角形，用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：∵ ， ，． ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为的长． 取的中点，连接． ∵ ，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $