第二章实数单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 第二章实数单元测试卷，全面覆盖实数核心知识，融入数学文化与数形结合，梯度设计适配单元复习，提升数学眼光与思维能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|无理数判断、二次根式概念、勾股定理估算|结合毕达哥拉斯学派数学文化（第2题），数轴与几何直观（第5题）| |填空题|6|无理数识别、立方根运算、实际应用|正方体体积与圆柱体积转化（第12题），数轴覆盖数判断（第15题）| |解答题|8|勾股定理作图、方程与开方、探究性问题|数形结合探究近似值（第21题），新定义“相关代数式”（第24题），体现推理能力与创新意识|

第二章实数单元测试卷 一、单选题 1．如图，在中，，若，，估计的值在（    ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即的值在6到7之间． 2．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即不能用整数或整数的比（分数）表示的数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A．选项是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； B．选项是分数，属于有理数，不符合要求； C．选项开平方开不尽，不能用整数或整数的比表示，是无理数，符合要求； D．选项是有限小数，可化为，属于有理数，不符合要求． 3．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B． 4．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 5．如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置求出的长，由圆的半径相等得出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可 【详解】解：点表示的实数是， ， 以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点， ， 点表示的实数是，且， ，， 在中，由勾股定理得：． 6．若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系，用到初中幂的乘方性质：，正指数相同的情况下，底数越大幂越大. 【详解】解：∵ ，，， 又∵ 指数都是正整数，且， ∴ ， 即 . 7．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 8．如图，正方形的面积为6，数轴上点A的坐标为0．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N，的长为（     ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的概念可求，据此计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ； ∵以A点为圆心，为半径，与数轴分别交于点M，N， ∴； ∴的长为． 9．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 10．如图，四边形的对角线，交于点，，，将沿翻折，点落在上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，由翻折可得，由得，根据勾股定理可得，进而得，根据题意由证明，得，，由勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理得，列关于的方程求解，计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由翻折可得，，垂直平分， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ，， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ． 二、填空题 11．下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有3个． 故答案为：3． 12．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径，那么正方体的棱长为___．（π取3） 【答案】 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，然后根据立方根的意义求解正方体的棱长即可． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入，得 ， ， ∴正方体的棱长为． 13．计算：5 + =______． 【答案】 【分析】先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 14．若有理数a，b满足，则______． 【答案】81 【分析】根据有理数的概念和实数的运算法则分析计算． 【详解】解：∵，是有理数， ， ， ∴． 15．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 16．已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：的立方根是， ， ， ，即， 是的整数部分， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 三、解答题 17．利用勾股定理在数轴上画出的点P 【答案】 【分析】在数轴原点的正半轴上取点，使（单位长度）；过点作数轴的垂线，在垂线上截取（单位长度）；连接，由勾股定理得，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，点就是表示的点． 【详解】略 18．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 19．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 20．如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）长方形周长（长宽），据此计算即可； （2）用广场面积减去两块绿地面积可得出需要铺地砖的面积，再乘以每平方米铺地砖的费用即可． 【详解】（1）解：周长米． （2）解：广场面积：平方米， 两块绿地面积：平方米， 需要铺地砖的面积：平方米， 费用：元， 答：这个广场铺地砖的费用为17750元． 21．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 22．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 23．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)还需要块正方形地板砖 【分析】（1）根据所给等式，找出规律，即可得出答案； （2）（ⅰ）根据每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……，即可得出答案； （ⅱ）根据（i）中规律解得即可； （3）设可铺设层，根据（2）中规律列出方程，结合（1）中规律解方程求出，根据每层都有块正方形地板砖即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴． （2）解：（ⅰ）由图形可知，每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……， 第一层包括块正三角形地板砖， 第二层包括块正三角形地板砖， 第三层包括块正三角形地板砖， ∴第层包括块正三角形地板砖， （ⅱ）由（i）规律可得，第层中含有块正三角形地板砖． （3）解：设可铺设层， ∵有块正六边形、块正三角形地板砖， ∴， ∴， 解得：（负值舍去），即共铺设层， ∵每层都有块正方形地板砖， ∴还需要块正方形地板砖． 24．若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”， ， 则； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：代数式与互为“相关代数式” ， 则， ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二章实数单元测试卷 一、单选题 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，若BC=5,AB=4,估计AC的值在() B A.5到6之间B.6到7之间 C.7到8之间 D.8到9之间 2.古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分 数)表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比 (分数)表示，由此引发了第一次数学危机.这里“不能用整数或整数的比（分数）表示 的数”是无理数，则下列数是无理数的是() 1 A.3.14159 B.3 C.5 D.1.2 3.若实数a,b同时满足a-|b=3,a-b=4,则下列结论正确的是() A.ab0 B.Ibl-b=1 C.|a+|b=6 D lakbl 4.下列式子中，不一定是二次根式的是( A.V12 B.Vx2-2xy+y2 C.Vx-1 D.V-2)x(-3) 5如图，在数轴上，若点4表示的实数是5 ,以原点O为圆心，OA为半径画弧，点B 为弧上一点，过点B向数轴作垂线，垂足为点C,点C表示的实数是2，则点B到数轴的 距离BC的长为() 、B -3-2-101 23→ A.I1 B V c D.2 试卷第1页，共3页 6.若a=2,b=32,c=5,那么a、b、c的大小关系为() A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 7.如图是一个数值转换器的原理图，当输入x的值为81时，输出y的值是() 输入x 取算数平方根 是不是 无理数 输出y以 不是 A.2 B.3 c v D.3 8.如图，正方形ABCD的面积为6，数轴上点A的坐标为0.以点A为圆心，AB的长为 半径画弧，与数轴分别交于点M,N,MN的长为() D B M 0 A.6 B.12 C.v6 D.2V6 9.已知a是(-2的负平方根，b军，c=64,则a,b,c中最大的实数与最小 的实数的差是() A.-2 B.2 C.6 D.8 10,如图，四边形8CD的对角线4C,8D交于点0，B=V厅，8C=35, 将aBCD 沿BD翻折，点C落在AC上的点E处，若BE⊥BC,∠ADE=∠BDE,则AD的长为 () E A.8 B.10 C65 D.4V5 试卷第2页，共3页 二、填空题 11.下列各数2、-3.1415、3、1.23、-√万、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一 个0)中，是无理数的有 个 12.将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯水中，水位升高了15mm.如果玻璃杯内部的 底面半径90mm,那么正方体的棱长为mm.(m取3) 13.计算：52+V④⑧ 14,若有理数a,b满足V2a+b+5=a-b+92 15.若将3V行 10 这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖 的数是 -2-1012345 16,已知“的立方根是3，b是S 的整数部分，则+b的平方根是 三、解答题 V34 17.利用勾股定理在数轴上画出的点P 0 -2-101234567→ 18.将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块， 且长方体铁块的长、宽、高的比为1：1：8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少cm? 19.已知4a+3的立方根是3,3a+b的算术平方根是5. (1)求a,b的值： (2)求3a-b的平方根. 20,如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为57万米 3V27 米，宽 米，中间有两块大小 相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为2,50 为22米 米，宽 试卷第3页，共3页 (1)求广场的周长. (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广 场铺地砖的费用. 21,【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究V3 的近似值，过程如下： “面积为”的正方形的边长是V39,具6<V39<7 39 V39 可以设为以下两种形式： ① 39=6+a(0<a<1)@39=7-b(0<b<1) ② 小谢展示了利用②探究近似值的过程 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图 7 7-b 39 (7-b)b b (7-b)b b2 S正方形=39+2(7-b)b+b2=72 整理得39+14b-b2=49, 0<b<1, b较小，可忽略不计. .14b≈49-39， 649-395 147, 39≈7- 7≈629 【方法运用】 试卷第4页，共3页 (1)请写出V27在哪两个连续整数之间：-<V27<: (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究√27的近似值 22,阅速材料，在病入无理数√2时.加图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线丽 将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长 为，则=2，从而求出=万 就得到了大正方形的边长为2 ，借助此过程就可以将 √5 在数轴上表示出来.阅读后解答下列问题： 图1 图2 (1)上述材料中蕴含的数学思想是 思想；（填序号） ①数形结合②分类讨论③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为x)剪开，将所得的 4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即x的值）； ②在数抽上画出表示1+5 的点.（不写作法，保留作图痕迹） -4-3-2-101234 23.【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： 1=12, 1+3=4=22 试卷第5页，共3页 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+…+2027= (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六 边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外，每层有6块正方形地板砖， 第一层包括6块正三角形地板砖，第二层包括18块正三角形地板砖…以此递推 (i)第4层中含有 块正三角形地板砖； (ⅱ)第n层中含有块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）. 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、2400块正三角形地板砖， 问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 24.若两个含有二次根式的代数式M,N满足M·N=t,其中t是有理数，则称M与N互 为“t相关代数式” @若M与5 是互为9相关代数式”，则M ②若M=a-50是有理数，N=8+25,且M与V是互为‘相关代数式”，求“和 的值； ③)若含有二次根式的代数式V7:+2x+4+V2:与7r+2x+4-V2x互为“32相关代数 式”，求的值. 试卷第6页，共3页