专题02勾股定理的应用 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版七升八数学暑假预习讲义

专题02勾股定理的应用暑假预习讲义 · 会转化：能将生活中的高度、距离、最短路径等实际问题，转化为可计算的直角三角形几何模型，掌握 “提取条件→画示意图→标注边长→列式求解” 的完整解题流程。 · 会运算：熟练运用勾股定理及变形公式（、），准确识别直角边与斜边，规范书写解题步骤，规避开方遗漏、边长代错等易错点。 · 会区分：清晰界定勾股定理与逆定理的应用边界 —— 勾股定理用于已知直角求边长，逆定理用于已知边长判直角，避免场景混用。 · 会自学：自主研读课本典型例题，圈画 “垂直”“最短”“高度” 等关键条件，标记建模思路、计算步骤中的疑惑点，带着问题参与课堂学习，提升听课针对性。 · 重素养：养成 “先画图建模、再分析推理、后规范作答” 的解题习惯，体会数形结合、化归建模的数学思想，提升几何应用与逻辑推理能力。 预习必备 知识梳理 1.核心解题思想:数学建模 2.勾股定理公式与变形 3.四大经典应用模型 4.通用解题步骤 5.应用场景:核心公式+等量关系 6.解题规范与易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求旗杆高度 2.求小鸟飞行距离 3.求大树折断前的高度 4.勾股定理与网格问题 5.勾股定理与折叠问题 6.求梯子滑落高度 7.解决水杯中筷子问题 8.解决航海问题 9.求河宽 10.求台阶上地毯长度 11.判断汽车是否超速 12.判断是否受台风影响 13.两地等距选址问题 14.求最短路径 15.勾股定理逆定理的实际应用 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点03:四大经典应用模型｜考试全覆盖 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题技巧：设未知线段长，利用折叠相等关系表示边长，结合勾股定理列方程求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点04:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点05:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点06:解题规范与易错点汇总 1. 规范书写步骤 第一步：画示意图，标注已知边长和未知量 第二步：说明直角，明确哪条边是斜边 第三步：列公式，代入已知数据 第四步：计算，开方后化简根式 第五步：作答，带单位（如米、厘米） 2. 高频易错点 易错点 错误示例 正确做法 斜边与直角边混淆 把梯子底端离墙距离当作斜边 先找直角，直角对的边才是斜边（最长边） 忘记开方 算出 a2 + b2 = 25，直接写边长为 25 必须对平方和开算术平方根，得 c=5 建模错误 折叠问题中找不到新直角三角形 先还原折叠前图形，找出相等的边，再定位直角 单位遗漏 计算结果只写数字，不写单位 实际问题必须带单位，如 “5 米”“10cm” 场景混淆 用逆定理求长度，用勾股定理判直角 勾股定理：已知直角求边长；逆定理：已知边长判直角 题型1.求旗杆高度 【典例】明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 【跟踪专练1】如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【跟踪专练2】如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 【跟踪专练3】【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 题型2.求小鸟飞行距离 【典例】公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【跟踪专练1】如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【跟踪专练3】2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 题型3.求大树折断前的高度 【典例】如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 【跟踪专练1】如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【跟踪专练2】由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【跟踪专练3】如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 题型4.勾股定理与网格问题 【典例】一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________． 【跟踪专练1】如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【跟踪专练3】如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画一个面积为5的等腰直角三角形．（要求所画图形的顶点均在格点上，不用写出画法） 题型5.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为________． 【跟踪专练1】如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【跟踪专练3】如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 题型6.求梯子滑落高度 【典例】如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 【跟踪专练1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【跟踪专练3】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 题型7.解决水杯中筷子问题 【典例】如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根长为的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是___________． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【跟踪专练2】印度数学家什迦罗（1141年～1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位五尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识解答这个问题． 【跟踪专练3】平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    题型8.解决航海问题 【典例】2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【跟踪专练1】如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【跟踪专练2】一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． (1)求A，C两港之间的距离（结果精确到）； (2)确定C港在A港的什么方向． 【跟踪专练3】海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 题型9.求河宽 【典例】如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【跟踪专练2】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【跟踪专练3】校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 题型10.求台阶上地毯长度 【典例】在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯，台阶的剖面图如图，地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同，地毯的长度至少为________ 【跟踪专练1】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【跟踪专练3】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 题型11.判断汽车是否超速 【典例】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【跟踪专练1】县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【跟踪专练2】为切实做好防溺水与道路交通安全宣讲工作，某镇政府使用移动广播车开展巡回宣传．如图，笔直公路旁有一村庄A，村庄A到公路的距离为400米（即于点B），广播车的有效收听半径为500米．广播车在公路上沿方向匀速行驶，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后则无法听到广播．求该村村民能够连续听到广播宣传时，广播车行驶的路程的长． 【跟踪专练3】如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 题型12.判断是否受台风影响 【典例】若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是_________． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________． 【跟踪专练1】如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【跟踪专练2】如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【跟踪专练3】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型13.两地等距选址问题 【典例】小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【跟踪专练1】如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m. 【跟踪专练2】如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【跟踪专练3】如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 题型14.求最短路径 【典例】如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是__________． 【跟踪专练2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 【跟踪专练3】葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【跟踪专练1】如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【跟踪专练2】为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【跟踪专练3】如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理的应用暑假预习讲义 · 会转化：能将生活中的高度、距离、最短路径等实际问题，转化为可计算的直角三角形几何模型，掌握 “提取条件→画示意图→标注边长→列式求解” 的完整解题流程。 · 会运算：熟练运用勾股定理及变形公式（、），准确识别直角边与斜边，规范书写解题步骤，规避开方遗漏、边长代错等易错点。 · 会区分：清晰界定勾股定理与逆定理的应用边界 —— 勾股定理用于已知直角求边长，逆定理用于已知边长判直角，避免场景混用。 · 会自学：自主研读课本典型例题，圈画 “垂直”“最短”“高度” 等关键条件，标记建模思路、计算步骤中的疑惑点，带着问题参与课堂学习，提升听课针对性。 · 重素养：养成 “先画图建模、再分析推理、后规范作答” 的解题习惯，体会数形结合、化归建模的数学思想，提升几何应用与逻辑推理能力。 预习必备 知识梳理 1.核心解题思想:数学建模 2.勾股定理公式与变形 3.四大经典应用模型 4.通用解题步骤 5.应用场景:核心公式+等量关系 6.解题规范与易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求旗杆高度 2.求小鸟飞行距离 3.求大树折断前的高度 4.勾股定理与网格问题 5.勾股定理与折叠问题 6.求梯子滑落高度 7.解决水杯中筷子问题 8.解决航海问题 9.求河宽 10.求台阶上地毯长度 11.判断汽车是否超速 12.判断是否受台风影响 13.两地等距选址问题 14.求最短路径 15.勾股定理逆定理的实际应用 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点03:四大经典应用模型｜考试全覆盖 1. 高度距离模型（生活必考） 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 2. 折叠几何模型（中档重难点） 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题技巧：设未知线段长，利用折叠相等关系表示边长，结合勾股定理列方程求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 3. 路程航行模型（实际应用题） 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点04:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点05:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点06:解题规范与易错点汇总 1. 规范书写步骤 第一步：画示意图，标注已知边长和未知量 第二步：说明直角，明确哪条边是斜边 第三步：列公式，代入已知数据 第四步：计算，开方后化简根式 第五步：作答，带单位（如米、厘米） 2. 高频易错点 易错点 错误示例 正确做法 斜边与直角边混淆 把梯子底端离墙距离当作斜边 先找直角，直角对的边才是斜边（最长边） 忘记开方 算出 a2 + b2 = 25，直接写边长为 25 必须对平方和开算术平方根，得 c=5 建模错误 折叠问题中找不到新直角三角形 先还原折叠前图形，找出相等的边，再定位直角 单位遗漏 计算结果只写数字，不写单位 实际问题必须带单位，如 “5 米”“10cm” 场景混淆 用逆定理求长度，用勾股定理判直角 勾股定理：已知直角求边长；逆定理：已知边长判直角 题型1.求旗杆高度 【典例】明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据已知先表示出的长度，然后在中，利用勾股定理建立方程． 【详解】由题意可知：尺，尺，尺，尺， （尺）， 尺， 在中，， ． 【跟踪专练1】如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）． 【跟踪专练2】如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 【答案】 【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得为长方形， ，，， ， 在中，由勾股定理得： ． 【跟踪专练3】【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 【答案】解：设旗杆高度为x米，则绳子长度为米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即旗杆的高度为15米． 【分析】设旗杆高度为x米，则绳子长度为米，利用勾股定理解即可． 【详解】略 题型2.求小鸟飞行距离 【典例】公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三角形的斜边长，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意画图如下：其中，， ∴， 过C作，交于， ∴， ∴两棵树的高度差，两棵树的水平距离， 根据勾股定理可得， 即小鸟至少要飞． 【跟踪专练1】如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 【跟踪专练2】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 【跟踪专练3】2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【答案】是安全的 【分析】根据勾股定理可得米，然后问题可求解 【详解】解：∵， 由勾股定理得：米， 根据题意可得米， ∴， ∴此时风筝的高度是安全的． 题型3.求大树折断前的高度 【典例】如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 【答案】16 【分析】树折断之前有x米，画出模型图，结合勾股定理即可作答． 【详解】解：树折断之前有x米，模型如图， 根据题意有：，，，， 即， 根据勾股定理有：， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）， 即树折断之前有米． 【跟踪专练1】如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】设竹子折断处离地面的高度为尺，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺， 由勾股定理可得， 解得：， ∴竹子折断处离地面的高度为尺． 【跟踪专练2】由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 【跟踪专练3】如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：，，， ∴， ∵， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【分析】由勾股定理得出的长，再与米比较即可得出答案． 【详解】略 题型4.勾股定理与网格问题 【典例】一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】设地砖的边长为1，根据勾股定理求出阴影区域的边长，求出总面积及阴影区域的面积，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：设地砖的边长为1，则阴影区域的边长为， ∴总面积，阴影区域的面积， ∴小球停留在阴影区域的概率是． 【跟踪专练1】如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用网格结合勾股定理，计算出每个线段的长度即可． 【详解】由网格可知，，， 由勾股定理可得，，， ∴只有线段长为． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形 【详解】解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 【跟踪专练3】如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画一个面积为5的等腰直角三角形．（要求所画图形的顶点均在格点上，不用写出画法） 【答案】如图，是一个面积为5的等腰直角三角形， 【分析】画一个直角边长为的等腰直角三角形即可． 【详解】略 题型5.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， 四边形是长方形，，， ，， 在中，， ，解 得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 【跟踪专练3】如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 题型6.求梯子滑落高度 【典例】如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 【答案】2 【分析】先由勾股定理求解，即可得到，根据梯子的长度不变，再由勾股定理求解，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴由勾股定理得 梯子顶端下滑至 在中，，， 由勾股定理得 ． 【跟踪专练1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． 【跟踪专练2】风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为米． （2）解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 【跟踪专练3】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 题型7.解决水杯中筷子问题 【典例】如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根长为的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是___________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度． 先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可． 【详解】解：如图所示：，，， ∴吸管在饮料罐内部的长度为：， ∵吸管的总长度为， ∴外部长度为， 即吸管露在饮料罐外部的长度是． 故答案为：3 ． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 【跟踪专练2】印度数学家什迦罗（1141年～1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位五尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识解答这个问题． 【答案】尺 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用未知数表示出三角形的各边，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图进行标注： 由题意可得：尺， 设尺，则（尺）， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴（尺）， ∴湖水深12尺． 【跟踪专练3】平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    【答案】4米，5米 【分析】设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米， 根据勾股定理得， 解得（米）， 故（米）． 题型8.解决航海问题 【典例】2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 【跟踪专练1】如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 【详解】解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 【跟踪专练2】一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． (1)求A，C两港之间的距离（结果精确到）； (2)确定C港在A港的什么方向． 【答案】(1) (2) 港在港北偏东的方向上 【分析】（1）利用方位角和平行线的性质推出，用勾股定理计算的长度，再取近似值即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，结合方位角计算出港相对港的方向即可． 【详解】（1）解：根据题意作图： ，，，， ， ， 在中，， 答：两港之间的距离约为． （2） ，， 是等腰直角三角形， ， ， 答：港在港北偏东的方向上． 【跟踪专练3】海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 题型9.求河宽 【典例】如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键． 先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：∵舟艇速度为，用时， ∴ ∵是礁石到河岸的距离， ∴，即是直角三角形 由勾股定理得： ． 故选：C． 【跟踪专练1】某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 【跟踪专练2】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 【跟踪专练3】校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 题型10.求台阶上地毯长度 【典例】在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯，台阶的剖面图如图，地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同，地毯的长度至少为________ 【答案】17 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 利用勾股定理求出另一条直角边的长，根据平移可知地毯的长度等于两直角边的和，然后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个长方形， 根据勾股定理，可求得长方形的长为：， ∴地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 【跟踪专练2】如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 【跟踪专练3】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 题型11.判断汽车是否超速 【典例】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【跟踪专练1】县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 【跟踪专练2】为切实做好防溺水与道路交通安全宣讲工作，某镇政府使用移动广播车开展巡回宣传．如图，笔直公路旁有一村庄A，村庄A到公路的距离为400米（即于点B），广播车的有效收听半径为500米．广播车在公路上沿方向匀速行驶，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后则无法听到广播．求该村村民能够连续听到广播宣传时，广播车行驶的路程的长． 【答案】广播车行驶的路程的长为米． 【分析】根据题意可得米，易证，利用勾股定理求出米，即可得到． 【详解】解：∵广播车的有效收听半径为500米，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后无法听到广播， ∴米， ∵， ∴， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：广播车行驶的路程的长为米． 【跟踪专练3】如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 题型12.判断是否受台风影响 【典例】若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是_________． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________． 【答案】 240 12 60 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可； （2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可； （3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解． 【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，   ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 解得， 故答案为：240； （2）如图，    当时，正好影响学校， ∴， ∴， ∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B， ∴， 故答案为：12； （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（）， ∴， ∴其行驶速度至少应增加到． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 【跟踪专练2】如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 (3)能完成卸货，理由见解析 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； （3）解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【跟踪专练3】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 题型13.两地等距选址问题 【典例】小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 【跟踪专练1】如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m. 【答案】1000 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′EB中， A′B===1000（m）． 即牧童最少要走1000米． 故答案为1000． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 【跟踪专练2】如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 【跟踪专练3】如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 题型14.求最短路径 【典例】如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 【跟踪专练1】如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是__________． 【答案】 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为，宽为． 于是最短路径为：． 【跟踪专练2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：将半圆面展开，如图所示， ∵，，． ∴在中，由勾股定理得． 答：他滑行的最短距离为． 【跟踪专练3】葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 【答案】(1) (2)   【分析】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为，，再利用勾股定理求出长方形对角线长即为最短路程； （2）先根据勾股定理求出绕树圈的高度，再求出绕树圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形， 则长方形的对角线的长为最短路径． 由题意，得，． 由勾股定理，得． 故葛藤绕树盘旋的最短路程是． （2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，． 由勾股定理，得， 葛藤绕树1圈升高． 若绕树圈到达树顶，则树干的高为． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，最短路径为长方形的对角线长得出是解题关键． 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 【跟踪专练1】如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 【跟踪专练2】为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 【跟踪专练3】如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $