专题05有理数的乘除运算暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题05有理数的乘除运算暑假预习讲义 · 自主阅读教材，理解有理数乘法法则，能说出两数相乘时积的符号怎么确定，并会计算简单两数乘法。 · 看懂多个有理数相乘的符号规律，能根据负因数个数判断积的正负，会计算多个数连乘。 · 认识倒数的定义，会求非 0 有理数的倒数，记住 0 没有倒数。 · 掌握有理数除法法则，理解 “除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”，能把除法运算转化为乘法计算。 · 记住 0 参与乘除的特殊规定：0 乘任何数都得 0；0 除以任何不为 0 的数都得 0，0 不能作除数。 · 了解有理数乘法交换律、结合律、分配律，知道运算律在负数乘法中依然适用。 · 理清乘除混合运算步骤，学会先把所有除法转化成乘法，再从左到右约分计算。 · 能独立完成课本基础例题，找出乘除计算里容易出错的地方，做好标记留待课堂解决。 预习必备知识梳理 1.倒数 2.有理数乘法 3.有理数除法 4.有理数乘除混合运算 5.实际应用题型 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题8题 知识点01:倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点02:有理数的乘法 一、两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 1 判断两个因数符号，确定积的符号； 2 计算两个数绝对值的乘积； 3 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 二、多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 三.乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 一、除法两条核心法则 法则 1（转化法，通用） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：ab=a(b≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 法则 2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 注意：0 不能作除数，0÷0 无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒数）； 2.统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积； 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】若的结果是一个正数，中可以填的一个有理数为_________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则，两数相乘同号得正，已知其中一个因数为负数，故另一个因数需为负数，据此确定□内的有理数． 【详解】解：∵的结果是一个正数， ∴中的数必须为负数， ∴中可以填的一个有理数为．（答案不唯一） 【跟踪专练1】若，且，则（　　） A． B．3 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 本题先根据绝对值的性质确定a、b的可能取值，再结合a、b异号的条件分情况计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，满足条件，此时，； 当时，满足条件，此时，； 故选：C． 【跟踪专练2】定义两种运算“”和“”：对于任意两个有理数，则的结果是___________． 【答案】23 【分析】此题主要考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解有理数混合运算法则是解题关键． 直接根据新定义的运算法则进行运算即可． 【详解】解： 故答案为：23． 【跟踪专练3】明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了“铺地锦”乘法计算方法的理解与应用，解题的关键是根据斜行相加的进位规则，结合乘积2176的各位数字，通过代入选项验证确定和的可能值． 根据“铺地锦”规则，结果2176的十位数字为，结合图中格子数字和的位置关系，可得的个位数字为，即（舍去，选项无此答案）或结合进位分析，十位斜行相加为；同时千位和百位的数字组合需满足21的结果，结合选项中的取值，代入验证的合理性． 【详解】解：由“铺地锦”计算规则，结果2176的十位数字为，对应图中十位斜行相加的结果个位为，即的个位为（或含进位情况）． 逐一分析选项： A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，结合进位规则，（十位斜行），符合2176的数字特征，此选项符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 故选：C． 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 【跟踪专练1】三个连续整数的积是0，则这三个整数的和是(    ) A． B．0 C．3 D．或0或3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．三个连续整数的积为，则至少有一个整数为．分别考虑在第一个、第二个或第三个位置，计算三种情况下的和． 【详解】设三个连续整数为，，为整数． 积为， ， 或或， 即或或． 当时，三个整数为，，，和为； 当时，三个整数为，，，和为； 当时，三个整数为，，，和为． 这三个整数的和为或或． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 【详解】解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 【跟踪专练3】若这三个数的积比0大，则的值可以是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了多个有理数相乘的乘法法则，根据三个数的积大于0的条件，结合已知两个数的符号，推导出的取值范围，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项中只有A选项小于0， 故选：A． 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】某酒店想将10个无障碍停车位设置在酒店入口附近，准备规划每个停车位的长度为6米，宽度为2米，并且停车位旁设置宽度为1米的下车区，相邻的停车位可以共享下车区．若以下图的方式让这些停车位相邻，且两个相邻的停车位之间皆有下车区，则图中的停车位及下车区的总宽度是（   ） A．29 B．30 C．69 D．80 【答案】A 【分析】图中共有10个停车位，9个下车区，计算它们的总宽度即可． 【详解】解：（米）． 【跟踪专练1】某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 【答案】2458 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，读懂题目信息，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键． 根据阶梯电价标准，年用电量5000度超过4700度，需分三部分计算电费：3000度及以下部分、超过3000度但不超过4700度部分、超过4700度部分． 【详解】解：第一阶梯电费为元； 第二阶梯电费为元； 第三阶梯电费为元； ∴总电费为元． 故答案为： 【跟踪专练2】一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 【答案】200 【分析】列车通过隧道行驶的总路程等于隧道长度与列车车身长度之和，先根据路程等于速度乘时间求出总路程，再减去隧道长度即可得到列车车身长度 【详解】解：列车通过隧道行驶的总路程为（米） 因为列车通过隧道的总路程隧道长度列车车身长度 所以列车车身长为（米） 【跟踪专练3】构造一种新的进位制：第k位（从右向左数）上的数字满进1，即个位满2进1，十位满3进1，依此类推…，这样的进位制称为“对应进制”．（例如：十进制1，2，3，4，5，6，7，8分别对应“对应进制”的数是1，10，11，20，21，100，101，110），若一个对应进制的数是321，则它对应的十进制的数是（    ） A．23 B．22 C．21 D．24 【答案】A 【分析】本题考查不同进制之间的转化，根据题意，得到个位数为1，十位上的一个1表示2，百位上的一个1表示，据此进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 题型4.倒数 【典例】的倒数是__________． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 【跟踪专练1】若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据绝对值的非负性，求出的值，再计算，最后得到的倒数即可． 【详解】∵与均为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的倒数为． 【跟踪专练2】如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的意义，有理数的加法等知识．先根据题意得到，，再分和两种情况即可求出的值． 【详解】解：因为a的绝对值为7， 所以， 因为b的倒数为， 所以， 当是，； 当是，． 故选：D． 题型5.有理数乘法运算律 【典例】某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，核心是掌握不同运算律的定义．乘法分配律的内容为：一个数与几个数的和(或差)相乘，等于把这个数分别与这几个数相乘，再将所得的积进行相应的加减．第一步是将括号外的数与括号内的每一项分别相乘，符合乘法分配律的应用． 【详解】解：观察第一步运算：，是把分别与括号内的、、相乘，再将积相加，这符合乘法分配律的特征． 故选：C． 【跟踪专练1】在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 【跟踪专练2】计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 题型6.有理数的除法运算 【典例】，为使等式成立，（    ）内应填的数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：． 【跟踪专练1】小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 【跟踪专练2】将十进制数45转换为二进制数，这个二进制数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了进制的转化，十进制数转换为二进制数，采用除2取余法，并将余数逆序排列即可． 【详解】解：将45除以2，商22余1； 将22除以2，商11余0； 将11除以2，商5余1； 将5除以2，商2余1； 将2除以2，商1余0； 将1除以2，商0余1． 将余数逆序排列，得到二进制数． 故答案为 【跟踪专练3】如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 根据绝对值的性质和有理数的除法可得，即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 题型7.有理数除法的应用 【典例】海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为工程问题，考查了有理数的混合运算，将总工作量看作单位“”，先求出甲、乙两队的工作效率，再计算两队合作的工作效率，最后根据“工作时间总工作量合作工作效率”求解所需天数即可． 【详解】解：∵设总工作量为，甲工程队单独施工需天完成， ∴甲的工作效率为； ∵乙工程队单独施工需天完成， ∴乙的工作效率为； ∴两队合作的工作效率为， 故两队合作完成工程所需天数为（天）． 故选：A． 【跟踪专练1】买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克( )元，芒果每千克( )元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的应用，由千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，可得葡萄每千克（元），从而可求芒果每千克得价钱，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱， 所以葡萄每千克（元）， 所以芒果每千克（元）， 故答案为：，． 【跟踪专练2】如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【答案】 【分析】令可得块蛋糕的质量，再令结果除以，即可得一块蛋糕的质量． 【详解】解：由题意可得：块蛋糕的质量为：（克）， ∴一块蛋糕的质量为：（克）， 【跟踪专练3】毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】要求准考证号是218号应该在第几考场，就用，如果能整除商是几就在几考场，如果不能整除就在商加1的考场，据此解答即可． 【详解】解：（人）， （考场）． 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】进价为80元的商品，售价为100元，则该商品利润率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利润率公式：利润率利润进价，代入数据计算即可. 【详解】解：∵ 利润售价进价， ∴ 该商品的利润为 元， ∵ 利润率利润进价， ∴ 利润率为 . 【跟踪专练1】规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的阶乘新定义，展开分子分母后约分计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中阶乘的定义，得，， ∴． 【跟踪专练2】一次聚会上有25个人，如果每两个人要握一次手，那么25个人共握手__________次． 【答案】300 【分析】此题考查了握手问题，计算25个人中每两人握一次手的次数，相当于求从25个元素中取2个的组合数，每个人需要与其他24个人握手，但每对握手被计算了两次，因此总握手次数为次． 【详解】解：每个人需要与其他24个人握手， 但每对握手被计算了两次， 因此总握手次数为次． 故答案为：300 【跟踪专练3】从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵（为正整数）， ∴ ， 故选：D． 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【跟踪专练1】计算： 【答案】 【详解】解：原式 【跟踪专练2】计算：． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练3】.学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】在数学中，为了简便，记，，，，，，则________． 【答案】2 【分析】根据题目给出的新定义运算，先计算两个求和式的差，再化简商，最后计算得到结果． 【详解】解：根据题意可得， ． 【跟踪专练2】定义一种新运算：对于任意的有理数，如：，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，根据新定义的运算规则进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“有理数的混合运算”，规则如下：每人只能看到前一人的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题干中的计算步骤，根据相关运算法则及运算顺序进行判断即可． 【详解】解：甲计算： 错误地算为 ，正确应为 ，故甲错误． 乙计算：从甲得 和 ，乙写为 ，此步正确（因 ）． 丙计算：从乙得 ，应算为 ，但丙错误地算为 ，故丙错误． 丁计算：从丙得 ，此步计算正确但基于错误输入． ∴ 错误出现在甲和丙． 故选：B． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用利润售价进价，利润率利润进价，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得利润率为． 【跟踪专练1】小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【答案】C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 【详解】解：4 筐萝卜的总质量为千克． 【跟踪专练2】现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 【答案】二 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．根据方案分别算出两种回报的总钱数，再进行比较即可． 【详解】解：方案一的总回报：（元）； 方案二最后一天的回报：（元）， 总回报：（元）， ， 故答案为：二． 【跟踪专练3】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题目定义可得所表示的数为，再进行计算求解. 【详解】解：， 故选：D． 12.数轴位置判断代数式正负 【典例】点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查由数轴上点的位置判断式子符号，数形结合是解决问题的关键． 由点在数轴上的位置得到，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则，由可得，故①错误； 由，可得，故②正确； 由，可得，故③正确； 由，，且可得，结合绝对值代数式意义可知，故④正确； 综上所述，结论正确的是②③④， 故答案为：②③④． 【跟踪专练1】有理数在数轴上的位置如图所示，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，借助数轴进行数或式子的大小比较，先确定，的符号，再逐一确定式子的符号，解答即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴可知，该选项错误，不符合题意； 、由数轴可知，该选项错误，不符合题意； 、由数轴可知，， ∴，该选项正确，符合题意； 、由数轴可知，， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据数轴上的点判断式子的正负，以及有理数加法、乘法法则，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据数轴得到，再结合有理数加法、乘法法则分析判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， ， 则A、C、D结论错误，不符合题意，B结论正确，符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 题型13.数轴上的翻折 【典例】小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：D． 【跟踪专练1】已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数2024的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的折叠问题，找出对折的中心是解题的关键．根据折叠的性质，先找出中心，再根据对称关系，可以确定与表示数2024的点重合的点． 【详解】解：折叠纸面，数轴上表示数的点与表示数0的点重合， 折叠的中心是， ∵数轴上表示数2024的点与A点重合， ∴点A所表示的数为： ． 故选：D． 【跟踪专练2】在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，先求出折叠前，再结合折叠后得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【跟踪专练3】小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为12， ， 到表示1的点的距离为， 点表示的数为， 故选：A． 专题14.新定义运算 【典例】规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，…，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据运算符号“”的定义，将分式化简后，利用有理数的乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，为有理数，定义新运算：，则______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义；根据新运算的定义，分别计算和，再求它们的差． 【详解】解：对于， ，； 对于， ，； 因此． 故答案为：． 【跟踪专练2】若对于任何非零的有理数a、b定义运算“☆”如下：，如，则的值为（   ） A． B．7.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算法则是解题关键．根据新定义运算法则，再结合有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 则， 故选：C 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 【跟踪专练4】在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“”；． 如： ． 解答下列问题： (1)计算：的值； (2)在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 【答案】(1) (2)计算结果的最大值为 【分析】本题主要考查了新定义运算、绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握新运算法则的分类讨论是解题的关键． （1）按照新运算法则，代入数值计算绝对值与代数和，再求平均值． （2）分两种情况讨论新运算的表达式，分别求出两种情况的最大值，再比较得最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：当 时，， ∵， ∴当时，此时最大值为 ； 当 时，， ∵， ∴当，时，最大值． ∵ ， ∴的最大值为 ． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）先计算乘法，再计算加法即可； （2）利用有理数的乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）利用乘法交换律和结合律计算即可； （2）先将除法运算转为乘法运算，然后利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算 【答案】 【分析】观察题干，找到规律，可得中间的相同数据两两结合进行加减，即可将原式化为，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 5．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 【答案】(1)司机在门店东侧，距离门店 (2)总耗油量为 (3)司机本次一共收到车费为元 【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案； （2）根据总耗油量单位耗油量总路程，即可得到答案； （3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：司机在门店东侧，距离门店； （2）解：总路程： 总耗油量：； （3）解：第1单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第2单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第3单：行驶，超过的部分为，费用为（元）； 第4单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第5单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 总车费：（元）． 6．如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)的值是，的值是； (2)；经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （）根据题意可得的符号相反，且，根据可得的值； （）根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇时点对应的数值； 根据题意和分类讨论的数学思想即可求解． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ∴，， ∴的值是，的值是； （2）解：由题意可得， 相遇所需的时间：（秒）， ∴点对应的数是：， ∴点对应的数为； 相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 7．某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求收工时距地多远？ (2)当检修小组返回到地时，若每耗油升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时在地东向处 (2)当检修小组返回到地时，共耗油升 【分析】（1）将所有数据相加，求和后根据和的情况进行判断即可； （2）将所有行驶记录数据的绝对值相加，再加上收工时距地的距离得到总路程，再乘以每的油耗，进行计算即可． 【详解】（1）解：， 即收工时在地东向处； （2）解：（升）． 即当检修小组返回到地时，共耗油升． 8．已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴及数轴上点的特征，绝对值的意义，相反数和倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置关系及有理数的加减运算判定即可； （2）根据绝对值的意义，相反数和倒数的定义得到，，，代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得，，所以，，． 故填：，，． （2）解：因为表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数， 所以，，， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘除运算暑假预习讲义 · 自主阅读教材，理解有理数乘法法则，能说出两数相乘时积的符号怎么确定，并会计算简单两数乘法。 · 看懂多个有理数相乘的符号规律，能根据负因数个数判断积的正负，会计算多个数连乘。 · 认识倒数的定义，会求非 0 有理数的倒数，记住 0 没有倒数。 · 掌握有理数除法法则，理解 “除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”，能把除法运算转化为乘法计算。 · 记住 0 参与乘除的特殊规定：0 乘任何数都得 0；0 除以任何不为 0 的数都得 0，0 不能作除数。 · 了解有理数乘法交换律、结合律、分配律，知道运算律在负数乘法中依然适用。 · 理清乘除混合运算步骤，学会先把所有除法转化成乘法，再从左到右约分计算。 · 能独立完成课本基础例题，找出乘除计算里容易出错的地方，做好标记留待课堂解决。 预习必备知识梳理 1.倒数 2.有理数乘法 3.有理数除法 4.有理数乘除混合运算 5.实际应用题型 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题8题 知识点01:倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点02:有理数的乘法 一、两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 1 判断两个因数符号，确定积的符号； 2 计算两个数绝对值的乘积； 3 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 二、多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 三.乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 一、除法两条核心法则 法则 1（转化法，通用） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：ab=a(b≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 法则 2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 注意：0 不能作除数，0÷0 无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒数）； 2.统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积； 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】若的结果是一个正数，中可以填的一个有理数为_________． 【跟踪专练1】若，且，则（　　） A． B．3 C．或3 D．或 【跟踪专练2】定义两种运算“”和“”：对于任意两个有理数，则的结果是___________． 【跟踪专练3】明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【跟踪专练1】三个连续整数的积是0，则这三个整数的和是(    ) A． B．0 C．3 D．或0或3 【跟踪专练2】如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【跟踪专练3】若这三个数的积比0大，则的值可以是（　　） A． B．0 C．1 D．2 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】某酒店想将10个无障碍停车位设置在酒店入口附近，准备规划每个停车位的长度为6米，宽度为2米，并且停车位旁设置宽度为1米的下车区，相邻的停车位可以共享下车区．若以下图的方式让这些停车位相邻，且两个相邻的停车位之间皆有下车区，则图中的停车位及下车区的总宽度是（   ） A．29 B．30 C．69 D．80 【跟踪专练1】某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 【跟踪专练2】一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 【跟踪专练3】构造一种新的进位制：第k位（从右向左数）上的数字满进1，即个位满2进1，十位满3进1，依此类推…，这样的进位制称为“对应进制”．（例如：十进制1，2，3，4，5，6，7，8分别对应“对应进制”的数是1，10，11，20，21，100，101，110），若一个对应进制的数是321，则它对应的十进制的数是（    ） A．23 B．22 C．21 D．24 题型4.倒数 【典例】的倒数是__________． 【跟踪专练1】若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 【跟踪专练3】若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 题型5.有理数乘法运算律 【典例】某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【跟踪专练1】在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【跟踪专练2】计算：_____． 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 题型6.有理数的除法运算 【典例】，为使等式成立，（    ）内应填的数是（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪专练1】小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将十进制数45转换为二进制数，这个二进制数为_________． 【跟踪专练3】如果，那么的值为（　　） A． B． C．0或 D．不确定 题型7.有理数除法的应用 【典例】海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克( )元，芒果每千克( )元． 【跟踪专练2】如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【跟踪专练3】毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】进价为80元的商品，售价为100元，则该商品利润率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次聚会上有25个人，如果每两个人要握一次手，那么25个人共握手__________次． 【跟踪专练3】从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【跟踪专练1】计算： 【跟踪专练2】计算：． 【跟踪专练3】.学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 【跟踪专练1】在数学中，为了简便，记，，，，，，则________． 【跟踪专练2】定义一种新运算：对于任意的有理数，如：，则的值为___________． 【跟踪专练3】李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“有理数的混合运算”，规则如下：每人只能看到前一人的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【跟踪专练2】现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 【跟踪专练3】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 12.数轴位置判断代数式正负 【典例】点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填序号） 【跟踪专练1】有理数在数轴上的位置如图所示，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 题型13.数轴上的翻折 【典例】小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【跟踪专练1】已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数2024的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【跟踪专练3】小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 专题14.新定义运算 【典例】规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，…，则的值为______． 【跟踪专练1】已知，为有理数，定义新运算：，则______． 【跟踪专练2】若对于任何非零的有理数a、b定义运算“☆”如下：，如，则的值为（   ） A． B．7.5 C． D． 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练4】在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“”；． 如： ． 解答下列问题： (1)计算：的值； (2)在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算 5．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 6．如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 7．某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求收工时距地多远？ (2)当检修小组返回到地时，若每耗油升，问共耗油多少升？ 8．已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $