乘法公式与因式分解 讲义-2026年初升高数学衔接

初高衔接之乘法公式与因式分解 模块一：乘法公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ． 模块二：因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用.因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等，主要方法有：十字相乘法（重中之重）、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能。 十字相乘 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即, 那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 双十字相乘法 双十字相乘法也叫长十字相乘法。式中的三个十字叉实际是三次十字相乘。其中两次十字相乘就可以确定式中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下。双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解。 双十字相乘法的步骤：对于形如 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F的多项式的因式分解，基本步骤是： (1)运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式： (2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第三个十字的右端，使这两个因数与含y的项的交叉之积的和等于原多项式中含y的一次项Ey，同时这两个因数与含×的项的交义之积的和等于原多项式中含x的一次项 Dx.如下图所示： 例1：已知，，则________ 【答案】8 【解答】 例2 ：运用公式展开： 【答案】【解析】原式= 例3：已知： 【答案】见解析 【解析】 例4：计算： （1） （2） （3） （4） 解：（1）原式=43+m3=64+m3 （2）原式=（）3-（）3=3-n3 （3）原式=（a2-4）（a4+4a2+42）=（a2）3-43=a6-64 （4）原式=（x+y）2（x2-xy+y2）2=[（x+y）（x2-xy+y2）]2=（x3+y3）2=x6+2x3y3+y6 例5：已知的值. 【答案】见解析 【解析】 例:6：阅读与思考：将式子分解因式． 法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由，； 分析：这个式子的常数项，一次项系数， 所以. 解：. 法二：配方的思想. . 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）用两种方法分解因式：； （2）任选一种方法分解因式：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）法一： , 法二： , （2） . 或 . 例7：分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】见解析 【解析】 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例8：把下列各式分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】见解析 【解析】 (1) (2) (3) (4)[(8p+q)(64p2-8pq+q2)] (5) (6)+ 例9：分解因式： (1) (2) （3） （4） 【答案】见解析 【解析】 (1)(待定系数法) (2) (3) (4) 例10：解不等式x2-（2a+2）x+a2+2a≤0 【答案】见解析 【解析】 x2-（2a+2）x+a2+2a≤0 课后练习： 1、已知，则等于________ 【答案】3【解答】解：，，或（舍去） 2．若n满足（n-2011）2+（2012-n）2=1,则（2012-n）（n-2011）等于（ ） A． －1 B． 0 C． D． 1 【答案】B 【解析】分析：首先设a=n－2011，b=2012－n，然后根据完全平方公式得出ab的值，从而得出答案． 详解：设a=n－2011，b=2012－n， ∴a+b=1，， ∴ ∴ab=0，即(n－2011)(2012－n)=0，故选B． 3、分解下列因式： （1） 【解析】 （2） 【解析】 (3) 【解析】 (4) 【解析】 (5) 【解析】 4、计算： 【解析】 5、已知：的值. 【解析】 6、设的值. 【解析】 7、已知，求的值 【解析】 8、解方程 【解析】 9.解不等式 【解析】 10、因式分解： （1） 【解析】原式=4k2+8mk+（3m+1）（m-1） =（2k+m-1）（2k+3m+1） （2） 【解析】原式=6x2+（16-13y）x+2y2+y-6 =6x2+（16-13y）x+（2y-3）（y+2） =（x-2y+3）（6x-y-2） （3） 【解析】原式=4x2-（4y+8）x-8y2+10y+3 =4x2-（4y+8）x+（4y+1）（-2y+3） =（2x+2y-3）（2x-4y-1） 11、已知，，则________ 【答案】 【解答】 12、对以下式子进行因式分解 （1）（其中） （2） （3）（其中） （4） 【答案】（1）；（2）（3）（4） 13、设，求的值. 【答案】110 【解析】 1 学科网（北京）股份有限公司 $初高衔接之乘法公式与因式分解 模块一：乘法公式 (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 (3)立方和公式 (a+b)a2-ab+b2)=a'+b: (4)立方差公式 (a-b)(a2+ab+b2)=a-b: (5)三数和平方公式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac): (6)两数和立方公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b; (7)两数差立方公式 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 模块二：因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运 算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用因式分解的方法较多，除了初中教材中涉 及到的提取公因式法和运用公式法（只讲平方差公式和完全平方公式）外，还有运用公式法（立 方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等，主要方法有：十字相乘法（重中之重）、 提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.因式分解的问题 形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能。 十字相乘 在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即 a=a1×a2,常数项c可以分解成两个因数之积，即c=C×C2,把a,a2,G,C2.排列如下： az' ac2+ac1 按斜线交叉相乘，再相加，得到aC2+a2C,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系 数b,即aC2+a2G=b, 那么二次三项式就可以分解为两个因式4x+℃与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(ax+c)(azx+c2). 飘十字相乘法 双十字相乘法也叫长十字相乘法。式中的三个十字叉实际是三次十字相乘。其中两次十 字相乘就可以确定式中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同 一列的两个数的位置交换一下。双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于 二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解。 双十字相乘法的步骤：对于形如Ax+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F的多项式的因式分解，基本步 骤是： (1)运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式： (2)在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第三个十 字的右端，使这两个因数与含y的项的交叉之积的和等于原多项式中含y的一次项y,同时 这两个因数与含×的项的交义之积的和等于原多项式中含x的一次项Dx.如下图所示： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F f acz+ac=B af+a=D c方+c2f=E Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=(ax+cy+f)(azx+c2y+f) 例1：己知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,则a2+b2+c2= 例2：运用公式展开：(2a-36-c'-一 例3：己知：x-3x+1=0,求x+的值 例4：计算： 1m1. 2,1 (4+mj(16-4m+m2) (2) 5m- 10 mn+n) m+- 41 (1) (3)(a+2川a-2(a4+4a2+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2 例5：已知>0a2=3,求0+a a+ax的值： 例6：阅读与思考：将式子-6r+8分解因式 法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形 (p+x+pq=(x+p)x+p)(x+)=x+(p+q)x+pq 分析：这个式子的常数项8=(-2)×(-4)，一次项系数-6=(-2)+(-4)， 所以2-6x+8=2+[(-2)+(-4x+(-2)×(-4) 解：t2-6r+8=(x-2)(x-4) 法二：配方的思想2-6r+8 =x2-6x+9-9+8 =(x-3)2-1 =(x-3+1)·(x-3-1) =(x-2)·(x-4) 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)用两种方法分解因式：x2-10x+21, (2)任选一种方法分解因式：(t2-6)2-22-6)-3 例7：分解因式：(1)6x2+5x+1 (2)6x2+11x-7 3)42r2-3r+6 ④272+3 4 6)2-32+128 (⑥20-14r-16 例8：把下列各式分解因式 (0)a+27 (2)8m (3)-27x2+8 四-0a 肉sry西 026y+7c (62161 例9：分解因式： ()x2-y-2y2-2x+7y-3 (2)ab-2a-b+2 (3)x2+(2m+1)x+m2+m (4)(x+y)2-(3+a)x+y+3a 课后练习： 5 1小已脚+口-7，则+疗梦于 2.若n满足(-2011)2+(2012-n)2=1,则(2012-n)(n-2011)等于（) A.-1 B.0 c. D.1 3、分解下列因式：(1)x-1 (2)x3+1 (3)-y2-x+3y-2 (46y+4r+3y+2 (⑤)-(a+br+ab 4、计算：(x+1)(x-1)x2-x+1)(x2+x+1) 5、已知：x+y=1,求x3+y3+3y的值. 6段+的直 7、已知2-5x+1=0求r+的值 8、解方程-亿+x+1=0 9.解不等式x2-(a2+a+1)x+a2(a+1)≤0，(a≥2). 10、因式分解： (1)4k2+8km+3m2-2m-1 (2)6x2-13xy+2y2+16x+y-6 (3)4x2-4xy-8y-8c+10y+3 > 11、已知a+B+c2=28,b+bc+ac=4,则a+b+c= 12、对以下式子进行因式分解 (1)ar-(2a-)x-2(其中a≠0) (2)x2-2x+1-a2 (3)mx2-2mx-2x+4(其中m≠0) (4)x-(m-3)x-3m 13、设x+y=5,w=l,求r+y的值 8