专题2.5 有理数的乘法与除法 2026年苏科版新七年级数学暑假预习讲义

专题2.5 有理数的乘法与除法 【本节预习目标】 1.理解并掌握有理数乘法、除法法则，能规范完成有理数的乘除运算及混合运算，提升运算准确率。 2.掌握有理数乘法的交换律、结合律与分配律，能根据算式特点灵活选用简便方法优化运算过程。 3.理解“除法转化为乘法”的转化思想，能运用有理数乘除解决实际情境问题，建立数学模型。 4.结合数轴、绝对值理解乘除运算的符号规律，发展数学运算与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 算术运算 正数与0的乘法、除法运算规则；乘法交换律、结合律、分配律 有理数乘除是算术乘除的拓展，引入负数后需先判断符号，再计算绝对值 有理数基础 相反数、绝对值的概念与性质；有理数的加减运算 乘除运算的符号判断依赖数的正负属性，运算核心是绝对值的乘除 数量关系 生活中的倍数关系、平均分、单价×数量=总价等基础数量关系 有理数乘除可刻画升降倍率、盈亏分摊、阶梯计费等实际问题 知识点1：有理数的乘法法则 1.两数相乘法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，都得。 示例：；。 2.多个有理数相乘的符号法则 几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正。 几个数相乘，如果其中有一个因数为，那么积等于。 3.乘法运算律 运算律 文字叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点2：倒数 1.倒数的定义 乘积是的两个数互为倒数。即若与互为倒数，则。 注意：没有倒数；倒数等于它本身的数是和。 2.不同类型数的倒数求法 数的类型 求倒数的方法 示例 真分数、假分数 将分子、分母交换位置 的倒数是 非整数 整数作分母，作分子 的倒数是 有限小数 先转化为分数，再交换分子分母 ，倒数是 带分数 先化为假分数，再交换分子分母 ，倒数是 知识点3：有理数的除法法则 1.除法的基本法则 除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。 字母表示： 2.两数相除的符号法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以任何一个不等于的数，都得。 示例：；。 知识点4：有理数的乘除混合运算与四则混合运算 1.乘除混合运算 先将除法全部转化为乘法，再按照多个有理数相乘的规则计算；同级运算从左到右依次进行。 2.有理数加减乘除四则混合运算 运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数乘法基础运算 1.核心知识点 有理数乘法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①遵循“先定号，后定值”的原则，先根据因数的符号判断积的符号； ②同号相乘结果为正，异号相乘结果为负，再将绝对值相乘； ③任何数与相乘结果直接为，无需计算绝对值。 【例题1】.（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式题1-1】.（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·河南平顶山·二模）计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【变式题1-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】有理数除法基础运算 1.核心知识点 有理数除法法则；倒数的概念 2.解题方法技巧 ①两数能整除时，直接用符号法则：同号得正，异号得负，绝对值相除； ②不能整除或含有分数时，将除法转化为“乘除数的倒数”再计算； ③不能作为除数，除以任何非数都得。 【例题2】.（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【变式题2-1】.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题2-3】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【题型3】倒数的判断与求值 1.核心知识点 倒数的定义；不同类型数的倒数求法 2.解题方法技巧 ①求带分数的倒数先化为假分数，求小数的倒数先化为分数，再交换分子分母； ②互为倒数的两个数符号相同，乘积恒为； ③利用“互为倒数的两数乘积为”的性质，可整体代入求值。 【例题3】.（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．和互为倒数 B．和互为倒数 C．和互为倒数 D．0的倒数是0 【变式题3-1】.（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题3-2】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【变式题3-3】.（2026·广东深圳·三模）下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 【培优提升题型】 【题型4】乘法运算律的简便计算 1.核心知识点 乘法交换律、结合律、分配律；简便运算策略 2.解题方法技巧 ①凑整结合：利用交换律、结合律，将能凑成整数、整十的数优先相乘； ②分配律正用：将括号外的数分别乘括号内每一项，消去分母简化计算； ③分配律逆用：提取公共因数，将剩余部分合并后再相乘； ④带分数拆分：将接近整数的带分数拆成“整数±分数”的形式，再用分配律计算。 【例题4】.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【变式题4-1】.（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题4-3】.（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【题型5】有理数乘除混合运算 1.核心知识点 除法化乘法；乘除混合运算顺序 2.解题方法技巧 ①第一步将所有除法统一转化为乘法，写成连乘的形式； ②先根据负因数个数确定最终结果的符号； ③再对所有绝对值进行约分，约去公因数后计算最终结果。 【例题5】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）． 【变式题5-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【变式题5-2】.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)． (2). (3)． (4)． 【题型6】生活情境中的乘除应用 1.核心知识点 有理数乘除的实际意义；阶梯计费、平均分配等数量关系 2.解题方法技巧 ①读懂题意，明确单位量与总量的关系，确定用乘法还是除法； ②阶梯计费类问题，先划分费用区间，分段计算后再求和； ③平均分配、单位换算类问题，理清基准量与变化量的关系。 【例题6】.（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【变式题6-3】.（2026·北京西城·三模）社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【压轴素养题型】 【题型7】有理数四则混合运算的简便计算 1.核心知识点 四则混合运算顺序；倒数法、分组法等进阶技巧 2.解题方法技巧 ①严格遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序； ②除法无分配律，可先将除法转化为乘法，再逆用分配律简化； ③对于“一个数除以多个数的和差”的形式，可采用倒数法，先求原式的倒数，再还原结果。 【例题7】.（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【变式题7-1】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【题型8】乘除法规律探究 1.核心知识点 有理数乘除运算；数列规律归纳与分组计算 2.解题方法技巧 ①先计算前-项的结果，寻找数字变化的周期或通项规律； ②连乘类规律题可通过约分抵消中间项，简化首尾计算； ③交替变化类题目可分组计算，每组结果相同，转化为组数乘每组结果。 【例题8】.（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【题型9】新定义乘除运算 1.核心知识点 有理数乘除运算；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先准确理解新定义的运算规则，明确触发不同运算的边界条件； ②根据参数的取值范围，分类讨论对应哪种运算规则，再代入计算； ③嵌套型新定义从最内层开始计算，每一步都验证条件，逐步向外求解。 【例题9】.（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）在学习了《有理数的运算》后，小奇同学对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则如下：（不相等），例如，． (1)填空：_________； (2)求的值； (3)试以和的值说明：对于新定义的运算“”，交换律是否成立？ 【变式题9-1】.（25-26七年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“差数”．将一个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把原两位数与新两位数的差与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，原两位数与新两位数的差为，差-9与9的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列数中：20、58、88中，“差数”为__________；②计算，__________； (2)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是y，则__________（用含有x，y的代数式来表示）． (3)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“差数”； 【变式题9-3】.（24-25七年级上·山西长治·期中）项目化学习 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组研究对象：对称数 研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析—猜想—验证 研究内容： 1.定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 2.观察： ； ； ； … 任务： (1)①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除； ②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想； (2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的． 易错点 1、多个有理数相乘时，负因数个数统计错误导致符号出错；或忽略算式中含的因数，错误计算绝对值乘积。 2、除法转化乘法时变号不完整：只改变除号不将除数变为倒数，或遗漏除数的符号，导致结果符号错误。 3、乘法分配律应用错误：漏乘括号内的某一项，或括号前是负号时，括号内各项符号处理错误。 4、倒数概念混淆：误认为有倒数，或负数没有倒数；将倒数与相反数的概念混淆。 重点 1、有理数乘法、除法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用乘法运算律进行简便计算，熟练完成有理数乘除混合与四则混合运算。 3、运用有理数乘除建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、多个有理数乘除混合的符号精准处理，以及运算律的灵活选用与技巧变形。 2、规律探究、新定义、跨学科创新题型中的逻辑推理与数学建模。 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 2．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 3．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 二、填空题 4．计算： ______． 5．的倒数是______，______，的相反数是______． 6．如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 三、解答题 7．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 8．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 9．小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 有理数的乘法与除法 【本节预习目标】 1.理解并掌握有理数乘法、除法法则，能规范完成有理数的乘除运算及混合运算，提升运算准确率。 2.掌握有理数乘法的交换律、结合律与分配律，能根据算式特点灵活选用简便方法优化运算过程。 3.理解“除法转化为乘法”的转化思想，能运用有理数乘除解决实际情境问题，建立数学模型。 4.结合数轴、绝对值理解乘除运算的符号规律，发展数学运算与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 算术运算 正数与0的乘法、除法运算规则；乘法交换律、结合律、分配律 有理数乘除是算术乘除的拓展，引入负数后需先判断符号，再计算绝对值 有理数基础 相反数、绝对值的概念与性质；有理数的加减运算 乘除运算的符号判断依赖数的正负属性，运算核心是绝对值的乘除 数量关系 生活中的倍数关系、平均分、单价×数量=总价等基础数量关系 有理数乘除可刻画升降倍率、盈亏分摊、阶梯计费等实际问题 知识点1：有理数的乘法法则 1.两数相乘法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，都得。 示例：；。 2.多个有理数相乘的符号法则 几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正。 几个数相乘，如果其中有一个因数为，那么积等于。 3.乘法运算律 运算律 文字叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点2：倒数 1.倒数的定义 乘积是的两个数互为倒数。即若与互为倒数，则。 注意：没有倒数；倒数等于它本身的数是和。 2.不同类型数的倒数求法 数的类型 求倒数的方法 示例 真分数、假分数 将分子、分母交换位置 的倒数是 非整数 整数作分母，作分子 的倒数是 有限小数 先转化为分数，再交换分子分母 ，倒数是 带分数 先化为假分数，再交换分子分母 ，倒数是 知识点3：有理数的除法法则 1.除法的基本法则 除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。 字母表示： 2.两数相除的符号法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以任何一个不等于的数，都得。 示例：；。 知识点4：有理数的乘除混合运算与四则混合运算 1.乘除混合运算 先将除法全部转化为乘法，再按照多个有理数相乘的规则计算；同级运算从左到右依次进行。 2.有理数加减乘除四则混合运算 运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数乘法基础运算 1.核心知识点 有理数乘法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①遵循“先定号，后定值”的原则，先根据因数的符号判断积的符号； ②同号相乘结果为正，异号相乘结果为负，再将绝对值相乘； ③任何数与相乘结果直接为，无需计算绝对值。 【例题1】.（2026·天津西青·二模）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 【变式题1-2】.（2026·河南平顶山·二模）计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 【变式题1-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型2】有理数除法基础运算 1.核心知识点 有理数除法法则；倒数的概念 2.解题方法技巧 ①两数能整除时，直接用符号法则：同号得正，异号得负，绝对值相除； ②不能整除或含有分数时，将除法转化为“乘除数的倒数”再计算； ③不能作为除数，除以任何非数都得。 【例题2】.（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 【变式题2-1】.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式题2-3】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键是掌握有理数的除法运算． 将带分数转换为假分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【题型3】倒数的判断与求值 1.核心知识点 倒数的定义；不同类型数的倒数求法 2.解题方法技巧 ①求带分数的倒数先化为假分数，求小数的倒数先化为分数，再交换分子分母； ②互为倒数的两个数符号相同，乘积恒为； ③利用“互为倒数的两数乘积为”的性质，可整体代入求值。 【例题3】.（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．和互为倒数 B．和互为倒数 C．和互为倒数 D．0的倒数是0 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的知识，乘积是1的两数互为倒数．根据倒数的概念求解． 【详解】解：A、和不互为倒数，此选项说法错误，不符合题意； B、和不互为倒数，此选项说法错误，不符合题意； C、和互为倒数，此选项说法正确，符合题意； D、0没有倒数，此选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 【变式题3-2】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【答案】C 【详解】解：A．0的相反数是0，0没有倒数，错误 ​B．乘积为1的两个数互为倒数，的倒数是，不是4，错误 ​C．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，相加结果恒为0，正确 ​D．倒数等于本身的数有1和，错误 【变式题3-3】.（2026·广东深圳·三模）下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义，解题关键是掌握互为倒数的两个数乘积为，计算各选项两数的乘积即可判断． 【详解】解： ．∵ ，∴选项符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，且没有倒数，∴选项不符合题意； 【培优提升题型】 【题型4】乘法运算律的简便计算 1.核心知识点 乘法交换律、结合律、分配律；简便运算策略 2.解题方法技巧 ①凑整结合：利用交换律、结合律，将能凑成整数、整十的数优先相乘； ②分配律正用：将括号外的数分别乘括号内每一项，消去分母简化计算； ③分配律逆用：提取公共因数，将剩余部分合并后再相乘； ④带分数拆分：将接近整数的带分数拆成“整数±分数”的形式，再用分配律计算。 【例题4】.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 【变式题4-1】.（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 【变式题4-2】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式题4-3】.（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】有理数乘除混合运算 1.核心知识点 除法化乘法；乘除混合运算顺序 2.解题方法技巧 ①第一步将所有除法统一转化为乘法，写成连乘的形式； ②先根据负因数个数确定最终结果的符号； ③再对所有绝对值进行约分，约去公因数后计算最终结果。 【例题5】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式题5-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将式子省略成“和”的形式，再从左往右计算即可； （2）先确定符号，再将式子统一为“乘”的形式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)． (2). (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可； （3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （4）先将原算式化为，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型6】生活情境中的乘除应用 1.核心知识点 有理数乘除的实际意义；阶梯计费、平均分配等数量关系 2.解题方法技巧 ①读懂题意，明确单位量与总量的关系，确定用乘法还是除法； ②阶梯计费类问题，先划分费用区间，分段计算后再求和； ③平均分配、单位换算类问题，理清基准量与变化量的关系。 【例题6】.（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 【详解】解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 【变式题6-3】.（2026·北京西城·三模）社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【答案】 0 284 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【详解】解：（1）所有商品的总重量为， 总价值为元， 要让两个纸箱的商品总价值之差最小，需尽量让两箱价值接近总价值的一半元，同时每箱重量不超过， 存在可行分装方案：第一箱装件洗衣液、件洗洁精和件香皂， 重量为， 价值为元； 第二箱装件洗衣液、件卷纸和件香皂， 重量为， 价值为元； 两箱价值相等，差值最小为元； （2）要求整箱总件数恰好件且不超重，求总价值最高值，优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择件洗衣液时重量为，剩余件总重量需不超过，选择件洗洁精和件卷纸，总重量为，刚好符合不超过， 此时总价值为元； 若选择件洗衣液重量为，剩余件最高价值组合为件洗洁精加件香皂，总价值为元，低于元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为元． 【压轴素养题型】 【题型7】有理数四则混合运算的简便计算 1.核心知识点 四则混合运算顺序；倒数法、分组法等进阶技巧 2.解题方法技巧 ①严格遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序； ②除法无分配律，可先将除法转化为乘法，再逆用分配律简化； ③对于“一个数除以多个数的和差”的形式，可采用倒数法，先求原式的倒数，再还原结果。 【例题7】.（2024七年级上·广西桂林·专题练习）用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【变式题7-2】.（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【题型8】乘除法规律探究 1.核心知识点 有理数乘除运算；数列规律归纳与分组计算 2.解题方法技巧 ①先计算前-项的结果，寻找数字变化的周期或通项规律； ②连乘类规律题可通过约分抵消中间项，简化首尾计算； ③交替变化类题目可分组计算，每组结果相同，转化为组数乘每组结果。 【例题8】.（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 【题型9】新定义乘除运算 1.核心知识点 有理数乘除运算；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先准确理解新定义的运算规则，明确触发不同运算的边界条件； ②根据参数的取值范围，分类讨论对应哪种运算规则，再代入计算； ③嵌套型新定义从最内层开始计算，每一步都验证条件，逐步向外求解。 【例题9】.（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）在学习了《有理数的运算》后，小奇同学对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则如下：（不相等），例如，． (1)填空：_________； (2)求的值； (3)试以和的值说明：对于新定义的运算“”，交换律是否成立？ 【答案】(1)0 (2)40 (3)对于新定义的运算“”，交换律是不成立的 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题中所给新定义运算可进行求解； （3）分别得出和的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为0； （2）解：由题意得： ， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴对于新定义的运算“”，交换律是不成立的． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“差数”．将一个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把原两位数与新两位数的差与9的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，原两位数与新两位数的差为，差-9与9的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列数中：20、58、88中，“差数”为__________；②计算，__________； (2)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是y，则__________（用含有x，y的代数式来表示）． (3)如果一个“差数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“差数”； 【答案】(1)58，4 (2) (3)25 【分析】本题考查了一元一次方程的其他应用，列代数式，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据差数”的定义，进行分析判断，得58是“差数”；20、88都不是“差数”，再根据的意义进行列式计算，即可作答． （2）先得，对换后的新的两位数，即为，再根据的意义进行列式计算，即可作答． （3）“差数”的值，对换得出新的两位数为，再根据的意义进行列式，最后由，建立方程，即可作答． 【详解】（1）解：根据“差数”的定义，58是“差数”；20、88都不是“差数”， 把的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，即为， ∴， 即， （2）解：∵一个“差数”的十位数字为，个位数字是y， ∴这个“差数”， 这个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，即为， ； （3）解：∵一个“差数”的十位数字为，个位数字是， ∴“差数”的值为， 这个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，即为， 则 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ “差数”的值为． 【变式题9-3】.（24-25七年级上·山西长治·期中）项目化学习 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组研究对象：对称数 研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析—猜想—验证 研究内容： 1.定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 2.观察： ； ； ； … 任务： (1)①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除； ②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想； (2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的． 【答案】(1)①9；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算． （1）①观察题干的式子特征，得出结论即可作答．②模仿式子算法，得，即可作答． （2）依题意，列式，化简得，即可作答． 【详解】（1）解：①∵； ； …… ∴将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除， 故答案为：9； ②依题意，， ∴猜想正确； （2）解：依题意， ， ∵结果能被9整除， ∴猜想是正确的． 易错点 1、多个有理数相乘时，负因数个数统计错误导致符号出错；或忽略算式中含的因数，错误计算绝对值乘积。 2、除法转化乘法时变号不完整：只改变除号不将除数变为倒数，或遗漏除数的符号，导致结果符号错误。 3、乘法分配律应用错误：漏乘括号内的某一项，或括号前是负号时，括号内各项符号处理错误。 4、倒数概念混淆：误认为有倒数，或负数没有倒数；将倒数与相反数的概念混淆。 重点 1、有理数乘法、除法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用乘法运算律进行简便计算，熟练完成有理数乘除混合与四则混合运算。 3、运用有理数乘除建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、多个有理数乘除混合的符号精准处理，以及运算律的灵活选用与技巧变形。 2、规律探究、新定义、跨学科创新题型中的逻辑推理与数学建模。 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴的倒数是． 2．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 3．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 二、填空题 4．计算： ______． 【答案】 【详解】解：. 5．的倒数是______，______，的相反数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查倒数、绝对值、相反数的定义，根据对应概念计算即可． 【详解】根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得 的倒数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得 的相反数是． 6．如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【答案】 【分析】令可得块蛋糕的质量，再令结果除以，即可得一块蛋糕的质量． 【详解】解：由题意可得：块蛋糕的质量为：（克）， ∴一块蛋糕的质量为：（克）， 三、解答题 7．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 9．小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 【答案】86.5元 【分析】根据题意里程费共要收取千米的费用，再加上起步价即可． 【详解】解：（千米）， 里程费共要收取千米的费用，每千米收费4.5元， 故需要支付代驾费（元）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $