广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末临考冲刺模拟卷

**基本信息** 以欧拉公式（文化传承）、音乐喷泉曲线（生活情境）、新高考选课（社会热点）为载体，覆盖函数、几何、统计等模块，通过基础题（复数运算）、能力题（立体几何翻折）、创新题（葫芦曲线）梯度设计，考查数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、统计、立体几何等|单选考基础（中位数计算），多选融文化（欧拉公式应用）| |填空题|3/15|分层抽样、解三角形、新定义函数|新高考选课情境考概率，葫芦曲线培养创新意识| |解答题|5/77|函数性质、立体几何翻折、概率计算|19题翻折问题综合体积与外接球，考查空间观念与推理能力|

广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末临考冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 4．非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为（    ） A．过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； B．若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； C．两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线； D．若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则. 7．将函数(其中)的图像向右平移个单位长度，所得图像关于对称，则的最小值是 A．6 B． C． D． 8．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C．的模长等于 D．的共轭复数为 10．某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法，讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校2000名学生的得分情况进行了统计，按照[50，60）、[60，70）、…、[90，100]分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ） A．图中的x值为0.2 B．由直方图中的数据，可估计75%分位数是85 C．由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为75 D．80分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有800人获得该称号 11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某省实施新高考，新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”是指语文、数学、外语三门仍作为必考科目；“1”是指物理、历史作为选考科目，考生从中选择1门；“2”是指从生物、化学、地理、政治中选择2门作为选考科目，为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层随机抽样的方法抽取n名学生进行调查．若抽取的n名学生中有女生45人，则n的值为______；若在抽取到的45名女生中，选择物理与选择历史的人数的比为2：1，为了解女生对历史的选课意向情况，现从45名女生中按分层随机抽样抽取6名女生，在这6名女生中再随机抽取3人，则在这3人中选择历史的人数为2的概率为______． 13．已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则________． 14．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，，其中表示不超过的最大整数．若该条曲线还满足，经过点．则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)证明的图象为中心对称图形，并求出其对称中心； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)求不等式的解集． 16．（15分）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 17．（15分）三棱锥中，平面，为直角三角形，． (1)求证：平面平面； (2)若，，，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）甲、乙、丙三人计划到三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市．在选择时，三人随机且独立．已知甲选择三个城市的概率分别为，，；乙选择两个城市的概率分别为，；丙选择两个城市的概率分别为，． (1)求三人选择同一个城市旅游的概率； (2)求三人选择三个不同城市旅游的概率； (3)求三人中恰有两人选择市旅游的概率． 19．（17分）如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥. (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值； (3)若点在平面上的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末临考冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，进而得. 【详解】由题，，故，. 故选：D 2．在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据中位数是极差求出的值，再计算第60百分位数即可. 【详解】已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为. 极差是最大值12减去最小值，即极差为. 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以.可得：. 此时这组数据为，，，10，10，12. 计算，所以第60百分位数是第个数，即10. 故选：D. 3．已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有， 整理得，因， 代入化简得 解得：，代入，可得， 因，， 则， 故. 4．非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式，即可求得夹角. 【详解】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C 5．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由已知条件，化简得． 由正弦定理得，， 又，所以， 所以，由于为锐角三角形，所以． 边上的中线长为， 设边上的中线长为，则， 所以 ， 所以， 所以．    6．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为（    ） A．过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； B．若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； C．两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线； D．若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则. 【答案】D 【分析】对A，考虑两点在平面异侧的情况可判断选项正误；对B，考虑三点不在平面同侧的情况可判断选项正误；对C，过两异面直线作两平行平面，考虑在与两平行平面都垂直平面上的射影可判断选项正误；对D，由直线与平面垂直定义可判断选项正误. 【详解】对A，若平面外的两点在平面异侧，且两点所确定直线与平面垂直， 则有无穷多个平面与平面垂直，故A错误； 对B，当与相交，则在内存在不在平面同侧的三点，使这三点不共线且到平面的距离都相等，故B错误； 对C，过两异面直线作两平行平面，作一平面与两平行平面垂直，则两条异面直线在这一平面上的射影互相平行，故C错误； 对D，由直线与平面垂直定义可得，直线与平面内的任意一条直线垂直，故D正确. 故选：D 7．将函数(其中)的图像向右平移个单位长度，所得图像关于对称，则的最小值是 A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象和性质，结合函数图象的变换即可得出结果. 【详解】将的图象向左平移个单位，可得 所得图象关于，所以 所以，即 由于，故当时取得最小值. 故选：D 8．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 【答案】A 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C．的模长等于 D．的共轭复数为 【答案】ACD 【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断. 【详解】对于A项：由题意可得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第二象限，故A项正确； 对于B项：由题意可得：为实数，故B项错误； 对于C项：由题意可得：， 则，故C项正确； 对于D项：由题意可得：， 则的共轭复数为，故D项正确； 故选：ACD. 10．某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法，讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校2000名学生的得分情况进行了统计，按照[50，60）、[60，70）、…、[90，100]分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ） A．图中的x值为0.2 B．由直方图中的数据，可估计75%分位数是85 C．由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为75 D．80分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有800人获得该称号 【答案】BD 【分析】根据平率分布直方图中个矩形面积之和为1，即可求出x，判断A;根据百分位数的计算，求得75%分位数，判断B;根据平均数的计算方法求得平均数，判断C;求出该校2000人中80分以上的人数，可判断D. 【详解】对于A,由题意得， 解得，故A错误； 对于B，，， 故估计75%分位数是 ，故B正确； 对于C，这组数据的平均数为，故C错误； 对于D, 80分以上的同学共有人，则该校有800人获得金牌小卫士称号，故D正确， 故选：BD 11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某省实施新高考，新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”是指语文、数学、外语三门仍作为必考科目；“1”是指物理、历史作为选考科目，考生从中选择1门；“2”是指从生物、化学、地理、政治中选择2门作为选考科目，为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层随机抽样的方法抽取n名学生进行调查．若抽取的n名学生中有女生45人，则n的值为______；若在抽取到的45名女生中，选择物理与选择历史的人数的比为2：1，为了解女生对历史的选课意向情况，现从45名女生中按分层随机抽样抽取6名女生，在这6名女生中再随机抽取3人，则在这3人中选择历史的人数为2的概率为______． 【答案】 100 【分析】利用分层抽样中的抽样比列式求；先求出抽取的6名女生中随机抽取3人的基本事件个数，再求出3人中选择历史的人数为2的基本事件个数，由古典概率的概率公式代入即可得出答案. 【详解】由题意，根据分层随机抽样的方法，可得，解得n＝100； 因为选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1， 所以按分层随机抽样抽取的6名女生中有4人选择物理，设为a，b，c，d， 2人选择历史，设为A，B，从中抽取3人的样本空间Ω＝{（a，b，c），（a，b，d），（a，b，A），（a，b，B），（a，c，d），（b，c，d），（b，c，A），（b，c，B），（c，d，A），（c，d，B），（a，c，A），（a，c，B），（b，d，A），（b，d，B），（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），（b，A，B），（c，A，B），（d，A，B）}，共有20个样本点， 设事件C表示“2人选择历史”，则C＝{（a，A，B），（b，A，B），（c，A，B），（d，A，B）}，有4个样本点，所以． 故答案为：100；. 13．已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则________． 【答案】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】因为，即， 且，则，化简得， 由正弦定理得， 且， 代入得，整理得， 且，则，则或， 若，即，不合题意，则，即， 因为为的平分线，则，， 在中，，① 又因为，即， 则，化简得， 且，则，② ①代入②得，解得或（舍去），则， 在中，由余弦定理得， 所以． 14．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，，其中表示不超过的最大整数．若该条曲线还满足，经过点．则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为__________． 【答案】 【分析】先利用已知点求出的值，再代入计算纵坐标． 【详解】解：将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得，因此曲线方程为， 当时，可得， ∴交点的纵坐标为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)证明的图象为中心对称图形，并求出其对称中心； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析，对称中心 (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）证明即可； （2）由单调性的定义进行证明； （3）由单调性及对称性进行求解不等式． 【详解】（1）由题可知，解得，所以的定义域为． 若的图象为中心对称图形，则其对称中心的横坐标为2． 因为， 所以的图象为中心对称图形，且对称中心为点． （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ． 因为，所以， 则，即， 所以， 所以，所以， 于是，所以在上单调递增． （3）由（1）可知，，则， 由（2）可知，在上单调递增， 所以不等式即， 等价于， 于是解得， 故所求不等式的解集为． 16．（15分）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 17．（15分）三棱锥中，平面，为直角三角形，． (1)求证：平面平面； (2)若，，，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)已知：平面，平面，故 ， 又 ，即 ，，平面， 由线面垂直判定定理得：平面， 又 平面，由面面垂直判定定理：平面平面 (2) 【分析】（1）通过线面垂直判定定理和面面垂直判定定理证明； （2）先找到线面角，再利用线面角的正弦值公式求解. 【详解】（1）略； （2） 过点 作 于 ，连接 由 平面 ， 平面, 得 ； ，， 平面 ，所以 平面 ， 因此 就是直线 与平面 所成的角，设为 ，即 ， ， 是 中点，， 在直角 中， 因为,,所以， 所以得， ， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18．（17分）甲、乙、丙三人计划到三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市．在选择时，三人随机且独立．已知甲选择三个城市的概率分别为，，；乙选择两个城市的概率分别为，；丙选择两个城市的概率分别为，． (1)求三人选择同一个城市旅游的概率； (2)求三人选择三个不同城市旅游的概率； (3)求三人中恰有两人选择市旅游的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用互斥事件加法公式和独立事件的乘法公式计算即可； （3）利用互斥事件加法公式和独立事件的乘法公式计算即可； 【详解】（1）设甲选择城市分别记为事件， 乙选择城市分别记为事件，丙选择城市分别记为事件， 则， 由题意得三人选择同一个城市旅游为事件， 所以． （2）由题意得三人选择三个不同城市旅游的事件为：， 所以 ． （3）由题意得三人中恰有两人选择市旅游的事件为：， 所以 ． 19．（17分）如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥. (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值； (3)若点在平面上的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围. 【答案】(1)在中，由分别是的中点，得， 又平面，平面，则平面， 又平面平面平面，因此， 而平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定及性质推理得证. （2）取中点，利用线面垂直的判定结合已知求出，再利用定义法求解. （3）由（2）在平面内以点为原点建立平面直角坐标系，，求出球心及点坐标，利用数量积的几何意义求出范围. 【详解】（1）略 （2）在正中，取中点，连接交于点， 由分别是的中点，则为的中点， 连接，，又，则，即， 平面，因此平面，平面， 而平面，则，，又，，于是， 因，则，在中，，， 取中点，连接，则， 为二面角的平面角，由，得， 在正中，，而，因此， ，又平面即为平面， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）知，平面平面，又点在平面内的射影在四边形内部， 则点在平面内的射影在线段（除点外）上， 在等腰梯形中，，则， 点为等腰梯形外接圆圆心，球心在过点垂直于平面的直线上， 球心平面，设，则点到平面的距离为， ，则， 由，得，设，球的半径为，则， 在平面内以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，， 解得，又， 因此， 由，得，令， ，函数在上单调递增， 则，，解得， 所以直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $