广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学试题

2025-2026学年第二学期期末质量检测 高一数学 2026.7 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区城内相应位置上，不准使用铅笔和 涂改液· 5,考试结束后，考生上交答题卡， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知a,b∈R,若ab<0,且a>b,则z=a+bi在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 2.已知向量a=(1,2),b=(0,-1),则|a+b= A.√2 B.2 C.3 D.4 3,下表为“某地区2020-2025年的生产总值(GDP)”相关数据（其中该地区生产总值是 逐年递增的)· 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 生产总值(GDP)万亿元 2.780 3.070 3.240 3.730 3.870 由于不小心，该地区的2023年生产总值(GDP)数据被污染了，但知道表中数据的第 60百分位数与第75百分位数之和为7.190，则该地区的2023年生产总值(GDP)为 A.3.680 B.3.460 C.3.705 D.3.550 4.已知向量4=(2，m),b=(n,-1),且4⊥b,则下列等式一定成立的为 A.m=2n B.m=-2n C.mn=2 D.mn=-2 5.甲、乙两人各进行一次射击，已知两人各自中靶的概率分别为}和上，若两人是否中靶 3 2 相互独立，则恰有一人中靶的概率为 C.3 2 D.4 6.已知某圆台的母线与下底面所成的角为，若其上、下底面的半径分别为1,2，则该 圆台的侧面积为 高一数学试卷第1页共4页 只只 A.V5元 B.2V3元 C.3π D.6n 7.已知△MBC的面积为2V3,且AC=2,若C=2 3 ,则tanB= A月 B c.⑤ 5 D,3 2 8.底面边长为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去了一个底面边长为1，高为 √3的正三棱锥后，若所得三棱台的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 A.3元 。努 C.5π D.20元 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a=(cosx,sinx),b=(L,0),则下列说法正确的为 A,若x=0,则a=b B,若a=b,则x=0 C若x=受a1b D.若aLb,则x=分 10.己知，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列说法正确的为 A.若mca,m∥n,则n∥c B.若m⊥B,n∥B,则m⊥n C.若a∥B,m⊥a,nLB,则m∥n D.若a∩B=m,n⊥m,则n⊥a,或n⊥B 11.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记x,y分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝 上的点数，设事件“x,y中至少有一个为偶数”为A,事件“x,y中至少有一个为奇 数”为B,事件“x=y”为C,事件“x>y”为D,则 A.A∩B与C是互斥事件 B.A与B相互独立 C.P(ANC)P(c) D.PUD=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知z=i(1+i),z为z的共轭复数，则z·z= 13.已知向量a=(5,),b=(3,-V5),则a在b上的投影向量的坐标为 14.记△ABC的外接圆圆心为0，若圆0的半径为2，且∠BAC= 6，则 AO.(AB+AC)的最大值为 高一数学试卷第2页共4页 al“"1…%oa 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B=bsin2A. (1)求A: (2)已知点D为BC的中点，若AD=,且△ABC的面积为5，求a. 2 16.(15分) 如图，已知五面体ABCDEF的底面ABCD是正方形，平面BCF⊥平面ABCD, FB=FC=BC=2. (1)求证：EF⊥平面BCF: (2)求直线AF与平面ABCD所成角的正切值. D B (第16题图) 17.（15分) 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BM⊥AC. (1)若BM=1,求BD.BM的值： (2)设BC=3,BD=4,∠DBC=骨丽=xD+yBc. (i)用BD,BC表示CA: D C M (i)求x+y的值. (第17题图) 高一数学试卷第3页共4页 a^“"1%o¤ 18.(17分) 在直三棱柱ABC-4B,C,中，AB LAC,且AB=AC=2AM,动点P,2分别在线段 40,G上，器器 (1)证明：P2∥平面BCC,B: (2)若BP=2PA,且AB=6,求多面体ABCOP的体积. B P B (第18题图) 19.(17分) 给定两组数据M=(:,x,x,)和N=0,2,y),现定义C。=∑1x-y为这组 数据的“总体偏差”.现有数据A=(L,2,,n(n∈N),将A中数据按任意顺序排列，得到 数据B=(,x2,,x),例如，当n=2时，可以得到数据(1,2)和(2,1)，此时总体偏差C,的 所有可能取值为0和1. (1)当n=3时，求C的所有可能取值： (2)当n=4时，求“C4>3”的概率： (3)记“Cn=3”为事件E,证明：事件E为不可能事件， 高一数学试卷第4页共4页 al“"1%o¤ 绝密★启用前 试卷类型：A 2025-2026学年度高一期末质量监测 数学试题答案及评分参考 2026.07 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 题号 2 5 7 答案 y B O C 0 8.底面边长为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去了一个底面边长为1，高为 √阝的正三棱锥后，若所得三棱台的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 A.3π 13π B 3 C.5π D.20π 3 解析：如图，设正三棱锥为P-ABC,截去的正三棱锥为P-AB'C, 作PD⊥面ABC,垂足为D,PD与面A'B'C'交一点E, 连接AD并延长与BC相交于点F, P 连接A'E并延长与B'C'相交于点G, 由平行的性质知AB=PA_PD2 A'B'PA'PE 1 得PD=25,则DE=√5， B E A 三角形ABC是边长为2等边三角形， 所以A=5,4D=2y5,同理4g= 3 3 设球心为O,则O在直线DE上， 设OD=x,球半径为R,则OE=√乃-x, R2=AD2+x2, R-vi5 3 由勾股定理，得 R=AE2+(3- 解得了 3 所以外接球的表面积为S球=4R= 20π ,故选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 11.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记x,y分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正 面朝上的点数，设事件“x,y中至少有一个为偶数”为A,事件“x,y中至少有一个为奇 数”为B,事件“x=y”为C,事件“x>y”为D,则 A.A∩B与C是互斥事件 B.A与B相互独立 C.PAnC)=PB∩C)=3 D.AUm=名 解析：考查选项A:易知A∩B即为事件“x,y中恰有一个奇数和一个偶数”，显然与事件 “x=y”互斥，故选项A正确： (2)考查选项B:“事件A的对立事件A的概率为P(④=3x3-, 6×64 P01n团1片子同距有0)子 PAB)=P4nB)=,.PB)≠P④P),A与B非相互独立，故选项 误： 考查选项C:A∩C对应的样本点为：x=y=2;x=y=4;x=y=6,共有3个样本点， P4∩C=3=,同理有P（BC)2’政远项C正确： 考查选项D:易知PO=。。由对称性可和P(D-1-PO_三 6×66 2121 ,A∩D对应的样本点为：x=2,y=1;x=3,y=2;x=4y=1,x=4,y=2,x=4,y=3: x=5,y=2,x=5,y=4:x=6,y=1,x=6,y=2,x=6,y=3,x=6,y=4,x=6,y=5, 共有12个样本点，“P4nD)=12=. 6×63 P4UD)=P)+P(D)-PA∩D)=克}名，故选项D正 综上所述，应选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2: 13.5马 2 14.8+45. 14.记△ABC的外接圆圆心为O,若圆O的半径为2，且∠BAC=亚，则 6 AO·(AB+AC)的最大值为 解析：由A0(A8+AC)=A0.AC+A0AB=AC2+AB, ea6网-6，“可。4叫-2 sin∠BAC 由余弦定理，得b2+c2-√3bc=4, Ao(aB+4c)=6+), 由b+c2-V3bc=4,b2+c2=4+V5c≤4+56+c) 2 ,b2+c2≤8(2+√3)（显然能够取等）， Ao(0+Ad-+)s8+45, 即AO·(AB+AC)的最大值为8+4V5,应填8+4V5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B=bsin2A. (1)求A; (2)已知点D为BC的中点，若AD=VI 且△ABC的面积为√5，求a. a b 解：(1)由正弦定理， …】分 sinA sin B asin B=bsin2A,∴.sinA=sin2A,…2分 ∴.2 sin AcosA=sinA, 1 .A∈(0，T),.c0sA= …4分 2 A= …5分 Γ3 (2)在△4BC中，AD=AB+AC, :AD-1(4B+4C)2, 4 斗0+e2+网. .b2+c2+bc=21,① …7分 ,△ABC的面积为√5， :bcsinA=3, .bc=4,② …9分 由①②，可得b=4,c=1,或b=1,c=4, …11分 由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bcc0sA, a=3. …13分 16.（15分) 如图，已知五面体ABCDEF的底面ABCD是正方形，平面BCF⊥平面ABCD, FB=FC=BC=2. E (1)求证：EF⊥平面BCF; (2)求直线AF与平面ABCD所成角的正切值. D 解：(1)证明：由正方形ABCD的性质知，AB∥CD, ,AB II CD,ABa平面DCFE,CDC平面 B (第16题图) DCFE, AB∥平面DCFE,…3分 (没写“一内一外”扣1分) ,ABI平面DCFE,ABC平面ABFE,平面ABFE∩平面DCFE=EF, .ABI∥EF, …5分 (没写交线条件扣1分) ,平面BCF⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,且AB⊥BC, .AB⊥平面BCF, ,AB∥EF, ,EF⊥平面BCF, …7分 (2)如图，取BC的中点M,连接FM,则在等边三角形BCF中，由三线合一知 FM⊥BC, …8分 DA M B ,平面BCF⊥平面ABCD,FM⊥BC,FMC平面BCF,BC=平面BCF∩平面ABCD, ∴.FM⊥平面ABCD, …0分 (没写交线条件扣1分) 连接AM,易知∠FAM是AF与平面ABCD所成的角， …………12分 而M=√5，AM=VAB2+BM2=√5， ·tam∠aM=M-V3V5 …14分 直线AP与平面ABCD所成角的正切值为 …15分 5 17.(15分) 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BM⊥AC· (I)若BM=1,求BD.BM的值： 2》设5C=3,5D=4,∠D8C-行B=tD+)BC. (i)用BD,BC表示CA; (ii)求x+y的值. B (第17题图) 解：(1)由题意可得，BD=2BO=2(BM+MO), …1分 ,BM⊥AC,∴.BM.MO=0, …2分 :.BD·BM=2(BM+MO)·BM=2(|BMP+0)=2 …4分 (2)(i)由题意可得，CA=BA-BC=BD+DA-BC=BD-BC-BC=BD-2BC. …7分 (ii)由题意可得，BM=xBD+yBC=2xBO+yBC, …8分 ,O,M,C三点共线，.2x+y=1,① ……9分 BC=3,BD=4,∠DBC=T ,BD·BC=BD‖BC|cos∠DBC=6, …10分 .BM LAC,.BM.CA=(xBD+yBC).(BD-2BC)=0, 即x|BDP-2xBD·BC+yBC.BD-2 y|BCP=0, 化简可得，x=3y,② ……13分 白0，②可解得x号J= …14分 4 x+y=7 …15分 18.(17分) 在直三棱柱ABC-A1BC1中，AB⊥AC,且AB=AC=2AA,动点P,Q分别在线段 AB,AC1上，且 BPCO AP AO (1)证明：P2∥平面BCCB: （2)若BP=2PA,且AB=6,求多面体ABCOP的体积， B B (第18题图) 解：(1)证明：如图，在线段AC,AB上分别取点M,N, 使得CMS-BP_BN 4MAO4Pw,连接M0,NP,M …1分 ∴.△AMQ∽△ACC1,△BNP∽△BAA,,△AMN∽△ACB, .Mg∥CC1,NP/∥AA1,MN∥BC,…2分 又AA∥CC,Mg∥NP,∴.M,N,P,9四点共面， …3分 :MNI∥BC,MNt平面BCCB1,∴.MNI∥平面BCC1B1, ……4分 ,MOI∥CC1,MQ4平面BCCB1,∴.MQ∥平面BCC1B1, …5分 又MN∩MQ=M,∴.平面MNP2∥平面BCC,B, …6分 又P2c平面MN,.P21I平面BCC1B,. …7分 B B (2),MQ1∥CC1,且CC1⊥平面ABC,∴.M9⊥平面ABC, ……8分 同理，NP⊥平面ABC,…9分 :MQ⊥平面ABC,NP⊥平面ABC,MNC平面ABC, ∴.四边形QMNP为直角梯形， …0分 画C器，BP=22A,及4B=-6,5M=W=B=2 31 .AB=AC=2AA=6,.AA CC=3, ,AB⊥AC,且AM=AN=2,.MN=2√2， p-号4-2，g=c=1 ∴.直角梯形QWP的面积为二(MQ+NP)MN=3√2，…13分 不难知道多面体ABCOP的体积可视为四棱锥A-QWP,四棱锥C-QMNP,及三棱锥 P-BCWN的体积之和， …15分 易知四棱锥A-ONP的体积为号x35x√2=2，四棱锥C-QMWP的体积为 x32x2W2=4, 3 易知△BCN的面积为，x BCx BNx sin-X 2×62x4x =12, 42 2 ∴.三棱锥P-BCN的体积为二×12×2=8， ∴.多面体ABCOP的体积为2+4+8=14. …17分 19.(17分) 给定两组数据M=(,,,x)和N=,,,),现定义Cn=∑ 1-y|为这 两组数据的“总体偏差.现有数据A=(L,2,,n)(n∈N),将A中数据按任意顺序排 列，得到数据B=(x1,x2,,xn),例如，当n=2时，可以得到数据1,2)和(2,1)，此时总 体偏差C2的所有可能取值为0和2. (1)当n=3时，求C3的所有可能取值： (2)当n=4时，求“C4>3”的概率. (3)记“Cn=3”为事件E,证明：事件E为不可能事件： 解析：(1)当n=3时，则B=(1,2,3),(1,3,2),(3,2,1),(3,1,2),(2,1,3),(2,3,1), …1分 可知C3=0,2,2,4,4,4, …3分 则C3的所有可能取值为0,2,4.…4分 (2)记“C4>3”为事件D,样本空间为2，则“C4≤3”为事件D, …5分 当n=4时，由列举可知，数据B有4×3×2×1=24个，样本空间2有24个样本点， …6分 ①若不调整数据，此时C4=0≤3，事件D有1个样本点； …7分 ②若只调整2个数，其他不变，欲使C4≤3，只能调整相邻的两个数据， 即将数据1,2)，(2,3)，(3,4)调整为(2,1)，(3,2)，(4,3)， 此时C4=2≤3，事件D有3个样本点： …8分 ③若调整3个数，由(1)可知，此时C4>3, 由以上可知，事件D有4个样本点， 则P(D)=1-4§ …9分 246 (3)A=(1,2,,m, ①若只调整2个数，其他不变得到数据B, 即将数据(a,b)(a<b)调整为(b,a),其余数据在原来位置不变， 此时Cn=|b-a|+|a-b=2(b-a)≠3，…l2分 ②若调整3个数，其他不变得到数据B, 即将数据(a,b,c)(a<b<c)调整为(b,c,a)和(c,a,b),其余数据在原来位置不变， 此时Cn=b-a|+|c-b|+|a-c=2(c-a)≠3， 或者Cnc-a+|a-b|+|b-c=2(c-a)≠3， …15分 ③若调整4个数，其他不变得到数据B,显然Cn>3, 综上所述，事件E为不可能事件. …17分