暑假培优：古典概型、概率的性质专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦古典概型与概率性质两大核心模块，通过精选例题与变式训练，系统培养概率计算能力与逻辑推理意识，体现数学思维与数学语言的应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型|6例+6变式|涵盖选择、填空、解答题，涉及样本空间构建、事件计数、概率计算等|从基础概念到综合应用，形成"定义-计算-应用"的逻辑链条，注重数学思维的培养| |概率的性质|6例+6变式|包含单选、多选及填空题，考查互斥事件、对立事件等概念辨析与计算|围绕概率基本性质展开，构建"概念辨析-公式应用-综合判断"的知识体系，培养数学语言表达能力|

暑假培优：古典概型、概率的性质专项训练 暑假培优：古典概型、概率的性质专项训练 考点目录 古典概型 概率的性质 考点一 古典概型 例1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏常州·期末）从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 例4．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）一个不透明的袋子中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个黄球、3个白球，1个蓝球，从袋中取2个球，记下颜色并计算得分，得分规则为2个球颜色相同得2分，2个球一黄一白得分，有蓝球得0分，则取球得分非负的概率是____. 例5．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 例6．（25-26高一下·江苏泰州·期末）为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． (1)估计满意度评分的中位数； (2)现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 变式1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·江苏徐州·期末）同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是______. 变式4．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某校主持人队有男生2名，女生3名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为________． 变式5．（25-26高一下·江苏南京·期末）某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲的成绩（分） 90 95 92 100 98 乙的成绩（分） 95 94 100 96 90 (1)试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象； (2)初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）. （i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间Ω； （ii）规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率. 变式6．（25-26高一下·江苏徐州·期末）某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． (1)求a，b的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 考点二 概率的性质 例1．（25-26高一下·浙江湖州·期末）设随机事件，满足，，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 例2．（25-26高一下·河南·期末）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 例3．（24-25高二上·广东广州·期中·多选）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 例4．（24-25高二上·重庆·阶段检测·多选）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 例5．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 例6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若事件与事件互斥，且，，则______. 变式1．（25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 变式2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（   ） A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 变式3．（25-26高二下·浙江·阶段检测·多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·湖南·阶段检测·多选）已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 变式5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知，，，则___________． 变式6．（24-25高一上·辽宁·期末）已知事件A与B互斥，且，则________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：古典概型、概率的性质专项训练 暑假培优：古典概型、概率的性质专项训练 考点目录 古典概型 概率的性质 考点一 古典概型 例1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 例2．（25-26高一下·江苏常州·期末）从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的性质，个体被抽到的概率等于样本容量除以总体容量，直接计算即可. 【详解】已知总体容量为500，抽取的样本容量为25，则总体中某个个体被抽到的概率. 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有： 共6种抽法； 抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法， 所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为. 例4．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）一个不透明的袋子中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个黄球、3个白球，1个蓝球，从袋中取2个球，记下颜色并计算得分，得分规则为2个球颜色相同得2分，2个球一黄一白得分，有蓝球得0分，则取球得分非负的概率是____. 【答案】 【详解】从6个球中取2个球，记2个黄球分别为黄1，黄2，3个白球分别为白1，白2，白3， 所有可能的结果为：黄1黄2，黄1白1，黄1白2，黄1白3，黄1蓝，黄2白1，黄2白2，黄2白3，黄2蓝， 白1白2，白1白3，白1蓝，白2白3，白2蓝，白3蓝，共有15种结果， 其中取2个黄球有1种结果，取2个白球有3种结果，1黄1白有6种结果，有蓝球有5种结果， 因为取球得非负分，所以取球结果不能是一黄一白，所以取球得分非负的概率是. 例5．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设不放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，， 事件包含的基本事件数4，，，，， ． （2）设有放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，. 事件包含的基本事件数4，即，，，， ． 例6．（25-26高一下·江苏泰州·期末）为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． (1)估计满意度评分的中位数； (2)现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，则，解得. 前两组的频率之和为，前三组的频率之和为； ，中位数位于区间内. 设中位数为，则，解得. 估计满意度评分的中位数为. （2）满意度评分在的频率为，满意度评分在的频率为，两组频率之比为. 采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人，则在中抽取的人数为，记为；在中抽取的人数为，记为. 则从6人中任取2人，所有可能的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的情况有，，，，，，，，共8种； . 一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率为. 变式1．（25-26高一下·浙江宁波·期末）从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从1~10共10个整数中随机选数，总共有10种等可能结果. 表示选到的数能被2整除，且不能被3整除. 在1~10中，能被2整除的数为， 排除能被3整除的6，剩余符合条件的数共4个，即. 则. 变式2．（25-26高一下·江苏徐州·期末）同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型概率公式，先计算抛掷两颗骰子的总基本事件数，再统计点数之和小于的基本事件数，二者的比值即为所求概率. 【详解】根据题意得，同时抛掷两颗骰子，每颗骰子向上的点数有种可能，因此总基本事件数为， 满足“向上点数之和小于”的点数之和为或，对应的基本事件为，共个； 所以同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率. 变式3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是______. 【答案】 【分析】根据题意总共有种，再结合完全平方可知，点数之和可以为，再列举计算概率即可． 【详解】由题可知总共有种， 点数之和为4的有共3个； 点数之和为9的有， ,, ,,共25个； 点数之和为16的有共6个. 综上，点数之和为完全平方数的有种，则概率为． 变式4．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某校主持人队有男生2名，女生3名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为________． 【答案】 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从5名学生中任选2名学生，共有： (男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)10种选法， 至少有一名男生的情况有种选法， 所以至少有一名男生的概率. 变式5．（25-26高一下·江苏南京·期末）某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲的成绩（分） 90 95 92 100 98 乙的成绩（分） 95 94 100 96 90 (1)试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象； (2)初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）. （i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间Ω； （ii）规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率. 【答案】(1)乙参加知识竞赛较合适 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据表格数据计算平均数和方差，比较即可确定结果； （2）列举总的基本事件得到样本空间，由所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得， ，. ， 所以，， 所以甲、乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 故选乙参加知识竞赛较合适. （2）在5道题中，参赛者会答的3道题分别为1，3，5， 另外2道不会答的题分别为2，4. （ⅰ）参赛者从5道题中抽3道题的结果构成的样本空间为 ，共10种. （ⅱ）记“参赛者进入复赛”为事件， 进入复赛，即至少答对2道的情况有，，，，，，，共7种. 所以参赛者进入复赛的概率为. 变式6．（25-26高一下·江苏徐州·期末）某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． (1)求a，b的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 【答案】(1)， (2)众数为，平均数为 (3) 【分析】（1）由第二、三､四组的频率之和为0.8，所有组频率之和为1，列方程求的值； （2）由频率分布直方图中众数､平均数的定义公式计算； （3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题. 【详解】（1）因为第二、三､四组的频率之和为0.8， 所以，解得， 所以第一和第五组的频率之和为，即， 所以. （2）频率分布直方图中，最高矩形的中值点为，即众数为， 平均数为. （3）第四､第五两组志愿者分别有人，人， 采用分层抽样的方法从中抽取5人， 则第四组抽3人，记为，第五组抽2人，记为， 则从这5人中选出2人， 有共10种结果， 两人来自不同组有共6种结果， 所以两人来自不同组的概率为. 考点二 概率的性质 例1．（25-26高一下·浙江湖州·期末）设随机事件，满足，，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】可知. 例2．（25-26高一下·河南·期末）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 【答案】C 【分析】结合对立事件概率性质、事件包含关系的概率特点、概率加法公式逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，根据对立事件的概率公式，得，故选项A正确； 对于选项B，因为，所以，故选项B正确； 对于选项C，根据概率的加法公式，得，故选项C错误； 对于选项D，因为事件互斥，所以， 因此，故选项D正确. 例3．（24-25高二上·广东广州·期中·多选）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 【答案】AB 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 例4．（24-25高二上·重庆·阶段检测·多选）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质逐项判断即得. 【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 例5．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断． 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 例6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 变式1．（25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 【答案】C 【分析】依据概率的基本性质、对立事件、事件包含关系、互斥事件的定义逐一验证选项，判断是否必然成立。 【详解】对于A：是事件的对立事件，满足且，由概率加法公式可得，故A一定成立； 对于B：若，说明事件的全部样本点都属于事件，所以，故B一定成立； 对于C：若，由概率加法公式得，当且仅当即时，才有，若存在公共样本点，该等式不成立，故C不一定成立； 对于D：若与互斥，根据互斥事件定义得，空集的概率为0，因此，故D一定成立. 变式2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（   ） A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 【答案】C 【详解】，是互斥事件，，， . 变式3．（25-26高二下·浙江·阶段检测·多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. 变式4．（25-26高二上·湖南·阶段检测·多选）已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 【答案】BC 【分析】利用容斥原理，结合古典概率公式求解判断ABD；利用相互独立事件的定义判断C. 【详解】由韦恩图可知，所以，故A，D不正确； 因为，所以，故B正确； 又，所以，故事件与相互独立，C正确. 故选：BC. 变式5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知，，，则___________． 【答案】0.6 【分析】由，可得的概率，然后用和事件的概率公式计算即可. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：0.6 变式6．（24-25高一上·辽宁·期末）已知事件A与B互斥，且，则________． 【答案】 【分析】由互斥事件的概率加法公式及对立事件概率公式可得答案. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以，则． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $