暑假培优：独立事件、互斥事件与对立事件的判断、独立事件的乘法公式专项训练-2026年人教A版数学高一升高二暑假培优

**基本信息** 聚焦概率核心概念辨析与公式应用，通过分层例题构建"概念判断-公式应用-综合迁移"的逻辑训练体系，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立事件、互斥事件与对立事件的判断|8题（4例+4变式）|以选择/多选题为主，结合射击、摸球等情境考查概念辨析|从具体情境抽象事件关系，通过正例反例强化互斥与独立的本质区别，构建"定义-判定-性质"认知链| |独立事件的乘法公式|6题（3例+3变式）|以解答题为主，涉及比赛赛制、考试得分等复杂情境的概率计算|基于事件独立性判定，通过分步乘法原理解决多事件概率问题，体现"概念-公式-应用"的推导过程|

暑假培优：独立事件、互斥事件与对立事件的判断、独立事件的乘法公式专项训练 暑假培优：独立事件、互斥事件与对立事件的判断、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 独立事件、互斥事件与对立事件的判断 独立事件的乘法公式 考点一 独立事件、互斥事件与对立事件的判断 例1．（25-26高一下·天津河西·期中）甲乙两人射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，记事件为“两人都击中”，事件为“至少1人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法错误的是（     ） A．事件与是互斥事件 B．事件与是相互独立 C．事件与是对立事件 D． 【答案】B 【分析】先计算各事件的概率，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐一判断选项，选出错误结论. 【详解】对A：事件与不能同时发生，故事件与是互斥事件，故A正确； 对B：，， ，有，故事件与不是相互独立事件，故B错误； 对C：“至少1人击中”与 “无人击中”为对立事件，故C正确； 对D：，故D正确. 例2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到绿球”，事件“两次都摸到红球”，事件“两个球颜色不同”，则（   ） A．与是相等事件 B．与是相互独立事件 C．与是互斥事件 D．与是互为对立事件 【答案】C 【详解】用形如表示摸出的两球，其中表示第次摸出球的标号，表示第次摸出球的标号， 则样本空间为； 事件包含； 事件包含；事件包含； 事件包含； 故A选项错误；C选项正确；D选项错误； 因为，故B错误. 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末·多选）已知事件，且，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与B相互独立，那么 【答案】ABD 【分析】本题结合事件的包含关系、互斥、相互独立的性质，运用对应概率计算公式逐一判断选项正误 【详解】选项A：若，则，因此，故A正确； 选项B：若与互斥，根据互斥事件概率加法公式，，故B正确； 选项C：若与相互独立，则与也相互独立，，故C错误； 选项D：若与相互独立，由德摩根定律可得，因此，故D正确。 例4．（25-26高一下·江苏泰州·期末·多选）一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出两个球，记“取出的两球同色”为事件，“第一次取出的是黑球”为事件，“第二次取出的是黑球”为事件，“取出的两球不同色”为事件，则（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与独立 D．与独立 【答案】ACD 【分析】利用对立事件的性质判断选项A；利用互斥事件的性质判断选项B；利用独立事件乘法公式计算判断选项C,D． 【详解】“取出的两球同色”与“取出的两球不同色”互为对立事件，故A正确； “第一次取出的是黑球”与，“第二次取出的是黑球”可以同时发生，不互斥，故B错误； ， 故事件独立，故C正确； ， ， 则，与独立，故D正确． 变式1．（25-26高一下·江苏常州·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件为对立事件 C．事件与事件为互斥事件 D．事件与事件相互独立 【答案】D 【分析】由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可. 【详解】由题意得，故A错误， ，故B，C错误， ，，所以， 故事件与事件相互独立，故D正确. 变式2．（25-26高一下·浙江台州·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．与互斥且独立 B．与互斥但不独立 C．与独立但不互斥 D．与既不独立也不互斥 【答案】C 【详解】因为，又，，， 所以，则与不互斥， 又，则与相互独立. 变式3．（25-26高一下·江苏南京·期末·多选）若，，，则（     ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D． 【答案】AC 【分析】利用事件概率的性质可判断. 【详解】对于A，因为，所以事件与能同时发生，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B，因为事件与不互斥，所以事件与不对立，故B错误； 对于C，因为，所以，所以事件与相互独立，故C正确； 对于D，，故D错误. 变式4．（25-26高一下·湖南长沙·期末·多选）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（   ） A．A 与B 相互独立 B．A与C 相互独立 C．A 与D 相互独立 D．C与D 相互独立 【答案】ABC 【分析】根据古典概型的概率计算公式及独立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意得，，，，． 选项A：，，，A正确； 选项B：，，，B正确； 选项C：，，，C正确； 选项D．，，，D错误． 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高一下·江苏徐州·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． (1)若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； (2)若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（ⅱ）若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）枚举出所有情况，并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得. 【详解】（1）（ⅰ）由于恰好比赛四场结束，若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场， 则第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第二场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 第三场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，最终甲获胜； 故甲最终获胜的概率为； （ⅱ）由于恰好比赛四场结束，若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场， 若第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 则第二场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第三场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，最终丙获胜； 若第一场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 则第二场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，最终丙获胜； 故丙最终获胜的概率为； （2）若第一场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 则有情况一：第二场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第三场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况二： 第二场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第三场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 若第一场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 则有情况三：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为 最终丙获胜，概率为； 情况四：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况五：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第五场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况六：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况七：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中乙胜甲负，概率为， 第四场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况八：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 故最终丙获胜的概率为. 例2．（25-26高一下·山西阳泉·期末）甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）确定道文化题甲作答正确与错误的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①求出甲在文化测试中得分和其在体能测试中得分的概率，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； ②设甲的得分为，乙的得分为，求出、、、、、对应的概率，则，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记事件甲恰好答对两道文化测试题， 则道文化题甲作答正确与错误的情况有：对对错、对错对、错对对， 故. （2）①若道文化题甲答对两道或全答对，概率为； 若甲在体能测试中得分，则道体能测试题甲全答对，其概率为. 记事件甲总分为分，则甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 故； ②设甲的得分为，乙的得分为， 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； ； 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 由题意可知，乙在文化测试中得分的概率为， 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； 若，则乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 则； 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 所以 ， 因此甲的总分高于乙的总分的概率为. 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．现已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是． (1)求第二场比赛结束后比赛终止的概率； (2)求甲最终获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据比赛终止条件，拆分互斥事件，再利用独立事件概率相乘，最后求和即可； （2）根据题意得出比赛结束场次为第场、第场或第场，计算相应概率并求和． 【详解】（1）设“打场后甲获胜”，“打场后乙获胜”，“第二场比赛结束后比赛终止”，“甲最终获胜”， 因为，， 所以． （2）由题设条件，比赛可能在第场、第场或第场终止， 甲连胜两场：； 前两场双方，第3、4场甲连胜： ； 前4场双方，第5场甲获胜： ， 所以． 变式1．（25-26高一下·河北保定·期末）甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． (1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； (2)求此次比赛进行3局就结束的概率． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式可得； （2）分析比赛进行3局就结束的各种情况，根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】（1）设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件， 则，， ． （2）设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，， 则， 所以 ． 变式2．（25-26高一下·江苏南京·期末）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图： (1)估计这40名选手专项考核成绩的70百分位数（结果精确到）； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级（高于，高于）.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，甲、乙两人在每项考核中取得等级的概率分别都是，求甲、乙两人至少1人获得参赛资格的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合百分位数的计算方法，即可求解； （2）设甲、乙获得参赛资格为事件和，得到，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得， 则的频率为，的频率为， 的频率为，的频率为， 的频率为， 其中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 设考核成绩的70百分位数为，则， 则满足，即考核成绩的70百分位数为分. （2）解：设“获得参赛资格”为事件， 根据题意，获得参赛资格的情况包括：， 则一人获得资格的概率为， 设甲获得参赛资格为事件，乙获得参赛资格为事件，则， 设“甲、乙两人至少1人获得参赛资格”为事件， 则其对立事件为“甲、乙两人都未获得参赛资格”， ， 所以“甲、乙两人至少1人获得参赛资格”的概率为. 变式3．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数） (2)在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差； (3)通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？ 【答案】(1)，81.4 (2)8 (3)不合理，理由如下： 设两位选手分别为甲、乙，每场比赛的两人获胜的概率为． 前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局． 若甲最终赢了比赛，可能是或或． 当时，甲赢得的概率为； 当时，甲赢得的概率是； 当时，甲赢得的概率是， 打成后，甲获得胜利的概率为，乙获得胜利的概率为． 所以应该按照的比例分配奖金更合理，而不是． 【分析】（1）由面积和为求出，利用百分位数的定义计算； （2）利用分层抽样的方差公式计算； （3）前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算甲、乙获胜的概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得. 前个矩形面积和为，前个矩形面积和为， 所以60百分位数在区间内，为. （2）由题意得， 所以 ． 所以标准差为． （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：独立事件、互斥事件与对立事件的判断、独立事件的乘法公式专项训练 暑假培优：独立事件、互斥事件与对立事件的判断、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 独立事件、互斥事件与对立事件的判断 独立事件的乘法公式 考点一 独立事件、互斥事件与对立事件的判断 例1．（25-26高一下·天津河西·期中）甲乙两人射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，记事件为“两人都击中”，事件为“至少1人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法错误的是（     ） A．事件与是互斥事件 B．事件与是相互独立 C．事件与是对立事件 D． 例2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到绿球”，事件“两次都摸到红球”，事件“两个球颜色不同”，则（   ） A．与是相等事件 B．与是相互独立事件 C．与是互斥事件 D．与是互为对立事件 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末·多选）已知事件，且，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与B相互独立，那么 例4．（25-26高一下·江苏泰州·期末·多选）一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出两个球，记“取出的两球同色”为事件，“第一次取出的是黑球”为事件，“第二次取出的是黑球”为事件，“取出的两球不同色”为事件，则（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与独立 D．与独立 变式1．（25-26高一下·江苏常州·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件为对立事件 C．事件与事件为互斥事件 D．事件与事件相互独立 变式2．（25-26高一下·浙江台州·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．与互斥且独立 B．与互斥但不独立 C．与独立但不互斥 D．与既不独立也不互斥 变式3．（25-26高一下·江苏南京·期末·多选）若，，，则（     ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D． 变式4．（25-26高一下·湖南长沙·期末·多选）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（   ） A．A 与B 相互独立 B．A与C 相互独立 C．A 与D 相互独立 D．C与D 相互独立 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高一下·江苏徐州·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． (1)若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； (2)若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 例2．（25-26高一下·山西阳泉·期末）甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．现已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是． (1)求第二场比赛结束后比赛终止的概率； (2)求甲最终获胜的概率． 变式1．（25-26高一下·河北保定·期末）甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． (1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； (2)求此次比赛进行3局就结束的概率． 变式2．（25-26高一下·江苏南京·期末）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图： (1)估计这40名选手专项考核成绩的70百分位数（结果精确到）； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级（高于，高于）.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，甲、乙两人在每项考核中取得等级的概率分别都是，求甲、乙两人至少1人获得参赛资格的概率. 变式3．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数） (2)在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差； (3)通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $